[Teoria liczb] Podział zbioru reszt, podzielność
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- limes123
- Użytkownik
- Posty: 666
- Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Ustroń
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 93 razy
[Teoria liczb] Podział zbioru reszt, podzielność
Spoko zadanko - mamy liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p>17}\) i dzielimy zbiór \(\displaystyle{ \{1,2,\ldots ,p-1\}}\) na trzy rozłączne zbiory. Pokazać, że istnieją liczby \(\displaystyle{ x,y,z}\), każda z innego z tych zbiorów, takie że \(\displaystyle{ p|x+y-z}\).
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
[Teoria liczb] Podział zbioru reszt, podzielność
zacznij od wypisania wszystkich trójek \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) takich, że \(\displaystyle{ p|x+y-z}\) a następnie wykaż, że dla dowolnego podziału zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,p-1\}}\) na trzy rozłączne zbiory \(\displaystyle{ A, B, C}\) istnieje trójka \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) taka, że każdy ze zbiorów \(\displaystyle{ \{x,y,z\} \cap A}\), \(\displaystyle{ \{x,y,z\} \cap B}\), \(\displaystyle{ \{x,y,z\} \cap C}\) jest jednoelementowy
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
[Teoria liczb] Podział zbioru reszt, podzielność
Czemu p musi być liczbą pierwszą większą lub równą od siedemnaście, czemu wogóle musi być liczbą pierwszą przecież to działa nawet dla \(\displaystyle{ p=4}\)
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
[Teoria liczb] Podział zbioru reszt, podzielność
no ale dla niektórych liczb złożonych nie będzie dobrze (pewnie nawet dla żadnej liczby złożonej większej niż \(\displaystyle{ 4}\)), np. dla \(\displaystyle{ p=6}\) i zbiorów \(\displaystyle{ A=\{2\}, B=\{4\}, C=\{1,3,5\}}\) teza nie zachodzi
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5748
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
[Teoria liczb] Podział zbioru reszt, podzielność
Mam taki pomysł otóż, podzielmy zbiór:
\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,p-1\right\}}\) na dowolne rozłączne: \(\displaystyle{ A,B,C}\)
Zbiór \(\displaystyle{ G=X \cup \left\{ 0\right\}}\) z działaniem plus modulo jest grupą rzędu p.
Z tego wynika, że ponieważ rząd G jest liczbą pierwszą grupa ta nie ma podgrup właściwych,
a więc żaden ze zbiorów: \(\displaystyle{ A \cup \left\{ 0\right\} ,B \cup \left\{ 0\right\},C \cup \left\{ 0\right\}}\) nie jest podgrupą właściwą zbioru \(\displaystyle{ G}\).
Tym bardziej podgrupą nie jest np:
\(\displaystyle{ A \cup B \cup \left\{ 0\right\}}\)
Skoro nie jest to grupą to musi istnieć takie: \(\displaystyle{ x \in A , y \in B}\), że:
\(\displaystyle{ x+y}\) nie należy do \(\displaystyle{ A \cup B \cup \left\{ 0\right\}}\)
znaczy, że:
\(\displaystyle{ x+y=z \in C}\)
czyli: \(\displaystyle{ x+y-z=0}\),
a co za tym idzie:
istnieją takie: \(\displaystyle{ x,y,z}\) ,że:
\(\displaystyle{ p|x+y-z}\)
cnd...
\(\displaystyle{ X=\left\{ 1,2,3,...,p-1\right\}}\) na dowolne rozłączne: \(\displaystyle{ A,B,C}\)
Zbiór \(\displaystyle{ G=X \cup \left\{ 0\right\}}\) z działaniem plus modulo jest grupą rzędu p.
Z tego wynika, że ponieważ rząd G jest liczbą pierwszą grupa ta nie ma podgrup właściwych,
a więc żaden ze zbiorów: \(\displaystyle{ A \cup \left\{ 0\right\} ,B \cup \left\{ 0\right\},C \cup \left\{ 0\right\}}\) nie jest podgrupą właściwą zbioru \(\displaystyle{ G}\).
Tym bardziej podgrupą nie jest np:
\(\displaystyle{ A \cup B \cup \left\{ 0\right\}}\)
Skoro nie jest to grupą to musi istnieć takie: \(\displaystyle{ x \in A , y \in B}\), że:
\(\displaystyle{ x+y}\) nie należy do \(\displaystyle{ A \cup B \cup \left\{ 0\right\}}\)
znaczy, że:
\(\displaystyle{ x+y=z \in C}\)
czyli: \(\displaystyle{ x+y-z=0}\),
a co za tym idzie:
istnieją takie: \(\displaystyle{ x,y,z}\) ,że:
\(\displaystyle{ p|x+y-z}\)
cnd...
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1657
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 472 razy
[Teoria liczb] Podział zbioru reszt, podzielność
dlaczego?arek1357 pisze:Skoro \(\displaystyle{ A \cup B \cup \{0\}}\) nie jest to grupą to musi istnieć takie: \(\displaystyle{ x \in A , y \in B}\), że:
\(\displaystyle{ x+y}\) nie należy do \(\displaystyle{ A \cup B \cup \left\{ 0\right\}}\)