[MIX] Zadania różne

[mol_ksiazkowy]

1. rozwiązane przez Ponewora
Obliczyć \(\displaystyle{ max \ x_j}\) oraz \(\displaystyle{ min \ x_j}\) dla układów \(\displaystyle{ x_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,..., 5}\) oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=7\\x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2+ x_5^2=10\end{cases}}\)
2*. rozwiązane przez nobuddyego
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a_j \in R}\) i (\(\displaystyle{ n>3}\)), oraz:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_1+… +a_n \geq n\\a_1^2+…+a_n^2 \geq n^2\end{cases}}\)
to \(\displaystyle{ max(a_1,...,a_n) \geq 2}\)
3. rozwiązane przez Ponewora
Wykazać że jeśli \(\displaystyle{ n \in N}\) to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y}\) że \(\displaystyle{ n=\frac{(x+y)^2+3x+y}{2}}\) oraz ze \(\displaystyle{ x ,y}\) są wyznaczone jednoznacznie przez \(\displaystyle{ n}\).
4. rozwiązane przez gryxona
Czy istnieją jakieś inne niż \(\displaystyle{ n=101}\) liczby pierwsze „zero-jedynkowe naprzemienne” ? Podać dowód lub inny przykład
np. taką nie jest \(\displaystyle{ n=101 010 101=41 \cdot 271 \cdot 9091}\) itd.
5. rozwiązane przez Kartezjusza
Matlinks, Wyznaczyć \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) takie, że
\(\displaystyle{ f(x+f(x)+2f(y))=f(2x)+f(2y)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in R}\)
i \(\displaystyle{ f}\) jest surjekcją
6. rozwiązane przez kubek1
Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem liczb naturalnych, że jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) oraz \(\displaystyle{ x \neq y}\) to \(\displaystyle{ |x-y| \geq \frac{xy}{25}}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ A}\) ma nie więcej niż 9 elementów. Czy taki 9 elementowy zbiór istnieje ?
7*. Wewnątrz okręgu dane są trzy różne punkty niewspółliniowe. Skonstruować trójkąt wpisany w ten okrąg i taki że każdy z tych punktów jest na jednym z jego boków.
8. a) Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które nie są sumami trzech sześcianów liczb całkowitych
b) Dowieść też, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, których sześcian jest sumą trzech sześcianów liczb naturalnych, względnie pierwszych między sobą
c) Uzasadnić, że \(\displaystyle{ 23}\) i \(\displaystyle{ 239}\) nie są sumami ośmiu sześcianów liczb całkowitych nieujemnych
9. rozwiązane przez Zahiona
Udowodnić, że gdy liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1,..,n}\) są takie, że \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n x_j = 0}\) i \(\displaystyle{ x_1\leq .... \leq x_n}\) to \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n x_j^2 \leq - nx_1x_n}\)
10. rozwiązane przez diana7
Dany jest kąt ostry \(\displaystyle{ \angle PQR}\) oraz punkt \(\displaystyle{ A}\) w jego wnętrzu. Nakreślić prostą \(\displaystyle{ l}\) taką że \(\displaystyle{ A \in l}\) i \(\displaystyle{ |AX|=|AY|}\), gdzie \(\displaystyle{ X =QP \cap l}\) oraz \(\displaystyle{ Y =QR \cap l}\)

