\(\displaystyle{ \frac{\Gamma'(1)}{\Gamma (1)} - \frac{\Gamma'\left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{1}{2}\right)} = 2 \ln 2 \; .}\)
[Analiza] Własność funkcji gamma
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
miodzio1988
[Analiza] Własność funkcji gamma
Wychodząc ze wzoru Weierstrassa:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\Gamma \left( x \right) }= e ^{Cx}x \prod_{n=1}^{ \infty } \left( 1+ \frac{x}{n} \right) e ^{- \frac{x}{n} }}\)
\(\displaystyle{ C}\)- to stała Eulera.
Po zlogarytmowaniu stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ - \ln \left( \Gamma \left( x \right) \right) = Cx + \ln \left( x \right) + \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \ln \left( 1+\frac{x}{n} \right) - \frac{x}{n} \right)}\)
po przemnożeniu przez \(\displaystyle{ \left( -1 \right)}\) stronami i zróżniczkowaniu stronami dostajemy wzór:
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma ' \left( x \right) }{\Gamma \left( x \right) }= -C- \frac{1}{x}+ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{x}{ \left( x+n \right) \cdot n} \right)}\)
Zatem dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma' \left( 1 \right) }{\Gamma \left( 1 \right) } - \frac{\Gamma'\left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{1}{2}\right)}= -C-1+ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{ \left( 1+n \right) \cdot n} \right) - \left( -C-2+ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{0.5}{ \left( 0.5+n \right) \cdot n} \right) \right)}\)
Po policzeniu sum tych szeregów mamy:
\(\displaystyle{ -C-1+1 - \left( -C-2 +0.5 \cdot \left( 4-2 \cdot \ln 4 \right) \right) = 2-2+ \ln 4 =\ln 4= 2 \cdot \ln 2}\)
Czyli to co chcieliśmy.
\(\displaystyle{ \frac{1}{\Gamma \left( x \right) }= e ^{Cx}x \prod_{n=1}^{ \infty } \left( 1+ \frac{x}{n} \right) e ^{- \frac{x}{n} }}\)
\(\displaystyle{ C}\)- to stała Eulera.
Po zlogarytmowaniu stronami dostajemy:
\(\displaystyle{ - \ln \left( \Gamma \left( x \right) \right) = Cx + \ln \left( x \right) + \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \ln \left( 1+\frac{x}{n} \right) - \frac{x}{n} \right)}\)
po przemnożeniu przez \(\displaystyle{ \left( -1 \right)}\) stronami i zróżniczkowaniu stronami dostajemy wzór:
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma ' \left( x \right) }{\Gamma \left( x \right) }= -C- \frac{1}{x}+ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{x}{ \left( x+n \right) \cdot n} \right)}\)
Zatem dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{\Gamma' \left( 1 \right) }{\Gamma \left( 1 \right) } - \frac{\Gamma'\left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{1}{2}\right)}= -C-1+ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{1}{ \left( 1+n \right) \cdot n} \right) - \left( -C-2+ \sum_{n=1}^{ \infty } \left( \frac{0.5}{ \left( 0.5+n \right) \cdot n} \right) \right)}\)
Po policzeniu sum tych szeregów mamy:
\(\displaystyle{ -C-1+1 - \left( -C-2 +0.5 \cdot \left( 4-2 \cdot \ln 4 \right) \right) = 2-2+ \ln 4 =\ln 4= 2 \cdot \ln 2}\)
Czyli to co chcieliśmy.
-
yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12680
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
[Analiza] Własność funkcji gamma
Zadanie jest ciekawe, ale można wyprowadzić zależność znacznie bardziej elementarnie. Choć trzeba wystartować od wzoru
\(\displaystyle{ \sqrt{\pi}\Gamma \left( 2x \right) =2^{2x-1}\Gamma \left( x \right) \Gamma \left( x+\frac{1}{2} \right)}\)
Po obłożeniu logarytmem, zróżniczkowaniu i oznaczeniu \(\displaystyle{ \phi=\frac{\Gamma'}{\Gamma}}\) mamy
\(\displaystyle{ 2\ln 2+\phi \left( x \right) +\phi \left( x+\frac{1}{2} \right) =2\phi \left( 2x\right)}\)
Teraz \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) i mamy dowód zakończony.
\(\displaystyle{ \sqrt{\pi}\Gamma \left( 2x \right) =2^{2x-1}\Gamma \left( x \right) \Gamma \left( x+\frac{1}{2} \right)}\)
Po obłożeniu logarytmem, zróżniczkowaniu i oznaczeniu \(\displaystyle{ \phi=\frac{\Gamma'}{\Gamma}}\) mamy
\(\displaystyle{ 2\ln 2+\phi \left( x \right) +\phi \left( x+\frac{1}{2} \right) =2\phi \left( 2x\right)}\)
Teraz \(\displaystyle{ x=\frac{1}{2}}\) i mamy dowód zakończony.