[MIX] Zestaw mola (końcówka)

[mol_ksiazkowy]

1. Niech \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) bedą liczbami naturalnymi. Wykazać iż \(\displaystyle{ (2^m - 1)^2}\) dzieli \(\displaystyle{ 2^n -1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ m(2^m - 1)}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\)
2. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą całkowitą dodatnią taka, iż dla każdego \(\displaystyle{ n \in N}\): \(\displaystyle{ a + n^2}\) jest sumą kwadratów liczb całkowitych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\). Udowodnić, iż \(\displaystyle{ a}\) jest kwadratem liczby całkowitej.
3. Dane są liczby naturalne \(\displaystyle{ n> 4}\) i \(\displaystyle{ k}\). Dowieść że jeżeli \(\displaystyle{ n > k^2}\) i \(\displaystyle{ n}\) nie jest liczbą pierwsza, to \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ (n - k - 1)!}\).
Wskazać iż założenie: „\(\displaystyle{ n}\) nie jest liczbą pierwszą” jest tu istotne
4. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczba pierwszą \(\displaystyle{ p \equiv 2 \ (mod \ 3 )}\) oraz p dzieli \(\displaystyle{ a^2 + ab + b^2}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są to liczby całkowite. Udowodnić, że obie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ p}\)
104 ntp
5. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) są liczbami całkowitymi zaś \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, to \(\displaystyle{ a^n \equiv b^n \ (mod \ n^2)}\). Czy twierdzenie to można odwrócić ?
104 ntp
6. Ile jest równa suma wszystkich liczb \(\displaystyle{ \frac{a}{b}}\) gdzie \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze i są one dodatnimi dzielnikami \(\displaystyle{ 27 000}\) ?
104 ntp

7. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczba pierwsza taka, iż \(\displaystyle{ p \equiv 5 \ (mod \ 8)}\). Dowieść, że gdy \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ x^4 + y^4}\) dla \(\displaystyle{ x, y}\) bedacych liczbami całkowitymi, to \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ xy}\)
8. Liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są naturalne oraz \(\displaystyle{ \sqrt{3} < \frac{a}{b} < \frac{26}{15}}\). Udowodnić, iż \(\displaystyle{ b > 41}\)
9. Wykazać, że nie istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie, że \(\displaystyle{ 13= x^3 +y^3 +z^3}\)
wn
10. Wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieje nieskończenie wiele niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 10}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że suma cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) równa jest sumie cyfr liczby \(\displaystyle{ mn}\)
11. Niech \(\displaystyle{ p>2}\) będzie liczbą pierwszą, i \(\displaystyle{ a^{-1}=x}\) gdy \(\displaystyle{ ax \equiv 1 \ (mod \ p)}\). Wykazać, iż \(\displaystyle{ \frac{2^{p-1}- 1}{p} \equiv 1^{-1} + 3^{-1}+ ... + (p-2)^{-1} \ (mod \ p)}\)
12. a) Udowodnić, że liczby naturalne \(\displaystyle{ 8k + 3}\) oraz \(\displaystyle{ 8k + 5}\) nie są równe \(\displaystyle{ x^2 - 2y^2}\), gdzie \(\displaystyle{ x, y}\) są to liczby całkowite
b) Rozstrzygnąć, czy jeśli \(\displaystyle{ n}\) daje przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 8}\) resztę różną od \(\displaystyle{ 3}\) i od \(\displaystyle{ 5}\) to może być \(\displaystyle{ n = x^2 - 2y^2}\) gdzie \(\displaystyle{ x, y}\) jw.
ws
13. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą, zaś \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami naturalnymi mniejszymi od \(\displaystyle{ p}\) i takimi, że \(\displaystyle{ a^3 \equiv b^3 \equiv c^3 \ (mod \ p)}\). Dowieść, iż \(\displaystyle{ a+b+c}\) dzieli \(\displaystyle{ a^2 + b^2 +c^2}\)
14. a) Wykazać, iż jeśli liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ m}\) są względnie pierwsze to \(\displaystyle{ x = ba^{\phi(m) - 1}}\) jest rozwiązaniem kongruencji \(\displaystyle{ ax \equiv b \ (mod \ m)}\)
b) rozwiązać \(\displaystyle{ 19x \equiv 1 \ (mod \ 140)}\)
m-z
15. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczba naturalną nieparzystą, \(\displaystyle{ n>3}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{cases} k = min \ x : nx+1 \in K \\t=min x \in N : nx \in K \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ K = \{ 1^2, 2^2, 3^2, .... \}}\)
Wykazać, że \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą tylko wtedy (warunek równoważny) gdy \(\displaystyle{ 4k > n}\) oraz \(\displaystyle{ 4t > n}\)
m-z
16. Czy dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\) istnieją liczby \(\displaystyle{ k, l}\); \(\displaystyle{ k \neq l}\), o tej własności iż \(\displaystyle{ k^m}\) i \(\displaystyle{ l^m}\) różnią się jedynie kolejnością cyfr ? ; np. gdy \(\displaystyle{ m=2}\) to \(\displaystyle{ k=12 \ l=21}\) etc.
m
17. Mając dane \(\displaystyle{ n= 188 \ 686 \ 013 = pq}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami pierwszymi takimi, iż \(\displaystyle{ 100|\frac{p}{q} - 3| < 1}\)
znaleźć \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\)

