[MIX] Zadania różne II

[mol_ksiazkowy]

1. Przed nadchodzącymi międzynarodowymi zawodami matematycznymi, uczestniczące kraje zostały poproszone o propozycje spośród 9-ciu zadań kombinatorycznych. Wiedząc, jak trudno jest zwykle
dojść do porozumienia, nikt nie był zaskoczony, że:
a) Każdy kraj głosował na dokładnie 3 zadania;
b) Każde dwa kraje głosowały na inny zbiór zadań;
c) Dla dowolnych trzech krajów istniało zadanie, na które żaden nie głosował.
Znaleźć największą możliwą liczbę krajów uczestniczących w zawodach.
bw2008
2. rozwiązane przez yorgina i Qnia
Czy istnieje zbiór \(\displaystyle{ X}\) mający 2014 elementów będących różnymi liczbami naturalnymi, taki, że suma liczb dowolnego niepustego podzbioru \(\displaystyle{ Y \subset X}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej ?
3. Na przyjęciu było \(\displaystyle{ n>10}\) osób. Wsród dowolnych 10-ciu z nich istnieją trzy, z których każda zna dwie pozostałe (3 klika). Udowodnić, iż wsród wszystkich tych \(\displaystyle{ n}\) osób jest 8 takich, że każda z reszty (tj. z \(\displaystyle{ n-8}\) osób) zna choć jedna osobę z tej ósemki.
4. rozwiązane przez Marcinek665
Dla jakich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ x,y}\):
\(\displaystyle{ \sqrt{xy}, \frac{ x+y}{2}, \frac{2xy}{x+y}, \sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}}\)
są liczbami całkowitymi i ich suma równa się 66
?
5. rozwiązane przez Qnia
Wyznaczyć takie \(\displaystyle{ a, b, c \in N}\) że \(\displaystyle{ a+b+c, \ ab+bc+ca, \ abc}\) jest postępem arytmetycznym
6. rozwiązane przez timona92
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) jeden z kątów jest \(\displaystyle{ 120^{o}}\). Punkty przecięcia się dwusiecznych z przeciwległymi bokami utworzyły trójkąt \(\displaystyle{ A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}}\). Udowodnić, że jest on prostokątny
7. rozwiązane przez Qnia
Jaka jest najmniejsza liczba naturalna \(\displaystyle{ m}\) taka, że
\(\displaystyle{ \frac{7m^{25}-10}{83}}\) jest liczbą całkowitą ?
8. rozwiązane przez mortana517
Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ \frac{-x^2+5x-6}{2} = \sqrt{ 4 - x\sqrt{ 4- \left( x-2 \right) \sqrt{1+ \left( x-5 \right) \left( x-7 \right) }} }}\)
9. Wykazać, że równanie \(\displaystyle{ 15^x + 32^y = 17^z}\) ma dokładnie jedno rozwiązanie w \(\displaystyle{ N}\)
10. W przestrzeni jest 6 punktów (żadne cztery nie są współpłaszczyznowe). Łącząc niektóre z nich narysowano 10 odcinków. Udowodnić, że powstał w ten sposób choć jeden trójkąt.