11. Niech \(\displaystyle{ n \in N}\) będzie ustalone. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ 0<x<1}\) to istnieje \(\displaystyle{ k>0}\) (wielokrotność całkowita), taka, że \(\displaystyle{ \frac{n^2}{n+1}< kx< n}\)
12*. rozwiązane przez Kartezjusza
Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sqrt{xy} + \sqrt{xz} - x=a\\\sqrt{yz} + \sqrt{yx} - y=b \\\sqrt{zx} + \sqrt{zy} - z=c \end{cases}}\)
gdy \(\displaystyle{ a, b, c}\) są dane (parametry)
13. rozwiązane przez Ponewora
Znajdź (o ile istnieje ) takie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\), że :
\(\displaystyle{ f(f(x) - x)= 2x}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\) inne niż \(\displaystyle{ f(x)=2x}\)
14. rozwiązane przez Pandę
Udowodnić, że w dowolnym 5- kącie istnieje co najmniej jeden bok, który nie jest równoległy do żadnego z dwóch boków z nim nie łączących się (tj. nie mających z nim wspólnego wierzchołka).
15. rozwiązane przez Pandę
Niech \(\displaystyle{ X = \{1,..., n \}}\). Podzbiór \(\displaystyle{ P \subset X}\) nazywa się wyjątkowy, jeśli dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y, z \in R}\), \(\displaystyle{ x + y \neq z}\). Ile najwięcej elementów może mieć podzbiór wyjątkowy zbioru \(\displaystyle{ X_{2014}}\) ?
16. rozwiązane przez yorgina
Niech \(\displaystyle{ 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, …}\) będzie ciągiem w którym każdy wyraz (oprócz zera) jest podwójnie ustawiony. I niech \(\displaystyle{ f(n)}\) będzie sumą \(\displaystyle{ n}\) pierwszych wyrazów tego ciągu (\(\displaystyle{ f_1 =0}\), itd.).
a) Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(n)}\) jest kwadratem liczby całkowitej, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste
b) Wykazać iż \(\displaystyle{ f(m+n) - f(m-n)=mn}\) dla \(\displaystyle{ m>n}\)
17. rozwiązane przez gryxona
Funkcja \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) jest taka, że \(\displaystyle{ 4f(f(x))=2f(x)+ x}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ x=0}\) jest jedynym miejscem zerowym \(\displaystyle{ f}\).
18. Dowieść że gdy \(\displaystyle{ 0 < x_j <1}\) to \(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j} \leq \frac{n}{1+ \sqrt[n]{x_1...x_n}}}\)
19. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Niech \(\displaystyle{ W_1(x)=x^3 - 3x}\) oraz \(\displaystyle{ W_n(x)=W_1(W_{n-1}(x))}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ W_n()}\) ma \(\displaystyle{ 3^n}\) pierwiastków rzeczywistych
20. Wyznaczyć miejsce geometryczne środków trójkątów równobocznych wpisanych w dany kwadrat o boku \(\displaystyle{ a}\) (wszystkie trzy wierzchołki takich trójkątów są na bokach kwadratu).

21. pa; W prostokątnym układzie współrzędnych jest zbiór \(\displaystyle{ M}\) punktów o współrzędnych całkowitych \(\displaystyle{ (x, y)}\) takich, że \(\displaystyle{ 1 \leq x \leq 12}\) i \(\displaystyle{ 1 \leq y \leq 13}\).
a) Udowodnić, za każdy podzbiór zbioru \(\displaystyle{ M}\) zawierający co najmniej 49 elementów zawiera wierzchołki prostokąta o bokach równoległych do osi układu współrzędnych
b) podać podzbiór 48-elementowy zbioru \(\displaystyle{ M}\) nie mający tej własności
22. Wyznaczyć najmniejszy romb \(\displaystyle{ ABCD}\), o boku oraz obu przekątnych całkowitych, tj. \(\displaystyle{ |AB|, |AC|, |BD| \in \{1, 2, 3,...\}}\),
23. rozwiązane przez Premislava
Wyznaczyć takie \(\displaystyle{ f: R \mapsto R}\) różniczkowalne, nietożsamościowo zerowe i takie, że:
\(\displaystyle{ f(x)= xf^{\prime}(\frac{x}{\sqrt{3}})}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\)
24. rozwiązane przez Msciwoja
Na płaszczyźnie dane jest \(\displaystyle{ n}\) punktów \(\displaystyle{ A_1,...,A_n}\). Środek każdego odcinka \(\displaystyle{ A_iA_j}\) (gdy \(\displaystyle{ i \neq j}\)) koloruje się na zielono. Ile maksymalnie, a ile minimalnie można wtedy mieć zielonych punktów?