18. Niech \(\displaystyle{ x, y, n, k, p}\) będą liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ x^n + y^n = p^k}\) i \(\displaystyle{ n>1}\) jest liczbą nieparzystą, zaś \(\displaystyle{ p>2}\) to liczba pierwsza. Udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą naturalną \(\displaystyle{ p}\)
19. Wykazać, iż jeśli dane są trzy liczby nieparzyste, to istnieje też taka liczba całkowita, iż suma kwadratów tych czterech liczb jest kwadratem liczby całkowitej
ex
20. Udowodnić, iż nie istnieje czwórka \(\displaystyle{ (x, y, z, w)}\) parami różnych liczb naturalnych, i takich iż liczby: \(\displaystyle{ x^2 + y + z + w, \ x + y^2 + z +w , \ x + y+ z^2 + w , \ x + y + z + w^2}\)
są kwadratami liczb całkowitych; jednakże istnieją inne czwórki np. \(\displaystyle{ (96, 96, 57, 40)}\). Wyznaczyć je wszystkie
21. Udowodnić, iż każda liczba całkowita \(\displaystyle{ n \geq 7}\) jest suma dwóch względnie pierwszych liczb naturalnych większych od \(\displaystyle{ 1}\)
22. Wyznaczyć wszystkie trójki \(\displaystyle{ (p, q, r)}\) liczb całkowitych, takich że \(\displaystyle{ \frac{1}{p - q - r} = \frac{1}{q} + \frac{1}{r}}\) oraz liczby \(\displaystyle{ |p|, |q|, |r|}\) są pierwsze

23. Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczba naturalna to istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie że \(\displaystyle{ n = x^2 + y^2 - 5z^2}\)
wn
24. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ m}\) takie, że \(\displaystyle{ m^5 + m+ 1}\) oraz \(\displaystyle{ m^{11} + m +1}\) są liczbami pierwszymi.

25. Niech \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ p}\) będą liczbami naturalnymi ; zaś \(\displaystyle{ p}\) jest pierwsza; takimi że liczby \(\displaystyle{ 2np - 1}\) i \(\displaystyle{ 2np + 1}\) są pierwsze. Udowodnić, że \(\displaystyle{ p=3}\)

26. Wykazać, iż dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ m}\) taka, że \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ 2^m - m}\); oraz że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą, to takich \(\displaystyle{ m}\) jest nieskończenie wiele
27. Udowodnić, iż w ciągu: \(\displaystyle{ 1, 31, 331, 3331, ....}\) jest nieskończenie wiele liczb złożonych i znaleźć najmniejszą z nich.
ws

28. Znaleźć największa liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) o tej własności, iż w każdym zbiorze mającym \(\displaystyle{ 12}\) elementów, będących kolejnymi liczbami naturalnymi istnieje liczba niepodzielna przez żadną z początkowych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1, p_2, ..., p_n}\)

29. Czy istnieje nieskończenie wiele liczb \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq b}\) takich że \(\displaystyle{ \frac{a^2 +b}{b^2 +a}}\) jest liczbą całkowitą ?

30. Niech \(\displaystyle{ n >2}\) będzie liczbą całkowitą, zaś \(\displaystyle{ n^2=(m+1)^3 - m^3}\) gdzie \(\displaystyle{ m}\) jest liczbą naturalną. Udowodnić że \(\displaystyle{ n}\) jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych.

31. Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ a_1 < a_2 < ... < a_{n - 1} < a_n}\) to \(\displaystyle{ NWW(a_1, a_2, ..., a_{n - 1}, a_n ) \geq na_1}\)
32. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele par liczb naturalnych \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\); \(\displaystyle{ m \neq n}\) takich że:
\(\displaystyle{ \phi(m + n) = \phi(m) + \phi(n)}\);
gdzie \(\displaystyle{ \phi()}\) jest funkcją Eulera

33. Niech \(\displaystyle{ G_n = 2^{3^n} + 1}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\)
Wykazać, że liczby \(\displaystyle{ G_n}\) są złożone, oraz że:
a) \(\displaystyle{ 3^{n+1}}\) dzieli \(\displaystyle{ G_n}\)
b) jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, która dzieli \(\displaystyle{ G_n}\) to \(\displaystyle{ p}\) dzieli też \(\displaystyle{ G_{n+1}}\)
34. a) Mając dane \(\displaystyle{ 34! = 295 \ 232 \ 799 \ cd9 \ 604 \ 140 \ 847 \ 618 \ 609 \ 643 \ 5ab \ 000 \ 000}\)
Wyznaczyć \(\displaystyle{ a, b, c, d}\)
35. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) o tej własności, iż liczby \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{n}{2}}, \ \sqrt[7]{\frac{n}{7}}, \ \sqrt[11]{\frac{n}{11}}}\) są całkowite
36. Znaleźć wszystkie możliwe trójki \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) liczb całkowitych, spełniających: \(\displaystyle{ 1<a < b <c}\) i takich iż \(\displaystyle{ (a-1)(b-1)(c-1)}\) dzieli \(\displaystyle{ abc - 1}\)
imo92
37. Dowieść, że gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną, to \(\displaystyle{ \lfloor (\frac{1+ \sqrt{5}}{2})^{4n-2} \rfloor}\) jest kwadratem liczby całkowitej

38. Jeśli \(\displaystyle{ a, b}\) są liczbami naturalnymi oraz \(\displaystyle{ p=\frac{b}{4}\sqrt{\frac{2a-b}{2a+b}}}\) jest liczbą pierwszą. Jaka jest największa możliwa wartość \(\displaystyle{ p}\) ?

39. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) w ciągu \(\displaystyle{ n, \tau(n), \tau(\tau(n)), ....}\)
nie ma kwadratu liczby całkowitej ?
gdzie \(\displaystyle{ \tau(n)}\) jest to ilość dzielników (dodatnich) liczby \(\displaystyle{ n}\)
40. Czy z tożsamości Ramanujana:
\(\displaystyle{ (3a^2 + 5ab - 5b^2)^3 + (4a^2 - 4ab - 5b^2)^3 = (- 5a^2 + 5ab + 3b^2)^3 + (6a^2 - 4ab + 4b^2 )^3}\)
można uzyskać rozkład \(\displaystyle{ 1729 = 1^3 + 12^3 = 9^3 + 10^3}\) (liczba Hardy’ego ) znajdując w niej \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) ?

41. 7 x dzielniki; Wyznaczyć:
a) liczbę całkowitą \(\displaystyle{ k}\) taką, że \(\displaystyle{ 10^{k}= 2*3^2*7*47*168861871 - 62}\)
b) trzy dzielniki pierwsze \(\displaystyle{ 10^{27} + 1}\)
c) najmniejszy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ 2^{2^9} + 1}\)
d) rozkład na czynniki \(\displaystyle{ 2^{71} - 1}\)
e) największy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ 2^{2^6}+ 1}\)
f*) wykazać, że \(\displaystyle{ 2^{1992} - 1}\) jest iloczynem sześciu liczb naturalnych większych od \(\displaystyle{ 2^{248}}\)
g) rozkład na czynniki \(\displaystyle{ n=48 \ 790 \ 373}\) mając dane \(\displaystyle{ 7n = 699^3 + 8^3}\)

42. Trzy liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są rzeczywiste ale takie, iż \(\displaystyle{ a - b, \ a^2 - b^2, \ a^3 - b^3}\) są całkowite. Czy z tego wynika iż \(\displaystyle{ a}\) oraz \(\displaystyle{ b}\) są całkowite ?

43. Niech \(\displaystyle{ a, b}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{b+1}{a} , \ \frac{a^2 - 2}{b}}\) będą liczbami całkowitymi Udowodnić, iż \(\displaystyle{ \frac{b+1}{2}}\) jest kwadratem liczby całkowitej
44. Liczby \(\displaystyle{ x, y, z}\) są całkowite oraz \(\displaystyle{ \frac{xy}{z} + \frac{xz}{y} +\frac{yz}{x} =3}\). Czy z tego wynika, że \(\displaystyle{ x=y=z=1}\) ?

45. Niech \(\displaystyle{ r>1}\) będzie liczbą naturalną. Udowodnić, iż ciąg reszt modulo \(\displaystyle{ r}\) kolejnych wyrazów ciągu Fibonacciego jest okresowy
m-z
46. Niech \(\displaystyle{ NWD(a, b)=d}\) oraz \(\displaystyle{ NWD(a^{\prime}, b^{\prime})=d^{\prime}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ NWD(a a^{\prime}, ab^{\prime}, b a^{\prime}, b b^{\prime})=d d^{\prime}}\)
mz
47. Wykazać, iż istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych równych \(\displaystyle{ a^2+b^2+c^2 +1}\) gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są liczbami całkowitymi
m-z
48. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą liczbami całkowitymi takimi, że \(\displaystyle{ a^{b+c} = cb^c}\) Wykazać, że \(\displaystyle{ b}\) dzieli \(\displaystyle{ c}\), oraz że \(\displaystyle{ c=d^b}\) gdzie \(\displaystyle{ d}\) jest liczba naturalną.
nz
49. Wyznaczyć wszystkie takie całkowite \(\displaystyle{ a, b}\) że \(\displaystyle{ a^2 + b^2}\) dzieli \(\displaystyle{ (a + b)(ab - 1)}\)

50. Wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (a, b)}\) ; \(\displaystyle{ a \neq b}\) liczb całkowitych, takich że
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^2+ b= p^n\\a +b^2=p^m\end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ m}\) , \(\displaystyle{ n}\) są całkowite zaś \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą
51. Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ a, b}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a+1}{b} + \frac{b+1}{a}}\) są naturalne to \(\displaystyle{ NWD(a, b) \leq \sqrt{a+b}}\).
Czy może być równość (w tej nierówności) gdy \(\displaystyle{ NWD(a, b) < a < b}\) ?
52. Wykazać dla dowolnej liczby całkowitej nieujemnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n_k}\) taka, że: \(\displaystyle{ (\sqrt{3} - \sqrt{2})^k = \sqrt{n_k} - \sqrt{n_k - 1}}\)
53. Czy istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) będąca kwadratem liczby całkowitej oraz taka, że suma cyfr liczby \(\displaystyle{ n}\) to \(\displaystyle{ 2013}\) ?