11. rozwiązane przez Qnia
Znaleźć cztery punkty na płaszczyźnie, które nie są na brzegu żadnego trójkąta ani też kwadratu
12. Dane są trójki liczb dodatnich \(\displaystyle{ \left( a, b, c \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \left( x, y, z \right)}\) takie, że
\(\displaystyle{ \min \left( a, b, c \right) \leq \min \left( x, y ,z \right)}\) oraz \(\displaystyle{ \max \left( x, y, z \right) \leq \max \left( a, b ,c \right)}\) jak też:
\(\displaystyle{ a+ b+ c= x+y+z}\)
\(\displaystyle{ abc= xyz}\).
Wykazać, iż zbiory \(\displaystyle{ \left\{ a, b, c \right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ x, y, z \right\}}\) są równe
13. rozwiązane przez Premislava i Zahiona
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a^4}{a^3+ a^2b +b^3} \geq \frac{7a-4b}{9}}\) dla \(\displaystyle{ a, b>0}\)
14. rozwiązane przez Mściwoja
Ile razy może się odbić cząstka od dwóch prostych nachylonych do siebie pod kątem \(\displaystyle{ 1^{o}}\)?
Uwagi: zakładamy, że cząstka znajduje się między tymi prostymi, i porusza się według reguły „kąt padania = kąt odbicia”.
15. Wyznaczyć jakie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), sa przedstawialne w formie \(\displaystyle{ n=\frac{ \left( x+y+z \right) ^2}{xyz}}\) , gdzie \(\displaystyle{ x, y, z \in N}\) oraz podać najmniejszą z liczb nie będącą taką.
16. rozwiązane przez Qnia
Na polowaniu jest \(\displaystyle{ n}\) strzelców i \(\displaystyle{ n}\) zajęcy. Każdy strzelec wybiera losowo cel (tj. zająca). Ile średnio zajęcy ujdzie z życiem ?
Uwagi: Zakładamy, ze strzelcy nigdy nie pudłują.
17. rozwiązane przez Ponewora
Liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ a^2+ 2}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) jest liczba naturalna. Udowodnić, że \(\displaystyle{ p}\) lub \(\displaystyle{ 2p}\) jest w formie \(\displaystyle{ x^2+2y^2}\) przy \(\displaystyle{ x, y \in N}\)
18. rozwiązane przez Zahiona
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x^2 \left( y^2+ z^2 \right) = axyz\\ y^2 \left( x^2+ z^2 \right) = bxyz\\ z^2 \left( x^2+ y^2 \right) = cxyz\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są dane
19. rozwiązane przez Mściwoja
W przestrzeni dane są trzy wzajemnie prostopadłe półproste, wychodzące z jednego wierzchołka. Udowodnić, że dowolny trójkąt ostrokątny można umieścić tak, że każdy jego wierzchołek leży na innej z tych półprostych.
20 rozwiązane przez Qnia
Wykazać, że w ciągu \(\displaystyle{ a_n=10^n+ 3}\) jest nieskończona ilość liczb złożonych

21. W pewnym mieście działa 16 agentów, z którym każdy śledzi niektórych z pozostałych. Poza tym dowolnych 10-ciu agentów można ustawić tak, że pierwszy z nich śledzi drugiego, drugi trzeciego, ... itd. aż ostatni śledzi pierwszego. Wykazać, że dowolnych 11-tu agentów też można ustawić w taki sam sposób.
Uwagi: Jeśli A śledzi B, to B nie śledzi A (dla dowolnych A i B)
22. Jakie są punkty kratowe na prostej \(\displaystyle{ 133x + 43y= 2014}\) najbliżej punktu \(\displaystyle{ P \left( 9, 19 \right)}\) ?
23. Niech \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{ \left( ax+b \right) \left( cx+d \right) }{ \left( bx+a \right) \left( dx+c \right) }}\)
Wskazać \(\displaystyle{ \left( a, b, c, d \right)}\) (o ile istnieją) iż \(\displaystyle{ f}\):
a) jest injekcją ale nie surjekcją
b) jest surjekcją ale nie injekcją
c) nie jest ani injekcją, ani surjekcją
d) jest bijekcją
24. rozwiązane przez Hydra147a
Dane są cztery kule, z których każde dwie są styczne zewnętrznie. Udowodnić ze istnieje wówczas sfera albo płaszczyzna do której należą te wszystkie punkty styczności.
25. rozwiązane przez Mściwoja
Podać przykład niezerowych funkcji \(\displaystyle{ f, g: R \mapsto R}\):
\(\displaystyle{ \left( \frac{f}{g} \right) ^{\prime}= \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}}\)
26. Niech \(\displaystyle{ f: \left( 0,1 \right) \mapsto R}\) jest taka, że:
\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \begin{cases} x \ \ , x \notin Q\\ \frac{p+1}{q} \ \ , x \in Q \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ x=\frac{p}{q}}\) nieskracalny
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \max _{A} f}\) oraz \(\displaystyle{ \min _{A} f}\), gdy \(\displaystyle{ A= \left( \frac{7}{8}, \frac{8}{9} \right)}\)
27. rozwiązane przez Sceptera
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie funkcją mającą ciągłą pochodną \(\displaystyle{ f^{\prime}}\) na \(\displaystyle{ \left\langle 0, 1 \right\rangle}\) i \(\displaystyle{ f \left( 0 \right) =f \left( 1 \right) =0}\) Wykazać, że \(\displaystyle{ |\int_{0}^1 f \left( x \right) dx |^2 \leq \frac{1}{12} \int_{0}^1 f^{\prime} \left( x \right) ^2 dx}\)
28. Dane jest \(\displaystyle{ n \geq 3}\) punktów na płaszczyźnie, a odległość miedzy dowolnymi dwoma wynosi co najmniej 1. Pokazać, że jest najwyżej \(\displaystyle{ 3n- 6}\) par punktów, między którymi odległość wynosi 1.
29. rozwiązane przez Qnia
Przedstawić w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ \left( 1+\cos \left( x \right) + i \sin \left( x \right) \right) ^{2014}}\)
30. rozwiązane przez yorgina
Czy istnieje funkcja rzeczywista \(\displaystyle{ f}\) ciągła i taka, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} f \left( Q \right) \subset R \backslash Q\\ f \left( R \backslash Q \right) \subset Q \end{cases}}\)
?
31. rozwiązane przez Mściwoja
a) Czy ze zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum \left( a_n + 2a_{n+1} \right)}\) wynika zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum a_n}\)
b) A co z implikacją odwrotną ?
32. rozwiązane przez Zahiona
Wykazać, że liczby \(\displaystyle{ k^3 + 2k}\) i \(\displaystyle{ k^4 + 3k^2+ 1}\) są względnie pierwsze dla \(\displaystyle{ k>1}\) i \(\displaystyle{ k \in N}\)
33. rozwiązane przez Qnia i Msciwoja
Czy istnieje funkcja \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) ciągła i taka, że:
a) \(\displaystyle{ f \left( x+y \right) - f \left( x \right) - f \left( y \right) =2xy}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\)
b) \(\displaystyle{ f \left( 0 \right) =0}\)
inna od \(\displaystyle{ f \left( x \right) =x^2}\) ?
Czy bez założenia o ciągłości odpowiedź będzie taka sama ?

