[MIX] Zadania różne III

[mol_ksiazkowy]

1. Rozważamy taką grę: schody mają \(\displaystyle{ 2n+1}\) stopni, przy czym na najniższych \(\displaystyle{ n}\) stopniach są kamienie. Gracze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na przemian przekładają kamienie. Gracz \(\displaystyle{ A}\) może przełożyć wyżej dowolny kamień na pierwszy wolny stopień, zaś \(\displaystyle{ B}\) może dowolny kamień przełożyć o jeden stopień niżej, o ile nie jest on już zajęty przez inny kamień. Celem gracza \(\displaystyle{ A}\) jest położyć kamień na najwyższym stopniu. Czy \(\displaystyle{ B}\) może mu to uniemożliwić ?
Kwant
2. Dane są liczby \(\displaystyle{ (1,36), (2,35), ..., (12,25)}\) ustawione w ciąg \(\displaystyle{ b_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,…,12}\). Czy można wziąć po jednej liczbie z każdej z \(\displaystyle{ b_j}\), tak by ich suma była równa sumie tych liczb, które pozostały ? Czy odpowiedź będzie inna, gdy usunie się \(\displaystyle{ (12,25)}\) ?
KöMaL
3. rozwiązane przez Zahiona
Wskazać takie cztery liczby naturalne, aby suma każdej trójki spośród nich była liczbą pierwszą.
4. Czy dla każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) istnieje \(\displaystyle{ f \in \ZZ[x]}\), taki, że liczby \(\displaystyle{ f(1) ,...., f(n)}\) są różnymi między sobą potęgami dwójki ?
5. \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą i taką, że \(\displaystyle{ f( f( f(x)) )= x}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ f (f(x))= x}\) ?
6. W kole \(\displaystyle{ K(r=10)}\) jest ustalone \(\displaystyle{ 372}\) punkty. Udowodnić, że istnieje pierścień kołowy \(\displaystyle{ P(r_1= 2, r_2=3)}\) taki, że co najmniej \(\displaystyle{ 12}\) spośród tych punktów należy do \(\displaystyle{ P}\), tzn. \(\displaystyle{ P}\) przykrywa \(\displaystyle{ 12}\) bądź więcej z nich.
7. Dla jakich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a, b, m, n}\): \(\displaystyle{ (a^2+b^2)^m= (ab)^n}\) ?
8. Na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg przy czym \(\displaystyle{ AB}\) jest jego średnicą. Punkt \(\displaystyle{ E}\) jest symetryczny do \(\displaystyle{ A}\) względem środka odcinka \(\displaystyle{ CD}\). Wykazać że proste \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ BE}\) są prostopadłe.
9. Dany jest okrąg \(\displaystyle{ o(O(0,0), r=1)}\). Wyznaczyć największą możliwie długość \(\displaystyle{ OC}\) , gdzie \(\displaystyle{ ABCD}\) jest kwadratem, zaś \(\displaystyle{ AD}\) jest cięciwą okręgu \(\displaystyle{ o}\).
10. rozwiązane przez fon_nojmana
Czy istnieje działanie \(\displaystyle{ *}\) na zbiorze skończonym (\(\displaystyle{ n}\)- elementowym) \(\displaystyle{ S}\) takie, że dla każdych \(\displaystyle{ a, b, c \in S}\):
jeśli \(\displaystyle{ a*b=a*c}\) to \(\displaystyle{ b=c}\)
\(\displaystyle{ a*(b*c) \neq (a*b)*c.}\)
11. rozwiązane przez Zahiona
Wyznaczyć minimum wyrażenia
\(\displaystyle{ |x-x_1| + |x-x_2| +….+ |x - x_{n-1}| + |x - x_n|}\)
gdzie \(\displaystyle{ 0 <x_1 < … < x_n}\)