25. rozwiązane przez Pinionrzek
Przez punkt \(\displaystyle{ P}\) który jest na zewnątrz danego okręgu \(\displaystyle{ P}\) poprowadzono trzy proste: styczną do tego okręgu w punkcie \(\displaystyle{ K}\), sieczną przecinającą ten okrąg w punktach \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) oraz prostą rozłączną z okręgiem. Wykazać, że jeśli kąty \(\displaystyle{ PKC}\) i \(\displaystyle{ PDK}\) są równe to punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) są na jednym okręgu.
26. rozwiązane przez kerajsa
Czy istnieje nieskończenie różnych trójek \(\displaystyle{ (x, y, z)}\) liczb naturalnych i \(\displaystyle{ y \neq z}\) takich, że:
\(\displaystyle{ x^2 + x(y-z)= y^2}\) ?
27. rozwiązane przez Pinionrzek
Niech \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) będą liczbami naturalnymi względnie pierwszymi. Podzbiór \(\displaystyle{ S}\) zbioru zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, 1, 2, .... \}}\) nazywa się idealnym, jeśli zbioru \(\displaystyle{ 0 \in S}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ n \in S}\) jest: \(\displaystyle{ n+p \in S}\) oraz \(\displaystyle{ n+q \in S}\). Ile jest podzbiorów idealnych zbioru \(\displaystyle{ \{ 0, 1, 2, .... \}}\) ?
28. rozwiązane przez timona92
Dany jest czworokąt \(\displaystyle{ ABCD}\) w którym \(\displaystyle{ AB+ BC= AD+ DC}\). Niech prosta \(\displaystyle{ AB \cap}\) prosta \(\displaystyle{ CD = \{ B^{\prime} \}}\) oraz prosta \(\displaystyle{ \ BC \cap}\) prosta \(\displaystyle{ \ AD = \{ D^{\prime} \}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ AB^{\prime}+ B^{\prime}C = AD^{\prime}+ D^{\prime}C}\).
29. rozwiązane przez Premislava
Wykazać, że gdy \(\displaystyle{ a>1}\) i \(\displaystyle{ b>1}\) to:
a) \(\displaystyle{ log_{a} \frac{a+b}{2} \geq log_{\frac{a+b}{2}} b}\)
b) czy także \(\displaystyle{ log_{a} \sqrt{ab} \geq log_{\sqrt{ab}} b}\)
(przy tych samych założeniach jak w a) ?
30. rozwiązane przez Hydra147
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^5+x-1=0}\). Wyznaczyć równanie, którego rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ 1+ \alpha^4}\).
31. rozwiązane przez yorgina i michalinho
W ciągu \(\displaystyle{ \frac{26}{65}, \frac{266}{665}, \frac{2666}{6665}, …}\) ( w dowolnym jego wyrazie) można skreślić same „szóstki” co da poprawna wartość ułamka: \(\displaystyle{ \frac{2}{5}}\). Udowodnić to oraz wyjaśnić, czy istnieją inne takie „łatwe” ciągi (o ile tak: wskazać przykład).
32. rozwiązane przez Pinionrzek
Wyznaczyć resztę z dzielenia
a) \(\displaystyle{ 2^{49!}}\) przez \(\displaystyle{ 107 \cdot 109}\)
b) \(\displaystyle{ 100!}\) przez \(\displaystyle{ 101}\)
c) \(\displaystyle{ 10^{12}+63}\) przez \(\displaystyle{ 47}\)
33. Niech punkty jest \(\displaystyle{ P, Q, R}\) będą wierzchołkami trójkąta będącego wewnątrz kwadratu o boku jest \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że:
jest \(\displaystyle{ min(|PQ|, |QR|, |RP|) \leq 2\sqrt{2 - \sqrt{3}}}\).
Kiedy jest równość ?
34. Dać przykład rozkładu liczby \(\displaystyle{ 1}\) na sumę \(\displaystyle{ n>1}\) odwrotności kwadratów, które nie wszystkie są równe; oraz uzasadnić, że taki rozkład nie istnieje jeśli te wszystkie kwadraty są różne między sobą

35. a) Niech \(\displaystyle{ n=237 \ 749 \ 938 \ 896 \ 803}\). Wykazać istnienie \(\displaystyle{ m \in N}\) że \(\displaystyle{ 11n=1+ m^3}\) oraz że \(\displaystyle{ n}\) nie jest pierwsza wyznaczając jej rozkład.
b) jw. (tj. wyznaczyć rozkład ), gdy \(\displaystyle{ n= 48 \ 790 \ 373}\) mając dane
\(\displaystyle{ 7n = 699^3 + 8^3}\)
36. rozwiązane przez gryxona
Czy ciąg \(\displaystyle{ a_n=(-1)^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}}\) jest okresowy ?
37. rozwiązane przez Qńia i yorgina
Czy istnieje liczba naturalna (tj. \(\displaystyle{ n \in N}\)) że istnieją też \(\displaystyle{ x, y, z \in N}\) takie, że:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{n}{2}=x^2\\ \frac{n}{3}=y^3 \\ \frac{n}{5}=z^5 \end{cases}}\)
?
end.