54. Wyznaczyć wszystkie trójki \(\displaystyle{ (a, b, c)}\) liczb naturalnych takie iż: \(\displaystyle{ a^3 + b^3 =22c^3}\)

55. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ F_n \in P}\) to \(\displaystyle{ n \in \ P \backslash \{ 2 \}}\) lub \(\displaystyle{ n=4}\). Czy zachodzi też twierdzenie odwrotne ?
gdzie \(\displaystyle{ P}\) to zbiór liczb pierwszych, zaś \(\displaystyle{ F_n}\) jest ciągiem Fibonacciego
(m-z)
56. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) taka, iż w zbiorze \(\displaystyle{ (n, 2n)}\) jest co najmniej \(\displaystyle{ k}\) liczb pierwszych.
57. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n > 1}\) istnieje liczba pierwsza, która dzieli dokładnie jedną liczbę naturalną nie większą od \(\displaystyle{ n}\)

58. Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ a, b}\) są liczbami naturalnymi takimi, że liczba \(\displaystyle{ ab + 2}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ a ^2 + b ^2}\), to \(\displaystyle{ \frac{2(a^2 + b^2)}{ab + 2}}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

59. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą; Udowodnić, że równanie \(\displaystyle{ x^{p-1}+ y^{p-1} =z^p}\) ma rozwiązanie w liczbach naturalnych; oprócz trywialnego \(\displaystyle{ x=y=z=2}\)
60. Erdós problem; Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) taką, iż \(\displaystyle{ 2^n - 7}\) jest pierwsza. Wykazać też, że takie \(\displaystyle{ n}\) nie może być równe \(\displaystyle{ 10k +7}\) ani \(\displaystyle{ 12k +11}\)
61. Wykazać, że hipoteza istnienia nieskończenie wielu par liczb pierwszych \(\displaystyle{ (p, p+2)}\) jest równoważna takiej hipotezie: równanie \(\displaystyle{ p+q = r}\) ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach pierwszych \(\displaystyle{ p, q, r}\)
m-z
62. a) Rozstrzygnąć czy istnieją trzy różne liczby pierwsze \(\displaystyle{ q_j}\) dla \(\displaystyle{ j=1, 2, 3}\) iż: \(\displaystyle{ q_1^3 + q_2^3 + q_3^3 = q_1q_2q_3}\) ?
b) jw. gdy \(\displaystyle{ q_1^2 + q_2^2 + q_3^2 = q_1q_2q_3}\)
63. Czy dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ n}\), taka, że \(\displaystyle{ \frac{3^n - 1}{10^k} \in Z}\);
gdzie \(\displaystyle{ Z= \{ 0, \pm 1, \pm2, ... \}}\)
64. Hipoteza Bombeliego: Nie istnieją liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z, n}\) oraz \(\displaystyle{ n>2}\): \(\displaystyle{ {x \choose n}+ {y \choose n} = {z \choose n}}\)
Wykazać lub obalić te hipotezę.

65. Wskazać przykład liczb naturalnych \(\displaystyle{ m_1, …, m_n}\) (\(\displaystyle{ n \geq 3}\)) takich, że:
i) dla \(\displaystyle{ NWD(m_{i_1}, … , m_{i_k}) > 1}\) dla \(\displaystyle{ 1 < k < n}\) oraz \(\displaystyle{ 1 \leq i_1 < … < i_k \leq n}\)
ii) dla \(\displaystyle{ NWD(m_1, …, m_n) = 1}\)
66. a) Znaleźć pięć najmniejszych liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że \(\displaystyle{ n^2 -1}\) jest iloczynem trzech różnych liczb pierwszych
b) Znaleźć taką liczbę \(\displaystyle{ n}\) iż \(\displaystyle{ n^2 + 1}\) jest iloczynem trzech różnych liczb pierwszych nieparzystych
67. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ n^c}\) jest liczbą całkowitą dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, ...}\) to \(\displaystyle{ c \in N \cup \{ 0 \}}\)
m-z
68. Udowodnić, iż gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną to \(\displaystyle{ \lfloor \frac{(n - 1)!}{n(n+1)} \rfloor}\) jest parzysta
69. Wykazać, iż dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n>1}\) istnieje \(\displaystyle{ n}\) elementowy zbiór \(\displaystyle{ S}\) liczb całkowitych o tej własności, iż \(\displaystyle{ (a - b)^2}\) dzieli \(\displaystyle{ ab}\) dla \(\displaystyle{ a, b \in S}\) i \(\displaystyle{ a \neq b}\)
104 ntp
70. Niech \(\displaystyle{ a_i \neq a_j}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\) będą liczbami całkowitymi. Wykazać, że iloczyn ułamków \(\displaystyle{ \frac{a_k - a_l}{k - l}}\) gdzie \(\displaystyle{ n \geq k > l \geq 1}\) jest liczbą całkowitą

71. a) Udowodnić, że gdy \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ {2p \choose p} \equiv 2 \ (mod \ p)}\)
b) Wykazać, że gdy ponadto \(\displaystyle{ p \geq 5}\) to \(\displaystyle{ (p! , (p-2)! -1) = p}\)
gdzie \(\displaystyle{ (a, b)}\) oznacza największy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\)
72. Udowodnić ze liczba \(\displaystyle{ n> 1}\) jest pierwsza gdy ma jedyny rozkład: \(\displaystyle{ n = z - \frac{z}{xy+ x - y}}\) gdzie \(\displaystyle{ x, y, z}\) są liczbami naturalnymi.
np. gdy \(\displaystyle{ n=6}\) to np. \(\displaystyle{ (x, y, z)=(2, 5, 7)}\) lub \(\displaystyle{ (x, y, z)=(3, 2, 7)}\)