12. rozwiązane przez Zahiona
Niech \(\displaystyle{ W(x)= x^{9999}+ x^{8888}+ x^{7777}+ x^{6666}+ x^{5555}+ x^{4444}+ x^{3333}+ x^{2222}+ x^{1111}+ 1}\) oraz \(\displaystyle{ U(x)=1+x+x^2+x^3+ x^4+ x^5+ x^6+ x^7 +x^8 +x^9}\).
Wykazać że \(\displaystyle{ W}\) jest podzielny przez \(\displaystyle{ U}\).
13. Jaki jest współczynnik przy \(\displaystyle{ x^2}\) w \(\displaystyle{ \underbrace{(((x-2)^2 - 2)^2- ….)^2- 2}_{n}}\) ?
14. Czy istnieje skończony zbiór \(\displaystyle{ M}\) złożony z punktów przestrzeni, nie zawarty w jednej płaszczyźnie i taki, że dla każdych punktów \(\displaystyle{ A, B \in M}\) istnieją takie dwa inne punkty \(\displaystyle{ C, D \in M}\), że proste \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) są równoległe i różne ?
15. Niech \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) będą liczbami całkowitymi takimi, że \(\displaystyle{ 0 \leq a \leq b \leq 99}\) oraz \(\displaystyle{ 0 \leq c \leq d \leq 99}\). I niech \(\displaystyle{ n_i = 101i + 1002^i}\). Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ n_a+ n_b \equiv n_c +n_d \bmod{10100}}\) to \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\).
16. rozwiązane przez Qnia
Rozwiązać układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y =1\\ (x^2+y^2)(x^3+y^3)=2\end{cases}}\)
17. rozwiązane przez Zahiona i Premislava
Wyznaczyć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+y^2 +z^2}\) o ile \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^3 - 3xyz =1.}\)
18. Jeśli \(\displaystyle{ S}\) jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych i niech \(\displaystyle{ S+1 = \{ x+1 : x \in S \}}\). Ile jest podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., n \}}\) takich, że \(\displaystyle{ S \cup S+1 = \{1,..., n \}}\) ?
19. \(\displaystyle{ f}\) jest funkcją ciągłą oraz \(\displaystyle{ f(x) f ( f(x))= 1}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\). Mając dane \(\displaystyle{ f(1000) = 999}\) obliczyć \(\displaystyle{ f(500)}\).
20. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ D}\) jest ortocentrum w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\), i punkty \(\displaystyle{ D, B, C}\) nie są współliniowe, to \(\displaystyle{ A}\) jest ortocentrum trójkąta \(\displaystyle{ DBC}\).

21. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ N}\) podzielną przez \(\displaystyle{ 83}\), i taka, że \(\displaystyle{ N^2}\) ma \(\displaystyle{ 63}\) dzielniki.
22. rozwiązane przez HuBsona i Ponewora
Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ x^{24}+ y^{24}= z^{24}+3}\) nie ma rozwiązań w \(\displaystyle{ N}\).
23. rozwiązane przez Hydra147
Wyznaczyć największą możliwie liczbę naturalną \(\displaystyle{ n \leq 1000}\), której nie można przedstawić w formie \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor + \lfloor 2x \rfloor + \lfloor 4x \rfloor + \lfloor 8x \rfloor}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą rzeczywistą, oraz wyznaczyć ilość liczb naturalnych \(\displaystyle{ 1 \leq n \leq 1000}\), które nie są w tej formie.
24. rozwiązane przez Zahiona
Wyznaczyć takie liczby naturalne \(\displaystyle{ m, n}\) aby
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt[3]{7m+n}- \sqrt[3]{7m -n} = \sqrt[3]{2}\\ 3m-n=2\end{cases}}\)
25. Ile jest liczb naturalnych mniejszych od \(\displaystyle{ 10^{30}}\), które nie sa kwadratami, sześcianami, ani piątymi potęgami innych liczb całkowitych ?
26. Udowodnić, że dwie parabole, których osie symetrii są prostopadłe przecinają się w czterech punktach współokręgowych.
27. rozwiązane przez Zahiona
Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ x+y+z= xyz}\) to
\(\displaystyle{ x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2)= 4xyz}\) .
28. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 11, ….}\); w ciągu tym liczby pierwsze \(\displaystyle{ p}\) są \(\displaystyle{ p}\) razy, a złożone tylko raz. Ile to jest \(\displaystyle{ a_{2014}}\) ?
29. rozwiązane przez yorgina
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, to z cyfr 1 i 2 można zbudować liczbę \(\displaystyle{ n}\) cyfrową, która jest podzielna przez \(\displaystyle{ 2^n}\).
30. Ile razy średnio należy losować liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,...,n \}}\) aby każda liczba została w końcu wylosowana (chociaż raz) ?