[Zahion]

32:    

Załóżmy przeciwnie, niech \(\displaystyle{ NWD(k^{4}+3k^{2}+1,k^{3}+2k)=d, d>1}\). Wtedy oczywiście \(\displaystyle{ d|(k^{4}+3k^{2}+1)-k(k^{3}+2k)=k^{2}+1}\) i \(\displaystyle{ d|(k^{3}+2k)-k(k^{2}+1)=k}\) więc \(\displaystyle{ d|1}\) co daje nam sprzeczność

[Qń]

33:    

www.matematyka.pl/53385.htm

Q.

[Zahion]

13:    

Mnożąc na krzyż i redukując mamy, że \(\displaystyle{ 2a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4} \ge 3a^{3}b+7ab^{3}}\) Zauważmy, że \(\displaystyle{ (2a^{4}+4a^{2}b^{2}+4b^{4} )-(3a^{3}b+7ab^{3})=2a^{3}(a-b)-4b^{3}(a-b)-a^{2}b(a-b)+3ab^{2}(a-b)=(a-b)(2a^{3}-4b^{3}-a^{2}b+3ab^{2})=(a-b)(a^{3}-b^{3}+a^{3}-a^{2}b+3ab^{2}-3b^{3})=(a-b)((a-b)(a^{2}+ab+b^{2})+a^{2}(a-b)-3b^{2}(a-b))=(a-b)^{2}(2a^{2}+4b^{2}+ab)=(a-b)^{2}( \frac{1}{2}(a+b)^{2}+ \frac{3}{2}a^{2}+ \frac{7}{2}b^{2}) \ge 0}\)

[Scepter]

27.:    

Całkując przez części mamy
\(\displaystyle{ \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 (x-\frac{1}{2})' f(x) dx = ... = -\int_0^1 (x-\frac{1}{2}) f'(x) dx}\)
Zatem z C-S mamy:
\(\displaystyle{ \left(\int_0^1 f(x) dx\right)^2 = \left(\int_0^1 (x-\frac{1}{2}) f'(x) dx \right)^2 \leq \int_0^1 (x-\frac{1}{2})^2 dx \cdot \int_0^1 f'(x)^2 dx = \frac{1}{12} \int_0^1 f'(x)^2 dx}\)