73. 7 x podzielność; Wykazać następujące kongruencje:
i) \(\displaystyle{ 20^{15} \equiv 1 \ (mod \ 11*31*61)}\)
ii) \(\displaystyle{ 2^{2^{38}} \equiv -3 \ (mod \ 19)}\)
iii) \(\displaystyle{ 5^{6614} - 12^{857} \equiv 1 \ (mod \ 7)}\)
iv) \(\displaystyle{ 2^{4619} \equiv 1 \ (mod \ 9239)}\)
v) \(\displaystyle{ 19^{8} \equiv 1 \ (mod \ 240)}\)
vi) \(\displaystyle{ 2^{64} \equiv 1 \ (mod \ 641)}\)
vii) czy istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ x}\) taka, że \(\displaystyle{ x^2 \equiv 52 \ (mod \ 159)}\) ?
74. Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ k}\) istnieją dwie kolejne liczby naturalne, z których każda ma co najmniej \(\displaystyle{ k}\) różnych dzielników pierwszych
75. Wyznaczyć najmniejszą liczbę całkowitą nieujemną, która na trzy różne sposoby jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych
76. Wykazać, że dla dowolnej liczby całkowite \(\displaystyle{ a>2}\) istnieje liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) taka, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ a^3 +1}\) ale \(\displaystyle{ p}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a+1}\)
77. 7 x Diofantos; Rozwiąż równania (wszystkie zmienne są to liczby całkowite)
i) \(\displaystyle{ x^3 + 5 =117y^3}\)
ii) \(\displaystyle{ a^{b^2}= b^2}\), \(\displaystyle{ a > 1 \ b > 1}\)
iii) \(\displaystyle{ x^2+y^2= (x - y)^3}\)
iv) \(\displaystyle{ x^{2} + y^2 +5 = 5xy}\)
v) \(\displaystyle{ x^{3} + y^4 = 7}\)
vi) \(\displaystyle{ \lfloor x \rfloor + \lfloor p - x \rfloor = p}\), \(\displaystyle{ p}\) - liczba pierwsza
vii) \(\displaystyle{ x^{2} + 5 = y^3}\),
78. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele czwórek \(\displaystyle{ x, y, z, t}\) nie mających wspólnego dzielnika większego od \(\displaystyle{ 1}\) i takich, że \(\displaystyle{ x^3+y^3+z^2=t^4}\)
79. Jeśli \(\displaystyle{ m=\prod_{j} p_j^{\alpha_j}}\): rozkład na czynniki pierwsze, to niech \(\displaystyle{ f(m)=1 + \sum_j p_j\alpha_j}\)
Jakie liczby mogą się w ten sposób tj. przez iteracje \(\displaystyle{ m, f(m), f(f(m)), …}\); wygenerować nieskończoną ilość razy ?
80. Niech \(\displaystyle{ a, b >1}\) oraz \(\displaystyle{ D_{a^n - 1} \subset D_{b^n - 1}}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n > 1}\). Udowodnić iż \(\displaystyle{ b = a^j}\) dla jakiegoś \(\displaystyle{ j>1}\)
gdzie \(\displaystyle{ D_{n}}\) to zbiór dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\)
81. Wykazać, iż istnieje liczba całkowita\(\displaystyle{ x}\) taka że \(\displaystyle{ x \equiv a \ (mod \ m)}\) oraz \(\displaystyle{ x \equiv b \ (mod \ n)}\) tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a \equiv b \ (mod \ (m,n))}\)
m-z
82. Znaleźć największa liczbę naturalna, której nie można przedstawić jako \(\displaystyle{ 2x+ 3y +5z}\)
wn
83. Niech \(\displaystyle{ p \equiv 5 \ (mod \ 24)}\) będzie liczbą pierwszą. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ p}\) nie dzieli \(\displaystyle{ a}\) to nie istnieje liczba całkowita \(\displaystyle{ x}\) taka, że \(\displaystyle{ x^2 \equiv 3a^2 (mod \ p)}\)
wn
84. Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą liczbami całkowitymi takimi, że dla każdej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) istnieje liczba całkowita nieujemna \(\displaystyle{ x}\) taka, że \(\displaystyle{ p}\) dzieli \(\displaystyle{ a - b^x}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ b=a^j}\) dla jakiejś liczby całkowitej \(\displaystyle{ j}\)

85. Wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (a, b)}\) liczb naturalnych takie, że \(\displaystyle{ ab}\) dzieli \(\displaystyle{ a^2 + b^2 + 3}\)

86. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) taką że \(\displaystyle{ 19n+1}\) oraz \(\displaystyle{ 95n+1}\) są kwadratami liczb całkowitych