31. Udowodnić, ze jeśli \(\displaystyle{ f, g, h}\) są funkcjami rzeczywistymi, to istnieją \(\displaystyle{ x, y, z}\), takie, że \(\displaystyle{ 0 \leq x, y, z \leq 1}\) oraz \(\displaystyle{ |xyz - f(x) - g(y) - h(z)| \geq \frac{1}{3}}\).
32. Kwadratowa pole \(\displaystyle{ 7 \times 7}\) podzielone jest na \(\displaystyle{ 49}\) pól jednostkowych. Każdy chwast rozprzestrzenia się na te części które sąsiadują (mają wspólny bok) z co najmniej trzema już zachwaszczonymi. Ile początkowo części musi być zachwaszczonych, aby całe pole zostało zachwaszczone ?
33. rozwiązane przez Ponewora
Liczba naturalna \(\displaystyle{ N}\) jest w formie \(\displaystyle{ 3a^2+32b^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są jakimiś liczbami całkowitymi. Wykazać, że liczba \(\displaystyle{ 97N}\) jest też w tej formie (tj. z innymi \(\displaystyle{ a, b}\)).
KöMaL

[Qń]

16.:    

Drugie równanie jest równoważne:
\(\displaystyle{ \left( \left( x+y \right) ^2-2xy \right) \left( x+y \right) \left( \left( x+y \right) ^2-3xy \right) =2}\)
skąd po uwzględnieniu pierwszego równania i podstawieniu \(\displaystyle{ xy=z}\) dostajemy dalej:
\(\displaystyle{ \left( 1-2z \right) \left( 1-3z \right) =2}\)
czyli
\(\displaystyle{ 6z^2-5z-1=0}\)
skąd \(\displaystyle{ z=1}\) lub \(\displaystyle{ z=-\frac 16}\).

Tak więc ze wzorów Viete'a dostajemy, że \(\displaystyle{ x,y}\) są rozwiązaniami równania \(\displaystyle{ t^2-t+1=0}\) lub \(\displaystyle{ t^2-t-\frac 16=0}\). Oczywiście rozwiązania ma tylko drugie równanie i są to \(\displaystyle{ t=\frac{1\pm \sqrt{ \frac 53}}{2}}\), skąd ostatecznie:
\(\displaystyle{ \left\{ x,y \right\} = \left\{\frac{1+ \sqrt{ \frac 53}}{2},\frac{1- \sqrt{ \frac 53}}{2} \right\}}\)

Q.

[Ponewor]

33.:    

\(\displaystyle{ \left(ma^{2}+nb^{2}\right)\cdot\left( c^{2}+mnd^{2}\right)=m\left(ac+nbd\right)^{2} +n\left(bc-mad\right)^{2}}\)
wystarczy położyć teraz \(\displaystyle{ m=3}\), \(\displaystyle{ n=32}\) i \(\displaystyle{ c=d=1}\).

[Zahion]

12:    

Pomnóżmy wielomiany \(\displaystyle{ W, U}\) przez \(\displaystyle{ x-1}\). Otrzymujemy
\(\displaystyle{ G(x)=(x-1)(x^{9999}+ x^{8888}+ x^{7777}+ x^{6666}+ x^{5555}+ x^{4444}+ x^{3333}+ x^{2222}+x^{1111}+1)=x^{10000}+x^{8889}+x^{7778}+x^{6667}+x^{5556}+x^{4445}+x^{3334}+x^{2223}+x^{1112}+x-(x^{9999}+ x^{8888}+ x^{7777}+ x^{6666}+ x^{5555}+ x^{4444}+ x^{3333}+ x^{2222}+x^{1111}-1)}\)