[Kaf]

Ad. 10.:

Ukryta treść:    

A prosta \(\displaystyle{ QA}\) nie spełnia warunków zadania?

[yorgin]

31:    

Dowód przez wskazanie odpowiedniego ciągu:

\(\displaystyle{ \frac{1}{5}\\
\\
\frac{19}{95}\\
\\
\frac{199}{995}\\
\vdots}\)

[Qń]

37:    

Istnieje nieskończenie wiele takich \(\displaystyle{ n}\), na przykład:
\(\displaystyle{ n=2^{15}\cdot 3^{10}\cdot 5^6}\)

Q.

[diana7]

10, prosta inna niż QA:    

Odbijamy symetrycznie \(\displaystyle{ Q}\) względem \(\displaystyle{ A}\), następnie przez otrzymany punkt prowadzimy proste równoległe odpowiednio do \(\displaystyle{ QP}\) i \(\displaystyle{ QR}\), które przecinają \(\displaystyle{ QR}\) i \(\displaystyle{ QP}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ X}\).

34:    

Przykład \(\displaystyle{ 1=4\cdot \frac{1}{4^2}+3\cdot \frac{1}{2^2}}\).
Druga część:
Korzystając ze wzoru \(\displaystyle{ \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}}\) dla k naturalnego mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}<\frac{1}{2 \cdot 1}+\frac{1}{3 \cdot2}+...+\frac{1}{n(n-1)}= \\
=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n} <1}\)

[yorgin]

37 - bardziej rozbudowane rozumowanie:    

Istnieje nieskończenie wiele takich liczb.

Szukamy rozwiązań postaci

\(\displaystyle{ n=2^k3^l5^m}\)

sugerując się relacjami podzielności, jakie mają zajść.

Dostajemy układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{n}{2}=2^{k-1}3^l5^m=x^2\\
\frac{n}{3}=2^k3^{l-1}5^m=y^3\\
\frac{n}{5}=2^k3^l 5^{m-1} =z^5\end{cases}}\)
z którego wynika, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} k-1 \equiv 0 \mod 2\\
l\equiv 0 \mod 2\\
m\equiv 0 \mod 2\\
k\equiv 0 \mod 3\\
l-1\equiv 0\mod 3\\
m\equiv 0 \mod 3\\
k\equiv 0\mod 5\\
l\equiv 0\mod 5\\
m-1\equiv 0\mod 5 \end{cases}}\)

Rozwiązaniem powyższego są liczby

\(\displaystyle{ \begin{cases} k=15a & a\in\ZZ \\ l=10b & b\in\ZZ \\ m=6c & c\in \ZZ \end{cases}}\)

a ponieważ chcemy mieć \(\displaystyle{ n, x, y, z,\in \NN}\), to bierzemy \(\displaystyle{ a, b, c \geq 1}\).

Reasumując, układ spełniają liczby

\(\displaystyle{ \begin{cases} n=2^{15a}3^{10b}5^{6c}\\ x=2^{7a}3^{5b}5^{3c}\\
y=2^{5a}3^{3b}5^{2c}\\ z=2^{3a}3^{2b}5^{c} \end{cases}}\)
dla dowolnych niezerowych liczb naturalnych \(\displaystyle{ a, b, c}\).

Uwaga: to oczywiście nie są wszystkie możliwe rozwiązania.