87. Niech \(\displaystyle{ n>2}\) będzie liczbą naturalną; Wykazać, iż wśród wyrażeń: \(\displaystyle{ \frac{1}{n}, …. , \frac{n - 1}{n}}\)
jest parzysta ilość nieskracalnych
88. Wykazać iż \(\displaystyle{ 2^{2700} \equiv 1 (mod \ 2701)}\) (E. Lucas), mimo iż \(\displaystyle{ 2701=37*73 \notin P}\) tj. małego twierdzenie Fermata nie można odwrócić; i że więcej takich kontrprzykładów jest gdy \(\displaystyle{ n= pq}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są liczbami pierwszymi oraz \(\displaystyle{ p \equiv 1 (mod \ 4)}\) i \(\displaystyle{ q = 2p -1}\)
89. Czy istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ m}\) takich, iż \(\displaystyle{ 4^{27} + 4^{100} + 4^m}\) jest kwadratem liczby całkowitej ?
Jeśli nie, to wyznaczyć największą liczbę o takiej własności
90. Wykazać, że jeśli suma dzielników liczby całkowitej \(\displaystyle{ N>1}\) jest równa \(\displaystyle{ 2N+1}\) to \(\displaystyle{ N}\) jest kwadratem liczby nieparzystej.
91. Niech \(\displaystyle{ p, q, r}\) będą różnymi liczbami pierwszymi oraz
\(\displaystyle{ A = \{ p^aq^br^c : 0 \leq a, b, c \leq 5 \}}\)
Wyznaczyć najmniejsze \(\displaystyle{ n}\) takie, iż każdy \(\displaystyle{ n}\) elementowy podzbiór \(\displaystyle{ A}\) zawiera elementy \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\); \(\displaystyle{ x \neq y}\) oraz \(\displaystyle{ x}\) dzieli \(\displaystyle{ y}\) bądź też \(\displaystyle{ y}\) dzieli \(\displaystyle{ x}\)
92. Niech \(\displaystyle{ a, b, n, m}\) będą liczbami całkowitymi dodatnimi, oraz \(\displaystyle{ n > 1}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a^n + b^n = 2^m}\) to \(\displaystyle{ a = b}\)
musztari
93. Udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele kolejnych liczb naturalnych (np. takich jak \(\displaystyle{ (8, 9)}\) czy \(\displaystyle{ (288, 289)}\)) o tej własności, iż dzielniki pierwsze każdej z tych liczb są co najmniej w drugiej potędze
94. Istnieje formuła Lagrange’a, która wyraża wykładnik z którym liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\) jest w rozkładzie na czynniki pierwsze \(\displaystyle{ n!}\)
Czy istnieje analog dla „multifaktoriala”:
\(\displaystyle{ n!…!_{k} = \prod_{j} n- kj}\)
w szczególności: iloma zerami kończy się liczba \(\displaystyle{ 2013!!!}\)
95. Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ m}\) takie, że: \(\displaystyle{ d(m)^4 = m}\); gdzie \(\displaystyle{ d(m)}\) to ilość dzielników jakie ma \(\displaystyle{ m}\)
(liczbą taką jest np. \(\displaystyle{ m=3^8}\))
96. Niech \(\displaystyle{ a= 23! \sum_{j=1}^{23} \frac{1}{j}}\). Wyznaczyć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) przez \(\displaystyle{ 13}\)
104 ntp
97. Znaleźć wszystkie takie \(\displaystyle{ m, \ n}\) liczby naturalne, iż \(\displaystyle{ \phi(m)}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\) zaś \(\displaystyle{ \phi(n)}\) dzieli \(\displaystyle{ m}\)
a \(\displaystyle{ \phi()}\) to funkcja Eulera
98. Wykazać, że układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+ 6y^2 = z^2\\6x^2 + y^2 = w^2\end{cases}}\)
nie ma rozwiązań w \(\displaystyle{ N}\)
99. Niech \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3}\) będą zbiorami niepustymi liczb całkowitych takimi, że dla \(\displaystyle{ \{ i, j, k \} = \{ 1, 2, 3 \}}\):
\(\displaystyle{ (x \in A_i, y \in A_j) \Rightarrow (x+y \in A_k, x-y \in A_k )}\)
Udowodnić, że choć dwa ze zbiorów \(\displaystyle{ A_1, A_2, A_3}\) są równe. Czy mogą być niektóre z tych zbiorów rozłączne ?
100. Niech \(\displaystyle{ f: N \mapsto N}\) będzie funkcją taką że \(\displaystyle{ af(a) + bf(b) + 2ab}\) jest kwadratem (liczby całkowitej) dla dowolnych \(\displaystyle{ a, b \in N}\). Wykazać, iż \(\displaystyle{ f(m)=m}\) dla \(\displaystyle{ m \in N}\)
101. Udowodnić, iż jeśli \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi, takimi iż \(\displaystyle{ 4ab - 1}\) dzieli \(\displaystyle{ (4a^2 - 1)^2}\) to \(\displaystyle{ a=b}\)
102. Hipoteza Lagrange’a: Każda liczba nieparzysta \(\displaystyle{ n>5}\) jest równa \(\displaystyle{ n= p+ 2q}\) gdzie \(\displaystyle{ p, q \in P}\) . Czy \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) istnieją gdy \(\displaystyle{ n = 2013}\) ?
103. Wykazać że \(\displaystyle{ p_{n+1} + p_{n+2} \leq p_1….p_n}\) dla \(\displaystyle{ n>2}\)
gdzie \(\displaystyle{ p_n}\) to \(\displaystyle{ n}\) ta liczba pierwsza

Ukryta treść:    

wn, W. Narkiewicz;
1001 ntp ,Mercier, Mc Coninck zad 91,
104 ntp, T. Andreescu; 104 Number theory problems;
m-z ; Marzantowicz; Elementy....
mathlinks
... 7&t=475593
... hp?t=42328
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... p?t=396466
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... =37&t=6536
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 57&t=55036

[Vax]

1:    

Na początku zauważmy, że \(\displaystyle{ 2^m-1 \mid 2^n-1 \Rightarrow m \mid n}\), istotnie: \(\displaystyle{ 2^m-1 \mid 2^n-1 - 2^m+1 = 2^m(2^{n-m}-1) \Rightarrow 2^m-1 \mid 2^{n-m}-1}\), idąc tak dalej dostajemy, że \(\displaystyle{ 2^m-1 \mid 2^{n-km}-1 \ , \ k=1,2,..}\) takich, że \(\displaystyle{ n-km \ge 0}\), w szczególności jeżeli nie wprost \(\displaystyle{ m \nmid n}\) to istnieje takie \(\displaystyle{ k}\), że \(\displaystyle{ n-km \in (0;2^m-1)}\) (gdyż \(\displaystyle{ n>m}\)) skąd oczywista sprzeczność.