oraz \(\displaystyle{ K(x)=x^{10}-1}\)
Oczywiście wystarczy dowieść, że wielomian \(\displaystyle{ K}\) dzieli \(\displaystyle{ G}\). Mamy, że \(\displaystyle{ G(x)=(x-1)(x^{9999}+ x^{8888}+ x^{7777}+ x^{6666}+ x^{5555}+ x^{4444}+ x^{3333}+ x^{2222}+x^{1111})=x^{10000}+x^{8889}+x^{7778}+x^{6667}+x^{5556}+x^{4445}+x^{3334}+x^{2223}+x^{1112}+x-(x^{9999}+ x^{8888}+ x^{7777}+ x^{6666}+ x^{5555}+ x^{4444}+ x^{3333}+ x^{2222}+x^{1111}-1)=x^{8889}(1-x^{1110})+x^{7778}(1-x^{1110})+x^{6667}(1-x^{1110})+...+x(1-x^{1110})+(x^{10000}-1)}\)
Każde z wyrażeń znajdujące się w nawiasie dzieli się przez \(\displaystyle{ x^{10}-1}\) co wynika ze wzoru \(\displaystyle{ a^{n}-b^{n}=(a-b)(a^{n-1}+...+b^{n-1})}\), bo \(\displaystyle{ 1-x^{1110}=-(x^{1110}-1)=-(x^{10}-1)(x^{1100}+...+1)}\) i \(\displaystyle{ x^{10000}-1=(x^{10}-1)(x^{9990}+...+1)}\)

17:    

\(\displaystyle{ 1=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz) \le (x+y+z)(2(x^{2}+y^{2}+z^{2})) \le 6\sqrt{ \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3} }(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\)

Niech \(\displaystyle{ a = x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) wtedy mamy, że \(\displaystyle{ 1 \le 6a\sqrt{ \frac{a}{3} }}\) i dalej \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{12} } \le a = x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)
Oczywiście korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ x+y+z > 0}\) bo w przeciwnym wypadku równość dana w zadaniu by nie zachodziła.

27:    

\(\displaystyle{ x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2) =xyz(xy+yz+xz)-x^{2}y-xy^{2}-x^{2}z-xz^{2}-y^{2}z-yz^{2}+x+y+z=(x+y+z)(xy+yz+xz)-x^{2}y-xy^{2}-x^{2}z-xz^{2}-y^{2}z-yz^{2}+x+y+z=4xyz.}\)

[Ponewor]

17:    

\(\displaystyle{ 1=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz) \le (x+y+z)(2(x^{2}+y^{2}+z^{2})) \le 6\sqrt{ \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{3} }(x^{2}+y^{2}+z^{2})}\)

Niech \(\displaystyle{ a = x^{2}+y^{2}+z^{2}}\) wtedy mamy, że \(\displaystyle{ 1 \le 6a\sqrt{ \frac{a}{3} }}\) i dalej \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{12} } \le a = x^{2}+y^{2}+z^{2}}\)
Oczywiście korzystamy z tego, że \(\displaystyle{ x+y+z > 0}\) bo w przeciwnym wypadku równość dana w zadaniu by nie zachodziła.

Jeszcze musisz napisać kiedy równość zachodzi. A tu się rozwiązanie psuje, bo równość w Twoich szacowaniach zachodzi gdy niewiadome są równe, ale wtedy nie zachodzi równość z założenia.

[Zahion]

A to myczek

11:    

19:    

\(\displaystyle{ f(500)= \frac{1}{500}}\)

[Kartezjusz]

Zadanie 3

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 1,1,1,5}\). Nikt nie mówił,żeby były różne.