[gryxon]

Ad. 17

jeszcze nie ma:    

niech \(\displaystyle{ x_{0}\not=0}\) oraz \(\displaystyle{ f(x_{0})=0}\), dostajemy dla \(\displaystyle{ x=x_{0}}\):

\(\displaystyle{ x_{0}=-2f(x_{0})=0}\). Tak więc otrzymaliśmy sprzeczność z początkowym założeniem. Wypadałoby jeszcze wcześniej pokazać że: \(\displaystyle{ f(0)=0}\).

Ad. 36

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{l}=(-1)^{k},}\) dla \(\displaystyle{ l \in \left\{ k^{2},..., (k+1)^{2}-1\right\}}\).
\(\displaystyle{ a_{(k+1)^{2}}=-a_{l}}\).

Tak więc zmiana znaku następuje gdy numer n jest kwadratem liczby naturalnej. Jako że różnica pomiędzy następnymi kwadratami liczb naturalnych jest coraz większa, to ciąg nie jest okresowy.

[yorgin]

16a:    

Jeżeli \(\displaystyle{ n=2k}\), to

\(\displaystyle{ f(2k)=2\sum\limits_{\ell=1}^{k-1}\ell+k=k^2}\)

Gdy \(\displaystyle{ n=2k+1}\), to

\(\displaystyle{ f(2k+1)=k^2+k<k^2+2k+1=(k+1)^2}\)

zatem istotnie \(\displaystyle{ f(n)}\) jest kwadratem wtw \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą parzystą.

-- 23 stycznia 2014, 21:38 --

16b:    

Niech na początek \(\displaystyle{ m=2k}\). Zapiszmy ciąg następująco:

\(\displaystyle{ \ldots , \underbrace{\ldots}_{m-n}, \underbrace{k-c}_{m-n+1},\ldots, \underbrace{k-1}_{m-2}, \underbrace{k-1}_{m-1}, \underbrace{k}_{m}, \underbrace{k}_{m+1}, \underbrace{k+1}_{m+2},\underbrace{k+1}_{m+2}, \ldots, \underbrace{k+c}_{m+n}, \ldots}\)

Wypisane zostało tylko to, co stanowi sumę \(\displaystyle{ f(m+n)-f(m-n)}\). Reszta przed i po jest nieistotna, nie jest również istotna wartość \(\displaystyle{ c}\), którą ambitni mogą wyznaczyć w zależności od parzystości \(\displaystyle{ n}\).

Liczb do zsumowania jest \(\displaystyle{ 2n}\). Grupujemy je naturalnie w pary:

Pozycje \(\displaystyle{ m}\) oraz \(\displaystyle{ m+1}\) dają \(\displaystyle{ (k,k)}\)

Pozycje \(\displaystyle{ m-1}\) oraz \(\displaystyle{ m+2}\) dają \(\displaystyle{ (k-1,k+1)}\)

\(\displaystyle{ \vdots}\)

Pozycje \(\displaystyle{ m-n+1}\) oraz \(\displaystyle{ m+n}\) dają \(\displaystyle{ (k-c,k+c)}\)

W każdej parze suma wynosi \(\displaystyle{ 2k}\). Par jest \(\displaystyle{ n}\), więc

\(\displaystyle{ f(m+n)-f(m-n)=2kn=mn}\).

Przypadek \(\displaystyle{ m=2k+1}\) jest analogiczny.

-- 23 stycznia 2014, 22:04 --

11 - coś nie tak z treścią:    

Dla dowolnego \(\displaystyle{ n>0}\) niech \(\displaystyle{ x=\frac{n}{n+1}}\). Wtedy nie istnieje \(\displaystyle{ k}\) całkowite spełniające daną nierówność.

Mamy bowiem

\(\displaystyle{ \frac{n^2}{n+1}=nx<(n+1)x=\frac{n(n+1)}{n+1}=n}\)

[Pinionrzek]

32.