Wiemy, że \(\displaystyle{ (2^m-1)^2 \mid 2^n-1 \Rightarrow 2^m-1 \mid 2^n-1}\) skąd na mocy faktu udowodnionego wyżej mamy \(\displaystyle{ n=km}\), zauważmy teraz, że:

\(\displaystyle{ (2^m-1)^2 \mid (2^{m})^k-1 = (2^m-1)(2^{m(k-1)}+2^{m(k-2)}+..+2+1) \iff \\ 2^m-1 \mid (2^m)^{k-1} + (2^m)^{k-2} + ... + 1 \iff \\ 2^m-1 \mid k}\)
(to ostatnie przejście stąd, że \(\displaystyle{ 2^m \equiv 1 \pmod{2^m-1}}\), czyli istotnie \(\displaystyle{ m(2^m-1) \mid n}\) qed.

4:    

Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ p\nmid ab}\), ale wtedy \(\displaystyle{ p \mid a^2+ab+b^2 \Rightarrow a^3 \equiv b^3 \pmod{p} \iff (ab^{-1})^3 \equiv 1\pmod{p}}\), niech \(\displaystyle{ t=ord_p (ab^{-1})}\), mamy \(\displaystyle{ t \mid 3 \wedge t \mid p-1}\) (to drugie z mtf), jeżeli \(\displaystyle{ t=1}\) to \(\displaystyle{ a \equiv b\pmod{p} \Rightarrow 3a^2 \equiv 0\pmod{p} \Rightarrow p \mid a}\) sprzeczność, więc \(\displaystyle{ t=3 \Rightarrow 3 \mid p-1}\) sprzeczność, bo \(\displaystyle{ p \equiv 2\pmod{3}}\)

7:    

Nie wprost, niech \(\displaystyle{ p \nmid xy}\), wtedy \(\displaystyle{ x^4 \equiv -y^4\pmod{p} \iff (xy^{-1})^4 \equiv -1\pmod{p}/^2 \Rightarrow (xy^{-1})^8 \equiv 1\pmod{p}}\), biorąc \(\displaystyle{ t=ord_p (xy^{-1})}\) mamy \(\displaystyle{ t \nmid 4 \wedge t \mid 8 \Rightarrow t = 8}\), ale z mtf jest \(\displaystyle{ 8 \mid p-1}\) sprzeczność.

13:    

Tutaj brakuje założenia, że \(\displaystyle{ a,b,c}\) są parami różne, inaczej \(\displaystyle{ (a,b,c,p) = (1,1,2,7)}\) jest kontrprzykładem. Przy tym założeniu mamy \(\displaystyle{ a^3 \equiv b^3 \pmod {p} \iff (a-b)(a^2+ab+b^2) \equiv 0\pmod{p}}\), ale \(\displaystyle{ 0<|a-b|<p}\), więc \(\displaystyle{ a^2+ab+b^2 \equiv 0\pmod{p}}\), analogicznie \(\displaystyle{ b^2+bc+c^2 \equiv 0\pmod{p}}\), odejmując stronami dostajemy \(\displaystyle{ (a-c)(a+b+c) \equiv 0\pmod{p}}\) skąd \(\displaystyle{ a+b+c \equiv 0\pmod{p}}\), ale \(\displaystyle{ a+b+c < 3p}\), więc \(\displaystyle{ a+b+c = p \vee a+b+c=2p}\), jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c=p}\) (jeżeli \(\displaystyle{ a+b+c=2p}\) wychodzi na to samo), to teza jest równoważna \(\displaystyle{ p \mid a^2+b^2+c^2 = (a+b+c)^2-2(ab+ac+bc) \iff p \mid 2(ab+ac+bc)}\), ale sumując \(\displaystyle{ 0 \equiv a^2+ab+b^2 \equiv b^2+bc+c^2 \equiv a^2+ac+c^2 \pmod{p}}\) stronami dostajemy \(\displaystyle{ 2(a+b+c)^2 \equiv 3(ab+ac+bc) \pmod{p} \iff 3(ab+ac+bc) \equiv 0\pmod{p} \iff ab+ac+bc \equiv 0\pmod{p}}\), jak \(\displaystyle{ a+b+c=2p}\) dostajemy do pokazania \(\displaystyle{ p \mid ab+ac+bc}\) co dowodzimy tak samo

14:    

Z tw. Eulera \(\displaystyle{ a^{\phi(m)} \equiv 1\pmod{m} \iff a^{\phi(m)-1} \equiv a^{-1}}\), więc \(\displaystyle{ ax \equiv b\pmod{m} \iff x \equiv ba^{-1} \equiv ba^{\phi(m)-1} \pmod{m}}\)

24:    

\(\displaystyle{ m^5+m+1 = (m^2+m+1)(m^3-m^2+1)}\), stąd \(\displaystyle{ m^2+m+1 = 1 \vee m^3-m^2+1=1}\), skąd łatwo dostajemy, że musi być \(\displaystyle{ m=1}\)

33:    

a) Z LTE mamy \(\displaystyle{ v_3(2^{3^n}+1) = v_3(3^n)+v_3(2+1) = n+1}\)

