[Funkcje] Udowodnić że zachodzi równość

[cyberciq]

Dane są funkcje \(\displaystyle{ f,g 0,2) \rightarrow (0,2)}\). Dla każdego \(\displaystyle{ x \in (0,2)}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left( g\left( x\right) \right) =g\left( f\left( x\right) \right) =x}\) oraz \(\displaystyle{ f(x)+g(x)=2x}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ f(1)=g(1)}\).

[Panda]

Ogólny szkic:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \frac{f(x) + g(x)}{2} = x}\)

\(\displaystyle{ f(x), x, g(x)}\) tworzą postęp arytmetyczny dla każdego \(\displaystyle{ x}\), a ponieważ zbiór wartości \(\displaystyle{ f}\) to dziedzina \(\displaystyle{ f}\), to stosując to dla dowolnego \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ x := f(x)}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ f(f(x)),f(x),x,g(x)}\) również.
Indukcyjnie można pokazać, że \(\displaystyle{ f^{n}(x),f^{n-1}(x),...,f(x),x}\) tworzą postęp arytmetyczny. Gdyby dla pewnego \(\displaystyle{ x}\) było nieprawda, że \(\displaystyle{ f(x)=x}\), to różnica jest niezerowa i postęp jest nieograniczony, a to sprzeczne z dziedziną. Stąd teza.