[Trygonometria][Nierówności] suma cosinusów

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
rochaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 411
Rejestracja: 3 lip 2012, o 23:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: komp
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 1 raz

[Trygonometria][Nierówności] suma cosinusów

Post autor: rochaj » 26 wrz 2013, o 20:58

Pokaż ze \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n |\cos(k) |\geq\frac{n}{4}}\) dla kazdego n naturalnego.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kamaz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 127
Rejestracja: 13 kwie 2013, o 13:44
Płeć: Kobieta
Pomógł: 21 razy

[Trygonometria][Nierówności] suma cosinusów

Post autor: Kamaz » 26 wrz 2013, o 22:10

Może za pomocą indukcji zupełnej?

Dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{Z}}\) niech \(\displaystyle{ q_n\in\mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ r_nin[0,pi)}\) oznaczają takie liczby, że \(\displaystyle{ n=q_n\pi+r_n}\).

Teza indukcyjna: "Jeśli \(\displaystyle{ n\ge3}\) i \(\displaystyle{ r_n\not\in\left(\frac{\pi}3,\frac{2\pi}3\right)}\), to \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n |\cos(k) |\geq\frac{n+2}{4}}\)."

ODPOWIEDZ