QED

[Zahion]

18:    

[Premislav]

Zadanie trzynaste (spóźniłem się, głupi komputer :/)

Ukryta treść:    

Po wymnożeniu na pałę, wobec dodatniości mianowników, otrzymujemy równoważną początkowej nierówność \(\displaystyle{ 2a ^{4}+4b ^{2}a ^{2}+4b ^{4} \ge 3a ^{3}b+7ab ^{3}}\). Z nierówności AM-GM mamy \(\displaystyle{ 2b ^{2}a ^{2}+2b ^{4} \ge 4ab ^{3}(*)\\}\); z nierówności o ciągach jednomonotonicznych zachodzi \(\displaystyle{ a ^{4}+b ^{4} \ge a ^{3}b+ab ^{3}\\}\)(^); znowuż na mocy AM-GM mamy \(\displaystyle{ a ^{4}+b ^{2}a ^{2} \ge 2a ^{3}b}\) (&) oraz \(\displaystyle{ b ^{4}+b ^{2}a ^{2} \ge 2ab ^{3}}\)(@). Sumując stronami (*),(&),(^) i (@), otrzymujemy tezę zadania.

[Msciwoj]

25:    

Zgadujemy, że będą postaci:

\(\displaystyle{ f(x) = e^{px}, g(x) = e^{qx}}\), gdzie \(\displaystyle{ p,q \in \mathbb{R}}\)

Policzmy:
\(\displaystyle{ \left(\frac{f}{g}\right)' = (e^{(p-q)x})'=(p-q)\cdot \frac{f}{g}}\)
\(\displaystyle{ \frac{f'}{g'} = \frac{(e^{px})'}{(e^{qx})'}= \frac {p}{q}\cdot \frac{f}{g}}\)

A więc do równości z zadania wystarczy:

\(\displaystyle{ p-q = \frac{p}{q}}\)

To równanie łatwo jednak rozwiązać ze względu na \(\displaystyle{ p}\):

\(\displaystyle{ p = \frac{q^2}{q-1}}\)

Odpowiedź więc brzmi: Wszystkie funkcje postaci \(\displaystyle{ g(x) = e^{qx}, f(x)= e^{\frac{q^2}{q-1} x}}\), gdzie \(\displaystyle{ q \in \mathbb{R}, q \neq 1}\)

I oczywiście mogą być inne, ale miałem podać przykład.

14:    

Narysujmy sobie w wyobraźni prostą, oraz tor jakiejś cząstki, która się od niej odbija. Zauważmy, że możemy wyprostować ten tor, odbijając go symetrycznie względem owej prostej. Rzeczywiście, kąt padania równa się kątowi odbicia, więc prosta przed odbiciem jest równoległa do obrazu prostej po odbiciu w tej symetrii, a że mają wspólny punkt, to tor nam się prostuje.

Każde odbicie cząstki od prostej możemy więc zastąpić odbiciem całego majdanu po stronie cząstki symetrycznie na drugą stronę. Z naszego kąta robi się więc taka gwiazda. Oczywiście, wyprostowany tor ruchu jest prostą. Pytamy więc, ile prostych z tej gwiazdy może przeciąć ten tor ruchu. No ponieważ jest on prostą, to najwięcej przetnie 180, czyli wszystkie leżące po jednej stronie. Wynika stąd, że cząstka odbije się najwięcej 180 razy.

33:    

Qń, to jest inne zadanie. , nie wiem czy specjalnie czy nie specjalnie, ale to jest inne zadanie.

Zadanie 33. spełnia również funkcja \(\displaystyle{ f(x) = x^2 + ax}\), dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ a \in \mathbb{R}}\), bo równanie jest liniowe, więc wszystkie funkcje, które spełniają równanie jednorodne \(\displaystyle{ f(x+y) - f(y) -f(x) = 0}\) oraz \(\displaystyle{ f(0)=0}\), po dodaniu do szczególnego rozwiązania \(\displaystyle{ g(x) = x^2}\) spełniają również wyjściowe równanie. No i jest ich nieskończenie wiele, więc nie wiem czy brak założenia o ciągłości może coś zmienić.