Ukryta treść:    

a)(chyba coś nie tak z treścią) \(\displaystyle{ 2^{49} > 109 \Rightarrow 2^{49}! \equiv 0\pmod{109*107}}\)
b) 101 jest pierwsze, zatem z Wilsona mamy, że \(\displaystyle{ 100!\equiv -1 \pmod{101}}\)
c)bez trudu sprawdzamy, że \(\displaystyle{ 10^{6} \equiv 2 \pmod{47} \Rightarrow 10^{12} \equiv 4\pmod{47} \Rightarrow 10^{12}+63 \equiv 20 \pmod{47}}\)

[Kaf]

18.

coś nie tak z treścią:    

Z założenia mamy:
\(\displaystyle{ x_{j} \le 1}\)
więc tym bardziej:
\(\displaystyle{ x_{j} \le 1+ \sqrt[n]{x_1...x_n}}\)
przez co:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x_j} \ge \frac{1}{1+ \sqrt[n]{x_1...x_n}}}\)
Sumując \(\displaystyle{ n}\) takich nierówności mamy:
\(\displaystyle{ \sum_{j=1}^n \frac{1}{x_j} \ge \frac{n}{1+ \sqrt[n]{x_1...x_n}}}\)

[gryxon]

4.

Ukryta treść:    

Oczywiście liczba musi mieć nieparzystą liczbę cyfr.(czyt. kończy się jedynką).
Niech ciąg \(\displaystyle{ a}\) będzie ciągiem kolejnych takich liczb. Dochodzimy do oczywistego wzoru(suma ciągu geometrycznego):

\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{100^{n+1}-1}{99}}\)

dla \(\displaystyle{ n+1 \not\in P}\) , możemy je zapisać jako \(\displaystyle{ n+1=pq}\) , gdzie \(\displaystyle{ p,q \in N/\left\{ 1\right\}}\)

Wtedy: \(\displaystyle{ 100^{pq}-1=99(100^{p-1}+...+1)(100^{p(q-1)}+...+1)}\) , zatem:

\(\displaystyle{ a_{aq}=(100^{p-1}+...+1)(100^{p(q-1)}+...+1)}\) co nie może być liczbą pierwszą.

Niech \(\displaystyle{ n+1=p}\) , gdzie \(\displaystyle{ p\in P/ \left\{ 2\right\}}\)

\(\displaystyle{ 100^{p}-1 = 10^{2p}-1 = (10^{p}-1)(10^{p}+1)=99(10^{p-1}+...+1)(10^{p-1}-10^{p-2}+...+1)}\)

\(\displaystyle{ a_{p}=(10^{p-1}+...+1)(10^{p-1}-10^{p-2}+...+1)}\)

widzimy, że: \(\displaystyle{ 10^{p-1}-10^{p-2}+...+1>1}\)

Tak więc jedyny przypadek do rozpatrzenia to \(\displaystyle{ n=1}\), dla którego liczba jest pierwsza.

[kubek1]

6.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ x_1<x_2<...}\) będą wszystkimi elementami \(\displaystyle{ A}\). Najpierw zauważmy, że zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest skończony, ponieważ dla \(\displaystyle{ x>y}\) mamy:\(\displaystyle{ y \le \frac{x}{1+ \frac{x}{25} }=g(x) < 25}\), a więc, gdyby \(\displaystyle{ A}\) był zbiorem nieskończonym, to istniałyby w nim dwie liczby równe co najmniej 25, a ta nierówność przeczy temu. Tak więc \(\displaystyle{ |A|=n}\). Z własności \(\displaystyle{ g}\) możemy wziąć \(\displaystyle{ x_n}\) takie, by \(\displaystyle{ 24<g(x_n)<25}\). Stąd \(\displaystyle{ x_{n-1} \le g(x_n)}\) i bierzemy \(\displaystyle{ x_{n-1}=24}\), potem \(\displaystyle{ x_{n-2} \le g(x_{n-1})}\), czyli bierzemy \(\displaystyle{ x_{n-2}=12}\). Dalej, idąc tym tokiem rozumowania, otrzymujemy liczby: \(\displaystyle{ x_{n-3}=8}\),\(\displaystyle{ x_{n-4}=6}\),\(\displaystyle{ x_{n-5}=4}\),\(\displaystyle{ x_{n-6}=3}\),\(\displaystyle{ x_{n-7}=2}\),\(\displaystyle{ x_{n-8}=1}\),\(\displaystyle{ x_{n-9}=0}\), a ponieważ \(\displaystyle{ 0}\) nie wliczamy do naturalnych, to mamy długość tego ciągu równą 9,a więc istnieje taki zbiór \(\displaystyle{ A}\).

