Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+z ^{2}=(x+y+z) ^{2}-2(xy+xz+yz)}\). Ponadto \(\displaystyle{ x^{3}+\\y ^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+xz+yz)}\). Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ x+y+z>0}\) wobec założenia (wyłączamy \(\displaystyle{ x+y+z}\) przed nawias i korzystamy z \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+z ^{2} \ge xy+xz+yz}\), co wynika np. ze zwijania w kwadraty lub nierówności o ciągach jednomonotonicznych). Podstawiamy \(\displaystyle{ p=x+y+z}\), \(\displaystyle{ q=xy+xz+yz}\), przy czym \(\displaystyle{ p>0}\)... Szukamy minimum wyrażenia\(\displaystyle{ p ^{2}-2q}\) przy założeniu, że \(\displaystyle{ p ^{3}-3pq=1}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ q= \frac{p ^{3}-1 }{3p}}\) i do otrzymanego wyrażenia stosujemy nierówność AM-GM, równość zachodzi dla równych wyrazów (przy czym to jest "legalne", bo \(\displaystyle{ p>0}\)), nie chce mi się klepać obliczeń, bo ciągle mi się myli \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ 2}\)
To rozwiązanie jest tak właściwie poprawne, ale końcówka jest słabo opisana i nie do końca wiadomo co autor miał na myśli.
17.:
Mamy \(\displaystyle{ q= \frac{p^3-1}{3p} \Rightarrow x^2+y^2+z^2=p^2-2q= \frac{2+p^3}{3p}}\). I teraz z AM-GM \(\displaystyle{ \frac{2+p^3}{3p} = \frac{1+1+p^3}{3p} \ge \frac{3\sqrt[3]{1 \cdot 1 \cdot p^3} }{3p}=1}\), przy czym możemy użyć AM-GM, bo \(\displaystyle{ p>0}\). Ewentualnie można pokazać, że \(\displaystyle{ \frac{2+p^3}{3p} \ge 1 \Leftrightarrow (p-1)^2(p+2) \ge 0}\), co jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ p>0}\). Ostatecznie \(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2 \ge 1}\), a równość zachodzi np. dla \(\displaystyle{ x=1,y=z=0}\).
Michalinho pisze: To tak jakbyś zakładał, że np. funkcja \(\displaystyle{ x^2}\), przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\ge 2}\), nie ma minimum, a przecież ma w punkcie \(\displaystyle{ x=2}\).
Michalinho pisze:
To tak jakbyś zakładał, że np. funkcja \(\displaystyle{ x^2}\), przy założeniu, że \(\displaystyle{ x\ge 2}\), nie ma minimum, a przecież ma w punkcie \(\displaystyle{ x=2}\).
Jesteś pewien że to jest minimum ?
W przedziale \(\displaystyle{ \langle 2, \infty)}\), tak.
Tu chodzi po prostu o źle dobrane słownictwo. Wg mnie w treści zadania zamiast "minimum" powinno pojawić się "najmniejsza wartość" i tyle. Funkcja \(\displaystyle{ f(x)=x^2}\) w przedziale \(\displaystyle{ \langle 2, \infty )}\) nie ma minimum ale jej najmniejsza wartość w tymże przedziale istnieje i równa jest \(\displaystyle{ 4}\).
Nie ma mowy o żadnej pomyłce, ani ,,źle dobranym słownictwie'. Zarówno w zadaniu 17, jak i mojej polemice z Michalinho jest mowa wyłącznie o MINIMUM, a nie o wartości najmniejszej.
To czy Michalinho myli te pojęcia lub czy ich wogóle nie zna, nie byłby dla mnie niczym szczególnym gdyby nie jego niesympatyczny komentarz.
A wiesz Hydra147, że proponowana przez Ciebie zmiana utrudnia to zadanie ?
Może i w poleceniu jest mowa o minimum, ale podobnie jak Hydra147, myślę że chodzi tu właśnie o wartość najmniejszą.
kerajs pisze:
To czy Michalinho myli te pojęcia lub czy ich wogóle nie zna, nie byłby dla mnie niczym szczególnym gdyby nie jego niesympatyczny komentarz.
Wypraszam sobie. Nic w moim komentarzu nie widzę urażającego. Minimum funkcji to niekoniecznie minimum wyrażenia. Za to, Twój komentarz jest nieprzyjemny.
"In mathematics, the maximum and minimum (plural: maxima and minima) of a function, known collectively as extrema (singular: extremum), are the largest and smallest value that the function takes at a point either within a given neighborhood (local or relative extremum) or on the function domain in its entirety (global or absolute extremum)."
Minimum globalne = najmniejsza wartość. Minimum globalne to w szczególności minimum.
Istnieje. Np. \(\displaystyle{ S=\{ 0,1,2 \}, a*b=b\oplus_3 1,}\) gdzie \(\displaystyle{ \oplus_3}\) to dodawanie modulo \(\displaystyle{ 3.}\)
Dla \(\displaystyle{ (S,*)}\) zachodzi warunek z zadania.
Istotnie, załóżmy że \(\displaystyle{ a*b=a*c,}\) wtedy \(\displaystyle{ b\oplus_3 1=c\oplus_3 1}\) stąd \(\displaystyle{ b=c.}\) Dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c\in S}\) mamy też \(\displaystyle{ a*(b*c)=a*(c\oplus_3 1)=c\oplus_3 2}\) \(\displaystyle{ (a*b)*c=c\oplus_3 1.}\)
PS: Dla zbioru \(\displaystyle{ S}\) dwuelementowego takie działanie nie istnieje. Dla zbioru \(\displaystyle{ n-}\) elementowego \(\displaystyle{ (n>3)}\) takie działanie istnieje np. tak jak powyżej tylko z dodawaniem modulo \(\displaystyle{ n.}\)
Ostatnio zmieniony 18 wrz 2014, o 11:19 przez fon_nojman, łącznie zmieniany 1 raz.
@up
Wydawało mi się, że \(\displaystyle{ a*(b*c) \neq (a*b)*c}\)
miało zachodzić dla wszystkich trójek \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\)
zaś Ty sprawdzasz jedynie w przypadku \(\displaystyle{ b=c}\), nie mylę się?
Ukryta treść:
Nie zmienia to faktu, że wskazane przez Ciebie działanie spełnia ten warunek.
\(\displaystyle{ A'; B'; C'}\) niech będą spodkami wysokości. Zauważmy, że wysokości \(\displaystyle{ BB'}\)i \(\displaystyle{ CC'}\)są przedłużeniami boków \(\displaystyle{ DB}\)oraz\(\displaystyle{ DC}\).Stąd mamy, że\(\displaystyle{ DB T CC'}\)\(\displaystyle{ DC T BB'}\).\(\displaystyle{ A'D \subset A'A}\)c.b.d.o
Z MTF lewa strona przystaje do \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2 \mod 5}\), zaś prawa do \(\displaystyle{ 3}\) lub \(\displaystyle{ 4}\).
niech \(\displaystyle{ F,G}\) to ogniska tych parabol, niech \(\displaystyle{ A}\) będzie punktem przecięcia kierownic tych parabol, niech \(\displaystyle{ S}\) będzie taki, że \(\displaystyle{ FAGS}\) jest równoległobokiem
wtedy \(\displaystyle{ S}\) jest środkiem tego okręgu