[Qń]

29:    

\(\displaystyle{ (1+\cos (x)+ i \sin (x))^{2014}= \left( 2\cos^2 \left( \frac x2\right) +2i\sin \left( \frac x2\right) \cos \left( \frac x2\right) \right)^{2014} =\\ = 2^{2014} \cdot \cos^{2014}\left( \frac x2\right) \cdot\left( \cos \left( \frac x2\right) + i \sin \left( \frac x2\right) \right)^{2014} =\\ =2^{2014} \cdot \cos^{2014}\left( \frac x2\right) \cdot\left( \cos \left( 1007x\right) + i\sin \left( 1007 x\right) \right)}\)

Q.

[yorgin]

30:    

Załóżmy, że taka funkcja istnieje. Niech to będzie \(\displaystyle{ f}\).

Weźmy dwie liczby niewymierne \(\displaystyle{ a, b}\). Wtedy \(\displaystyle{ f([a,b])=[c,d]}\) (ciągłość) jest przedziałem o końcach wymiernych. W szczególności przedział ten zawiera nieprzeliczalnie wiele liczb niewymiernych. Ponadto z założenia \(\displaystyle{ f^{-1}([c,d]\cap (\RR\setminus \QQ))\subset \QQ}\) co jest niemożliwe, bo pierwszy zbiór jest nieprzeliczalny, drugi jest przeliczalny.

[Msciwoj]

31:    

Oczywiście, ponieważ pierwszy szereg jest zbieżny, to musi być
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n + 2a_{n+1} = 0}\).
Trzeba pokazać, że ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jako taki też jest zbieżny. Oczywiście, na mocy powyższej równości, będzie to oznaczało, że dąży do zera.
Przypuśćmy więc, że ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) nie dąży do zera. Zgodnie z definicją granicy, oznacza to, że istnieje nieskończenie wiele wyrazów tego ciągu takich, że są one większe od jakiegoś \(\displaystyle{ \epsilon > 0}\) lub mniejsze od \(\displaystyle{ - \epsilon}\). Tworzą one dwa podzbiory wyrazów - wiadomo jakie. Jeden z nich będzie nieskończony. Nie ma to znaczenia, który, więc dla ustalenia uwagi powiedzmy, że ten, w którym wyrazy są dodatnie. Jest więc taki podciąg \(\displaystyle{ b_k}\) ciągu \(\displaystyle{ a_n}\), dla którego \(\displaystyle{ b_k > \epsilon}\). Weźmy teraz znowu pierwszy ciąg, tj. \(\displaystyle{ (a_n + 2 a_{n+1})}\). Weźmy te wyrazy tego ciągu, w których \(\displaystyle{ a_{n+1} = b_k}\). Jest ich nieskończenie wiele. Ale ciąg \(\displaystyle{ (a_n + 2 a_{n+1})}\) dąży do zera, wobec tego istnieje taki nieskończony podciąg ciągu \(\displaystyle{ (a_n)}\), powiedzmy \(\displaystyle{ c_l}\), taki że \(\displaystyle{ c_l < - 1.5 epsilon}\), (przynajmniej).
W ten sposób udowodniliśmy, że jeżeli gdzieś tam daleko w tym ciągu jest nieskończenie wiele "dziwnych" wyrazów, to oczywiście, tylko skończenie wiele z wyrazów je poprzedzających może nie być "jeszcze dziwniejsze". Możemy więc wziąć jakiś duży wyraz gdzieś z dalekiego miejsca w ciągu i zacząć zmniejszać indeks, zwiększając wartość bezwzględną. W pewnym momencie zatrzymamy się i wartość bezwzględna przestanie się zwiększać. Co oznacza, że odpowiedni wyraz \(\displaystyle{ a_n + 2a_{n+1}}\) będzie dość sporo różnił się od zera. Takie punkty stopu, w których ten wyraz przestaje być mniejszy od jakiegoś ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon}\) nazwiemy, no, punktami stopu. Oczywiście, z racji tego że nasz ciąg jest zbieżny do zera, nie może ich być nieskończenie wiele. Oznacza to, że jeden punkt stopu służy kilku różnym początkom, a nawet nieskończenie wielu początkom. Oznacza to jednak, że wartość \(\displaystyle{ |a_n|}\) w tym punkcie musi być większa od \(\displaystyle{ \epsilon \cdot (1.5)^N}\), gdzie \(\displaystyle{ N}\) to różnica między indeksem punktu stopu a indeksem początku, cczyli tego miejsca, w ktorym wystąpił nam dziwny wyraz (taki, którego wartość bezwzględna jest większa od wcześniej ustalonego \(\displaystyle{ \epsilon}\). Jednakże dla pewnego punktu stopu tych początków, a więc wartości \(\displaystyle{ N}\) jest nieskończenie wiele, a więc muszą być one nieskończenie duże. Co oznacza, że dla pewnego skończonego indeksu \(\displaystyle{ n}\), \(\displaystyle{ a_n}\) musi mieć nieskończoną wartość, co daje upragnioną sprzeczność. Wobec tego \(\displaystyle{ (a_n)}\) dąży do zera.
Oznaczmy sobie sumę częściową pierwszych \(\displaystyle{ n}\) wyrazów drugiego ciągu przez \(\displaystyle{ S_n}\), a pierwszego ciągu \(\displaystyle{ Q_n}\).
\(\displaystyle{ Q_n = \sum_{k=1}^n a_n +2a_{n+1} = a_1 + 2 a_2 + a_2 + 2 a_3 + ... + a_{n-1} + 2 a_n + a_n + 2 a_{n+1} =}\)
\(\displaystyle{ = a_1 + 3 a_2 + 3a_3 + ... + 3 a_{n-1} + 3a_n + 2a_{n+1} = \sum 3a_n - 2a_1 + 2a_{n+1} = 3S_n -2a_1 + 2_{n+1}}\)