Zadanie 1

Ukryta treść:    

Jeśli \(\displaystyle{ n=1}\) to taką możliwość ma, bo przechodzimy między stopniami 1,2.Innych możiwości nie ma.
Dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) mamy to,że zacząć może tylko gracz A, bo B nie może z założenia wykonać ruchu. Gracz A ,wystarczy że będzie ruszał najniższym kamieniem. Wówczas przeniesie najpierw na stopień \(\displaystyle{ n+1}\) z \(\displaystyle{ 1}\); B może jedynie poruszyć ze stopnia \(\displaystyle{ 2}\) na \(\displaystyle{ 1}\) . Wówczas gracz \(\displaystyle{ A}\) podbija kamień z \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ n+2.}\); Teraz \(\displaystyle{ B}\)może przenieść jedynie z \(\displaystyle{ 3}\) na \(\displaystyle{ 2}\). Teraz z \(\displaystyle{ 2}\) A przenosi na \(\displaystyle{ n+3}\), B przenosi z \(\displaystyle{ 4}\)na \(\displaystyle{ 3}\). A- z \(\displaystyle{ 3}\) na \(\displaystyle{ n+4}\).powtarzamy ten krok.

[Zahion]

3 Inna trójka niż Kartezjusz'a:    

Gdyby ktoś chciał różne to \(\displaystyle{ 1,3,7,9}\)

24:    

Zadanie sprowadza się do rozwiązania równania \(\displaystyle{ \sqrt[3]{10m-2}- \sqrt[3]{4m+2}= \sqrt[3]{2}}\). Oczywiście funkcja dana wzorem \(\displaystyle{ f(m) = \sqrt[3]{10m-2}- \sqrt[3]{4m+2}}\) jest rosnąca stąd istnieje co najwyżej jedno rozwiązanie, które można bez problemu oszacować. \(\displaystyle{ m = 13}\) i \(\displaystyle{ n = 37}\)

21:    

\(\displaystyle{ 4482}\)

[timon92]

14:    

istnieje, np. \(\displaystyle{ M=\{ A, B, C, D, E, F, G, H, I, J \}}\), gdzie sześciokąty \(\displaystyle{ ABCDE F}\) oraz \(\displaystyle{ AGHDIJ}\) są foremne

[yorgin]

29:    

\(\displaystyle{ n=1 \rightarrow 2\\
n=2 \rightarrow 12\\
n=3 \rightarrow 112\\
\ldots}\)
I na tym poprzestaniemy wypisywanie.

Właściwy dowód to indukcja. Załóżmy, że mamy już liczbę złożoną z \(\displaystyle{ n}\) cyfr, która jest podzielna
przez \(\displaystyle{ 2^n}\). Niech to będzie liczba \(\displaystyle{ a_n=\overline{b_n^n b_{n-1}^n \ldots b_1^n}}\) gdzie \(\displaystyle{ b_k^n\in\{0,1\}}\).
Weźmy liczbę \(\displaystyle{ a_{n+1}':=\overline{1b_n^n b_{n-1}^n\ldots b_1^n}}\). Jeżeli \(\displaystyle{ 2^{n+1}|a_{n+1}'}\) to bierzemy \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_{n+1}'}\). Jeżeli nie, to bierzemy \(\displaystyle{ a_{n+1}:=\overline{2b_{n}^n b_{n-1}^n\ldots b_1^n}}\) i ta liczba jest już podzielna przez \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\). Istotnie, skoro \(\displaystyle{ 2^{n}|a_{n}}\) i \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a_{n+1}'}\), to daje resztę z dzielenia równą \(\displaystyle{ 2^{n}}\). Ale \(\displaystyle{ 10^{n+1}}\) też daje resztę z dzielenia przez \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\) równą \(\displaystyle{ 2^n}\), więc liczba \(\displaystyle{ a_{n+1}'+10^{n+1}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\) (reszty z dzielenia są podzielne przez \(\displaystyle{ 2^{n+1}}\)).

[HuBson]

Zadanie 3

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 1,1,1,5}\). Nikt nie mówił,żeby były różne.