Zauważmy, że jeśli warunek z zadania jest spełniony dla sąsiednich liczb ze zbioru A, to wtedy dla każdych \(\displaystyle{ l<k\le n}\):
\(\displaystyle{ x_k -x_l \ge \sum_{i=l}^{k-1} \frac{x_i x_{i+1}}{25} \ge \frac{x_{k-1}x_{k}}{25} \ge \frac{x_k x_l}{25}}\).

Reszta zadania, czyli pokazanie, że \(\displaystyle{ n \le 9}\) opiera się na nierówności \(\displaystyle{ x \ge \frac{25y}{25-y} =h(y)}\) dla \(\displaystyle{ x>y}\) i spostrzeżeniu, że \(\displaystyle{ h}\) jest rosnąca oraz wykorzystaniu faktu, że ograniczenie dolne największego elementu zbioru A wynosi 25 jako jedynego elementu z tego zbioru.

[nobuddy]

2.

Ukryta treść:    

Do drugiej nierówności dodajemy pierwszą przemnożoną przez \(\displaystyle{ (n-4)}\), po przerzuceniu na jedną stronę dostajemy że suma wyrażeń postaci

\(\displaystyle{ (a_{i} - 2)(a_{i} + n -2)}\)

jest nieujemna. Tym samym dla pewnego i powyższe wyrażenie jest nieujemne. Wtedy albo \(\displaystyle{ a_{i} \geq 2}\), i koniec zadania, w przeciwnym zaś razie \(\displaystyle{ -a_{i} \geq n-2}\). Dodając do tego drugą z nierówności zadania dostajemy że średnia pozostałych liczb (tj bez \(\displaystyle{ a_{i}}\)) wynosi 2, i stąd znów mamy tezę.

[mol_ksiazkowy]

ad 19

Ukryta treść:    

szkic
Jeśli \(\displaystyle{ x= 2cos(\alpha)}\) to \(\displaystyle{ W_n(x)= 2cos(3^n \alpha)}\)
Itd.

[Panda]

15.

Ukryta treść:    

Dla \(\displaystyle{ n=2k}\) \(\displaystyle{ |X_{2k}|=k}\) jest osiągane, jak weźmiemy nieparzyste.
Jeśli \(\displaystyle{ X_{2k} = \{x_{1};x_{2};...x_{t}:x_{1}<x_{2}<...<x_{t}\}}\), \(\displaystyle{ Y(X_{2k})=\{x_{t}-x_{1}; x_{t}-x_{2};...;x_{t}-x_{t-1}\}}\),
to \(\displaystyle{ X_{2k} \cap Y(X_{2k}) = \emptyset}\), więc \(\displaystyle{ |X_{2k} \cup Y(X_{2k})| = 2t-1}\), ale też \(\displaystyle{ X_{2k} \cup Y(X_{2k}) \subset \{1;2;...;2k\}}\), więc \(\displaystyle{ 2t-1 \le 2k}\), czyli \(\displaystyle{ t \le k}\).
Pokazano już, że ograniczenie jest osiągane, co kończy dowód.

14.

Ukryta treść:    

Boki tworzą klasy równoważności ze względu na kąt nachylenia. Teza oznacza, że pewna klasa ma moc \(\displaystyle{ 1}\). Gdyby było inaczej, to pewna klasa miałaby moc \(\displaystyle{ 3}\), a to oczywiście niemożliwe.

27.? szkic

Ukryta treść:    

Rozumiem, że interesuje nas konkretna liczba kardynalna.
Oczywiście jest to przynajmniej \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\), bo dla każdego \(\displaystyle{ n}\) istnieje zbiór idealny, którego minimalnym elementem jest \(\displaystyle{ n}\).
Można pokazać, że jest skończenie wiele zbiorów idealnych, których minimalnym elementem jest ustalone \(\displaystyle{ n}\). To dowiedzie, że szukaną liczbą jest \(\displaystyle{ \aleph_{0}}\). Wystarczy zauważyć, że, bodajże, począwszy od \(\displaystyle{ n+pq}\), wszystkie liczby należą do takiego zbioru, tzn. zapisują się jako \(\displaystyle{ n+kp+lq}\), co łatwo kończy dowód.