Innymi słowy, \(\displaystyle{ S_n = \frac{1}{3} ( 2 a_1 - 2 a_{n+1} + Q_n)}\)

Z definicji suma szeregu to granica sum częściowych.
Czyli:
\(\displaystyle{ S = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3} ( 2 a_1 - 2 a_{n+1} + Q_n)}\) = frac{2 a_1}{3} + frac{Q}{3}[/latex], co jest jak najbardziej skończoną liczbą.

W drugą stronę jest dużo łatwiej, bo nie musimy udowadniać pierwszej części i jest to oczywiście prawda, dokładnie analogicznie.

[yorgin]

2:    

Tak. Pokażę więcej, jak skonstruować zbiór \(\displaystyle{ X_n}\) spełniający warunki zadania, taki że \(\displaystyle{ |X_n|=n}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) jest dowolną liczbą naturalną.


Konstrukcja jest indukcyjna.

\(\displaystyle{ n=1}\). Bierzemy \(\displaystyle{ X_1=\{2\}}\) i działa.

\(\displaystyle{ (n)\Rightarrow (n+1)}\) Niech

\(\displaystyle{ k_n:=\sum\limits_{x\in X_n}x}\).

Połóżmy

\(\displaystyle{ \ell_{n+1}:=\min\{m^2: m^2+k_n+1<(m+1)^2\}}\)

oraz

\(\displaystyle{ X_{n+1}:=X_n\cup\{\ell_{n+1}+1\}}\).

Bezpośrednio z konstrukcji wynika teza.


Dla przykładu,

\(\displaystyle{ X_1=\{2\}, X_2=\{2, 5\}, X_3=\{2,5,17\}, X_4=\{2,5,17,170\}, X_5=\{2,5,17,170,9409\}}\)

Wszystko to rośnie bardzo szybko, dla przykładu \(\displaystyle{ \ell_6=23\ 059\ 204}\), więc poprzestanę na tym.

