Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Mam problem ze zrozumieniem rozwiazania do zadania 3 z zestawu I z ksiazki Pawlowski/Tomalczyk, pt. "Zadania z matematyki dla olimpijczykow". (Jesli nie macie ksiazki i potrzebujecie wiecej materialu do zrozumienia calosci to dajcie znac).
Zadanie:
3. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to:
a) \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3} = 3xyz}\)
b) \(\displaystyle{ 2x^{4}+2y^{4}+2z^{4} = (x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}\)
c) \(\displaystyle{ \frac{x^{5}+y^{5}+z^{5} }{5} = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2} }{2} \cdot \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3} }{3}}\)
d) \(\displaystyle{ \frac{x^{7}+y^{7}+z^{7} }{7} = \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2} }{2} \cdot \frac{x^{5}+y^{5}+z^{5} }{5}}\)
Czesc rozwiazania z ksiazki:
Pierwsze dwie rownosci sprawdzisz bez trudu. Przed wykazaniem pozostalych dwoch rownosci zanotujmy dwa proste spostrzezenia:
(A) \(\displaystyle{ a_{2} = -2b}\)
(B) Jezeli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba naturalna, to: \(\displaystyle{ a_{n+3} = -b \cdot a_{n+1} + c \cdot a_{n}}\)
Wiem jak pokazac (A)...
Nie wiem natomiast jak DOJŚĆ do wzoru (B) ani jak doszli do niego autorzy rozwiazania. Jakies wskazowki? (kilka godzin przeksztalcen nie doprowadzilo mnie niestety do (B)...)
Tak na marginesie: \(\displaystyle{ a_{n} = x^{n} + y^{n} + z^{n}}\) \(\displaystyle{ b = xy + yz + zx}\) \(\displaystyle{ c = xyz}\)
Można to zrobić inaczej bez zgadywania tych wzorków.
To zadanie jest w książce KMDO p. Pawłowskiego, w rozdziale "Wzory Viete'a".
Tak więc trzeba zrobić jakiś wielomian, którego pierwiastkami będą liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) - dlatego ten wielomian musi mieć stopień \(\displaystyle{ 3}\). Potem trzeba ułożyć układ równań z tych pierwiastków i odpowiednio go podomnażać. Generalnie ta technika powtarza się w wielu zadaniach i warto ją znać.
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ x, y, z}\) pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ f(p) = p^3 + bp^2 + cp + d}\).
Ze wzorów Viete'a: \(\displaystyle{ x + y + z = -b}\) \(\displaystyle{ xy + yz+ zx = c}\) \(\displaystyle{ xyz = -d}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ x + y + z = 0}\), więc \(\displaystyle{ b = 0}\), więc wielomian \(\displaystyle{ f}\) przyjmuje postać: \(\displaystyle{ f(p) = p^3 + cp + d}\).
Pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ f}\) są \(\displaystyle{ x, y, z}\), więc \(\displaystyle{ f(x) = 0}\), \(\displaystyle{ f(y) = 0}\) i \(\displaystyle{ f(z) = 0}\).
Tak więc dostajemy układ (*): \(\displaystyle{ x^3 + cx + d = 0}\) \(\displaystyle{ y^3 + cy + d = 0}\) \(\displaystyle{ z^3 + cz + d = 0}\).
a) Dodając równości układu (*) stronami dostajemy: \(\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 + (x + y + z)c + 3d = 0}\), ale \(\displaystyle{ x + y + z = 0}\) oraz ze wzorów Viete'a \(\displaystyle{ xyz =
-d}\), więc: \(\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz}\), cnd.
b) Mnożymy równania układu (*) kolejno przez \(\displaystyle{ x, y, z}\) dostając: \(\displaystyle{ x^4 + cx^2 + dx = 0}\) \(\displaystyle{ y^4 + cy^2 + dy = 0}\) \(\displaystyle{ z^4 + cz^2 + dz = 0}\).
Dodajemy je stronami: \(\displaystyle{ x^4 +y^4 + z^4 + c(x^2 + y^2 + z^2) + d(x + y + z) = 0}\),
ale \(\displaystyle{ x + y + z = 0}\) oraz ze wzorów Viete'a \(\displaystyle{ xy + yz + zx = c}\), czyli \(\displaystyle{ x^4 +y^4 + z^4 + (xy + yz + zx)(x^2 + y^2 + z^2) = 0}\). \(\displaystyle{ x + y + z = 0}\), więc \(\displaystyle{ (x+y+z)^2 = 0}\), czyli \(\displaystyle{ xy + yz + zx = - \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)}\), więc: \(\displaystyle{ x^4 +y^4 + z^4 - \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)(x^2 + y^2 + z^2) = 0}\). \(\displaystyle{ 2(x^4 +y^4 + z^4 ) = (x^2 + y^2 + z^2) ^ 2}\), cnd.
c) Mnożymy równania układu (*) kolejno przez \(\displaystyle{ x^2, y^2, z^2}\) dostając: \(\displaystyle{ x^5 + cx^3 + dx^2 = 0}\) \(\displaystyle{ y^5 + cy^3 + dy^2 = 0}\) \(\displaystyle{ z^5 + cz^3 + dz^2 = 0}\).
Dodajemy je stronami: \(\displaystyle{ x^5 + y^5 + z^5 + c(x^3 + y^3 + z^3) + d(x^2 + y^2 + z^2) = 0}\)
Ze wzorów Viete'a \(\displaystyle{ c = xy+ yz + zx}\), ale \(\displaystyle{ xy+ yz + zx = - \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)}\), czyli \(\displaystyle{ c = - \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2)}\).
Ze wzorów Viete'a \(\displaystyle{ d = -xyz}\), z a) \(\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz}\), więc \(\displaystyle{ d = -xyz =
- \frac{1}{3}(x^3 + y^3 + z^3)}\).
Tak więc po podstawieniu mamy: \(\displaystyle{ x^5 + y^5 + z^5 - \frac{1}{2}(x^2 + y^2 + z^2) (x^3 + y^3 + z^3) - \frac{1}{3}(x^3 + y^3 + z^3)(x^2 + y^2 + z^2) = 0}\), czyli \(\displaystyle{ x^5 + y^5 + z^5 = \frac{5}{6}(x^2 + y^2 + z^2) (x^3 + y^3 + z^3)}\). \(\displaystyle{ \frac{x^5 + y^5 + z^5}{5} = \frac{(x^2 + y^2 + z^2) }{2}\frac{(x^3 + y^3 + z^3)}{3}}\), cnd.