Zadanie 1

Ukryta treść:    

Jeśli \(\displaystyle{ n=1}\) to taką możliwość ma, bo przechodzimy między stopniami 1,2.Innych możiwości nie ma.
Dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\) mamy to,że zacząć może tylko gracz A, bo B nie może z założenia wykonać ruchu. Gracz A ,wystarczy że będzie ruszał najniższym kamieniem. Wówczas przeniesie najpierw na stopień \(\displaystyle{ n+1}\) z \(\displaystyle{ 1}\); B może jedynie poruszyć ze stopnia \(\displaystyle{ 2}\) na \(\displaystyle{ 1}\) . Wówczas gracz \(\displaystyle{ A}\) podbija kamień z \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ n+2.}\); Teraz \(\displaystyle{ B}\)może przenieść jedynie z \(\displaystyle{ 3}\) na \(\displaystyle{ 2}\). Teraz z \(\displaystyle{ 2}\) A przenosi na \(\displaystyle{ n+3}\), B przenosi z \(\displaystyle{ 4}\)na \(\displaystyle{ 3}\). A- z \(\displaystyle{ 3}\) na \(\displaystyle{ n+4}\).powtarzamy ten krok.

zadanie 1:    

"podbija kamień z \(\displaystyle{ 1}\) na \(\displaystyle{ n+2.}\)" tego jak mniemam nie może zrobić ponieważ jak jest napisane w treści zadania "Gracz A może przełożyć wyżej dowolny kamień na pierwszy wolny stopień" czyli na stopień \(\displaystyle{ 2}\) chyba że ja czegoś nie zrozumiałem to sorry

[Premislav]

17.:    

\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+z ^{2}=(x+y+z) ^{2}-2(xy+xz+yz)}\). Ponadto \(\displaystyle{ x^{3}+\\y ^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+xz+yz)}\). Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ x+y+z>0}\) wobec założenia (wyłączamy \(\displaystyle{ x+y+z}\) przed nawias i korzystamy z \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+z ^{2} \ge xy+xz+yz}\), co wynika np. ze zwijania w kwadraty lub nierówności o ciągach jednomonotonicznych). Podstawiamy \(\displaystyle{ p=x+y+z}\), \(\displaystyle{ q=xy+xz+yz}\), przy czym \(\displaystyle{ p>0}\)... Szukamy minimum wyrażenia\(\displaystyle{ p ^{2}-2q}\) przy założeniu, że \(\displaystyle{ p ^{3}-3pq=1}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ q= \frac{p ^{3}-1 }{3p}}\) i do otrzymanego wyrażenia stosujemy nierówność AM-GM, równość zachodzi dla równych wyrazów (przy czym to jest "legalne", bo \(\displaystyle{ p>0}\)), nie chce mi się klepać obliczeń, bo ciągle mi się myli \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ 2}\)

[Ponewor]

17.:    

\(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+z ^{2}=(x+y+z) ^{2}-2(xy+xz+yz)}\). Ponadto \(\displaystyle{ x^{3}+\\y ^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)^{3}-3(x+y+z)(xy+xz+yz)}\). Łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ x+y+z>0}\) wobec założenia (wyłączamy \(\displaystyle{ x+y+z}\) przed nawias i korzystamy z \(\displaystyle{ x ^{2}+y ^{2}+z ^{2} \ge xy+xz+yz}\), co wynika np. ze zwijania w kwadraty lub nierówności o ciągach jednomonotonicznych). Podstawiamy \(\displaystyle{ p=x+y+z}\), \(\displaystyle{ q=xy+xz+yz}\), przy czym \(\displaystyle{ p>0}\)... Szukamy minimum wyrażenia\(\displaystyle{ p ^{2}-2q}\) przy założeniu, że \(\displaystyle{ p ^{3}-3pq=1}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ q= \frac{p ^{3}-1 }{3p}}\) i do otrzymanego wyrażenia stosujemy nierówność AM-GM, równość zachodzi dla równych wyrazów (przy czym to jest "legalne", bo \(\displaystyle{ p>0}\)), nie chce mi się klepać obliczeń, bo ciągle mi się myli \(\displaystyle{ 1}\) z \(\displaystyle{ 2}\)

Jak już pisałem wcześniej - gdy równość zachodzi dla równych wyrazów, to wtedy nie zachodzi równość z założenia.