[Hydra147]

Hmm ciekawa konstrukcja. Ja jak spojrzałem na to zadanie to przyszła mi do głowy taka:

Ukryta treść:    

Bierzemy liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) większą od \(\displaystyle{ T(2014)=2029105}\). Zbiór \(\displaystyle{ {p,2p,3p,...,2014p}}\) spełnia warunki zadania. Istotnie, jakiej sumy byśmy nie wzięli to jest ona podzielna przez \(\displaystyle{ p}\) ale nie przez \(\displaystyle{ p^{2}}\) (chyba, że coś źle kombinuję). No i również można taką samą konstrukcję przeprowadzić dla n \(\displaystyle{ \neq 2014}\)

[Qń]

20:    

Dla \(\displaystyle{ n=6k+4}\) (\(\displaystyle{ k\in \NN}\)) każda taka liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 7}\). Istotnie, z uwagi na wynikające z małego twierdzenia Fermata przystawanie \(\displaystyle{ 10^6\equiv 1\pmod{7}}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ 10^{6k+4}+3=(10^6)^k\cdot 10^4+3\equiv 10^4 +3 \equiv 3^4+3=84\equiv 0 \pmod{7}}\)

Q.

[Msciwoj]

19:    

Niech nasz trójkąt ostrokątny nazywa się \(\displaystyle{ ABC}\). Niech ponadto \(\displaystyle{ AB}\) będzie najkrótszym bokiem tego trójkąta. Odbijmy cały trójkąt względem symetralnej \(\displaystyle{ AB}\). \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oczywiście zamieniają się miejscami, a \(\displaystyle{ C}\) przechodzi na jakiś \(\displaystyle{ D_1}\). Odcinek \(\displaystyle{ CD_1}\) jest równoległy do \(\displaystyle{ AB}\), a więc równy odległości między spodkami wysokości z punktów \(\displaystyle{ C}\) i \(\displaystyle{ D_1}\). Ponieważ trójkąt jest ostrokątny, spodki te leżą na odcinku \(\displaystyle{ AB}\), a zatem odległość między nimi jest mniejsza od \(\displaystyle{ AB}\). Mamy zatem \(\displaystyle{ CD_1 < AB}\).

Odbijmy teraz cały trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) względem środka odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Pojawia nam się obraz \(\displaystyle{ C}\) w tym przekształceniu, \(\displaystyle{ D_2}\). Odległość \(\displaystyle{ CD_2}\) jest z racji tego, że pojawia się tam po drodze trójkąt prostokątny, dłuższa od podwojonej wysokości opuszczonej z \(\displaystyle{ C}\) na \(\displaystyle{ AB}\). W trójkącie najkrótszy bok jest naprzeciwko najmniejszego kąta, zatem największy kąt to na pewno nie jest \(\displaystyle{ \angle ACB}\). Dla ustalenia uwagi niech \(\displaystyle{ \angle ABC}\) będzie największym kątem. Jest więc on większy niż \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\), a jego sinus - większy niż \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2}}\). A zatem wysokość jest większa niż \(\displaystyle{ BC \cdot \sin {\angle ABC} > BC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} > AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}\). Co oznacza, że podwojona wysokość jest większa od \(\displaystyle{ AB}\), czyli \(\displaystyle{ CD_2 > AB}\).

Ogólniej rzecz biorąc, możemy trójkąt odbity względem symetralnej obracać dookoła prostej \(\displaystyle{ AB}\) (w trójwymiarze), otrzymując coraz to nowe punkty \(\displaystyle{ D}\). Ponieważ w jednym z położeń jest \(\displaystyle{ CD > AB}\), a w innym \(\displaystyle{ CD < AB}\), a obrót jest operacją ciągłą, na mocy Weierstrassa w pewnym miejscu będzie \(\displaystyle{ AB = CD}\). I ten punkt \(\displaystyle{ D}\) wybieramy na czwarty wierzchołek czworościanu \(\displaystyle{ ABCD}\).

Czworościan ten ma ciekawą własność - każde dwie jego przeciwległe krawędzie są równej długości. Na każdym czworościanie możemy opisać równoległościan, przeciwległe krawędzie czworościanu są przekątnymi przeciwległych ścian równoległościanu. Ponieważ jednak w czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) przeciwległe krawędzie są równej długości, to przekątne każdej równoległobocznej ściany są równej długości, a zatem każda ściana to prostokąt. Nasz równoległościan jest więc prostopadłościanem. Możemy więc wybrać jeden z jego wierzchołków, który akurat nie jest wierzchołkiem czworościanu i dopasować jego i trzy wzajemnie prostopadłe proste, które z niego wychodzą, do naroża z treści zadania. Oczywiście, wierzchołki trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) leżą na tychże prostych, co kończy dowód.