[Trygonometria][Nierówności] suma cosinusów
: 26 wrz 2013, o 20:58
Pokaż ze \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n |\cos(k) |\geq\frac{n}{4}}\) dla kazdego n naturalnego.
Może za pomocą indukcji zupełnej?
Dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\) niech \(\displaystyle{ q_n\in\mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ r_nin[0,pi)}\) oznaczają takie liczby, że \(\displaystyle{ n=q_n\pi+r_n}\).
Teza indukcyjna: "Jeśli \(\displaystyle{ n\ge3}\) i \(\displaystyle{ r_n\not\in\left(\frac{\pi}3,\frac{2\pi}3\right)}\), to \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n |\cos(k) |\geq\frac{n+2}{4}}\)."