[HuBson]

22.:    

\(\displaystyle{ x^{24}+y^{24}=z^{24}+3}\)
rozważmy 8 przypadków mod (3)
reszta z dzielenia każdego kwadratu przez 3 to 0 lub 1
więc mamy:
(1)
\(\displaystyle{ x^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ y^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ z^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
to jest niemożliwe bo wtedy lewa strona równania \(\displaystyle{ L\equiv 0 \pmod{9}}\)
a prawa \(\displaystyle{ P\equiv 3 \pmod{9}}\)
(2)
\(\displaystyle{ x^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ y^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ z^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
i
(3)
\(\displaystyle{ x^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ y^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ z^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
i
(4)
\(\displaystyle{ x^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ y^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ z^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
niemożliwe bo \(\displaystyle{ L\equiv 0 \pmod{3}}\) a \(\displaystyle{ P\equiv 1 \pmod{3}}\)
*(3) po przeniesieniu \(\displaystyle{ x^{24}}\) na prawą stronę
**(4) po przeniesieniu \(\displaystyle{ y^{24}}\) na prawą stronę
(5)
\(\displaystyle{ x^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ y^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ z^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
i
(6)
\(\displaystyle{ x^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ y^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ z^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
psuje mod (9)
\(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są postaci tutaj \(\displaystyle{ 3k+1}\) lub \(\displaystyle{ 3k+2}\) gdzie \(\displaystyle{ k \in C}\) przekształcając wyrażenie mamy (na przykładzie (5)w (6) zamiast \(\displaystyle{ x}\) jest \(\displaystyle{ y}\))
\(\displaystyle{ x^{24}=z^{24}-y^{24}+3}\)
pokażemy że wrażenie \(\displaystyle{ z^{24}-y^{24}}\) jest podzielne przez 9 wtedy równość będzie sprzeczna bo lewa strona dzieli 9 a prawa nie
\(\displaystyle{ z^{24}-y^{24}=(z^{12}-y^{12})(z^{12}+y^{12})=(z^{6}-y^{6})(z^{6}+y^{6})(z^{12}+y^{12})=(z^{3}-y^{3})(z^{3}+y^{3})(z^{6}+y^{6})(z^{12}+y^{12})}\)
dla \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\) postaci \(\displaystyle{ 3k+1}\) i \(\displaystyle{ 3c+1}\) oraz \(\displaystyle{ 3k+2}\) i \(\displaystyle{ 3c+2}\)

\(\displaystyle{ (z-y)(z^{2}+zy+y^{2})}\)
po podstawieniu widać podzielność przez \(\displaystyle{ 9}\)
dla \(\displaystyle{ z}\) i \(\displaystyle{ y}\) postaci \(\displaystyle{ c \in C}\) \(\displaystyle{ 3k+2}\) i \(\displaystyle{ 3c+1}\) oraz \(\displaystyle{ 3k+1}\) i \(\displaystyle{ 3c+2}\)
\(\displaystyle{ (z+y)(z^{2}-zy+y^{2})}\)
po podstawieniu także widać podzielność przez \(\displaystyle{ 9}\)
zatem to jest niemożliwe bo wtedy lewa strona równania \(\displaystyle{ L\equiv 0 \pmod{9}}\)
a prawa \(\displaystyle{ P\equiv 3 \pmod{9}}\)


(7)
\(\displaystyle{ x^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ y^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ z^{24}\equiv 0 \pmod{3}}\)
to jest niemożliwe bo wtedy lewa strona równania \(\displaystyle{ L\equiv 2 \pmod{3}}\)
a prawa \(\displaystyle{ P\equiv 0 \pmod{3}}\)
(8)
\(\displaystyle{ x^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ y^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
\(\displaystyle{ z^{24}\equiv 1 \pmod{3}}\)
to jest niemożliwe bo wtedy lewa strona równania \(\displaystyle{ L\equiv 2 \pmod{3}}\)
a prawa \(\displaystyle{ P\equiv 1 \pmod{3}}\)

[Hydra147]

23:    

Oznaczmy \(\displaystyle{ f(x)=\left[ x\right]\ +\left[ 2x\right] +\left[ 4x\right]+\left[ 8x\right]}\)Zauważmy, że każdą liczbę rzeczywistą \(\displaystyle{ x}\) możemy w sposób jednoznaczny przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{n}{8}+ \alpha}\) dla \(\displaystyle{ \alpha \in <0; \frac{1}{8})}\) oraz \(\displaystyle{ n}\) naturalnego. Natychmiast zauważamy, że \(\displaystyle{ f(x)=f( \frac{n}{8})}\) wystarczy zatem sprawdzać liczby będące ósmą częścią liczb całkowitych. Rozpatrzmy teraz kilka przypadków w zależności od reszty, jaką daje liczba n przy dzieleniu przez 8. Mamy:
\(\displaystyle{ n=8k \Rightarrow f(n)=15k}\)
\(\displaystyle{ n=8k+1 \Rightarrow f(n)=15k+1}\)
\(\displaystyle{ n=8k+2 \Rightarrow f(n)=15k+3}\)
\(\displaystyle{ n=8k+3 \Rightarrow f(n)=15k+4}\)
\(\displaystyle{ n=8k+4 \Rightarrow f(n)=15k+7}\)
\(\displaystyle{ n=8k+5 \Rightarrow f(n)=15k+8}\)
\(\displaystyle{ n=8k+6 \Rightarrow f(n)=15k+10}\)
\(\displaystyle{ n=8k+7 \Rightarrow f(n)=15k+11}\)
Widzimy zatem, że danej liczby całkowitej nie ma w zbiorze wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) wtedy i tylko wtedy, gdy daje resztę \(\displaystyle{ 2,5,6,9,12,13,14}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 15}\). Największą taką liczbą z żądanego przedziału jest zatem \(\displaystyle{ 999}\), a ich samych jest w tym przedziale \(\displaystyle{ 466}\).

-- 3 lip 2014, o 19:52 --

28.:    

Suma pierwszych\(\displaystyle{ 32}\) liczb pierwszych to \(\displaystyle{ 1851}\), a owa \(\displaystyle{ 32}\). liczba pierwsza to \(\displaystyle{ 131}\). Zatem liczba \(\displaystyle{ 131}\) pojawi się po raz ostatni na \(\displaystyle{ 131-32+1851=1950.}\) miejscu. Dalej mamy raptem \(\displaystyle{ 5}\) liczb złożonych, a przez następne \(\displaystyle{ 137}\) miejsc (w tym na \(\displaystyle{ 2014.}\) miejscu) pojawiać się będzie liczba \(\displaystyle{ 137}\).

13.:    

Dla nas oczywiście znaczenie mają tylko trzy ostatnie współczynniki wielomianu. Przez łatwą indukcję można wykazać, że wyraz wolny wielomianu zawsze będzie równy \(\displaystyle{ 4}\). Zastanówmy się nad współczynnikiem przy \(\displaystyle{ x}\). Może on powstać z poprzedniego wielomianu tylko na \(\displaystyle{ 1}\) sposób mianowicie przez pomnożenie wyrazu wolnego z poprzedniego wielomianu pomniejszonego o \(\displaystyle{ 2}\) (czyli \(\displaystyle{ 2}\)) i poprzedniego współczynnika przy \(\displaystyle{ x}\). Wynik oczywiście musimy jeszcze podwoić. Widzimy zatem, że współczynnik ten jest równy \(\displaystyle{ - 4^{n}}\). Przejdźmy teraz do współczynnika przy \(\displaystyle{ x^2}\) i oznaczmy go przez \(\displaystyle{ a _{n}}\). On z kolei może powstać przez podniesienie współczynnika przy \(\displaystyle{ x}\) do kwadratu, bądź też przez pomnożenie wyrazu wolnego pomniejszonego o 2 przez poprzedni wyraz przy \(\displaystyle{ x^2}\) (tzn. \(\displaystyle{ a_{n-1}}\)). Wymik oczywiście musimy jeszcze podwoić. Nasz ciąg \(\displaystyle{ a_{n}}\) możemy zatem określić rekurencyjnie wzorami:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{1}=1 \\ a_{n}= 16^{n-1}+4 a_{n-1} \end{cases}}\) .
Taką rekurencję spełnia oczywiście ciąg \(\displaystyle{ a_{n}= \frac{ 4^{2n-1} + 4^{n-1} }{3}}\) co kończy rozwiązanie zadania