Złożoność \(\displaystyle{ g_n}\) oraz podpunkt b wynikają z zależności \(\displaystyle{ g_n = g_{n-1}(g^2_{n-1}-g_{n-1}+1)}\)

35:    

Naturalnie \(\displaystyle{ n}\) musi być postaci \(\displaystyle{ n = 2^x\cdot 7^y\cdot 11^z}\) (innych liczb pierwszych nie rozpatrujemy bo oczekujemy najmniejszego n, a te są konieczne aby pod pierwiastkami mieć liczby całkowite), więc całkowite są liczby \(\displaystyle{ \sqrt{2^{x-1}7^y11^z} \ , \ \sqrt[7]{2^x7^{y-1}11^z} \ , \ \sqrt[11]{2^x7^y11^{z-1}}}\), skąd dostajemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 1\pmod{2} \\ x \equiv 0\pmod{7} \\ x \equiv 0\pmod{11} \\ y \equiv 0\pmod{2} \\ y \equiv 1 \pmod{7} \\ y \equiv 0\pmod{11} \\ z \equiv 0\pmod{2} \\ z \equiv 0\pmod{7} \\ z \equiv 1\pmod{11} \end{cases}}\)

Skąd łatwo wyliczamy (bierzemy najmniejsze naturalny x,y,z), że \(\displaystyle{ n = 2^{77}\cdot 7^{22} \cdot 11^{56}}\)

37:    

Tutaj raczej jest błąd w treści i powinno być \(\displaystyle{ \lfloor (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{4n-2}\rfloor - 1}\), jeżeli tak, to na początku zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \lfloor (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{4n-2} \rfloor = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{4n-2}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{4n-2}-1}\)

A jest tak dlatego, że \(\displaystyle{ (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{4n-2} \in (0;1)}\) oraz:

\(\displaystyle{ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{4n-2}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{4n-2} \in \mathbb{Z}}\)

Czyli mamy pokazać, że kwadratem jest liczba:

\(\displaystyle{ (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{4n-2}+(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{4n-2}-2}\)

Popatrzmy na ciąg \(\displaystyle{ a_n = (\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n} + (\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n} = u^n+v^n}\), gdzie \(\displaystyle{ u,v}\) są różnymi pierwiastkami \(\displaystyle{ x^2-x-1=0}\) jak widzimy:
\(\displaystyle{ a_{4n+6} = u^{4n+6}+v^{4n+6} = (u^4+v^4)(u^{4n+2}+v^{4n+2})-u^4v^4(u^{4n-2}+v^{4n-2}) = 7a_{4n+2} - a_{4n-2}}\)

Więc jeżeli zdefiniujemy ciąg \(\displaystyle{ b_n = a_{4n-2} , n\ge 1}\) dostajemy, że \(\displaystyle{ b_1 = 3 \ , \ b_2 = 18 \ , \ b_{n+2} = 7b_{n+1}-b_n}\), popatrzmy teraz na ciąg określony następująco:

\(\displaystyle{ \begin{cases} c_1 = 1 \\ c_2 = 4 \\ c_{n+2} = 3c_{n+1}-c_n \end{cases}}\)

Pokażę, że \(\displaystyle{ c^2_n - 3c_nc_{n-1}+c^2_{n-1} = 5}\). Istotnie, dla \(\displaystyle{ n=2}\) teza działa, załóżmy, że działa dla pewnego \(\displaystyle{ n}\), wówczas:

\(\displaystyle{ c^2_{n+1}-3c_{n+1}c_n+c^2_{n} = (3c_n-c_{n-1})^2-3(3c_n-c_{n-1})c_n+c^2_n = 9c^2_n-6c_nc_{n-1}+c^2_{n-1}-9c^2_n+3c_nc_{n-1}+c^2_n = c^2_n-3c_nc_{n-1}+c^2_{n-1} = 5}\)

czyli to, czego chcieliśmy. Pokażę, że zachodzi \(\displaystyle{ b_n = c^2_n+2}\). Istotnie, dla \(\displaystyle{ n=1,2}\) równość zachodzi, załóżmy, że działa dla pewnych \(\displaystyle{ n,n-1}\), wówczas:

\(\displaystyle{ b_{n+1} = c^2_{n+1}+2 \iff 7b_n-b_{n-1} = (3c_n-c_{n-1})^2+2 \iff 7(c^2_n+2)-c^2_{n-1}-2 = 9c^2_n-6c_nc_{n-1}+2 \iff c^2_n-3c_nc_{n-1}+c^2_{n-1}-5 = 0}\)

co jest prawdą, qed.

63:    

Pokażemy, że wystarczy przyjąć \(\displaystyle{ n=2^{k+1}\cdot 5^{k-1}}\), istotnie, wówczas (po drodze korzystamy z tw. Eulera):

\(\displaystyle{ 3^n-1 \equiv (3^{2^{k-1}})^{4\cdot 5^{k-1}} \equiv 1^{4\cdot 5^{k-1}} \equiv 1\pmod{2^k}}\)

oraz:

\(\displaystyle{ 3^n-1 \equiv (3^{4\cdot 5^{k-1}})^{2^{k-1}} \equiv 1^{2^{k-1}} \equiv 1\pmod{5^k}}\)

71:    

a) \(\displaystyle{ {2p \choose p} \equiv \frac{(2p)!}{p!p!} \equiv \frac{(p-1)!(p+1)(p+2)..(2p-1)2}{(p-1)!\cdot (p-1)!} \equiv \frac{2(p+1)(p+2)...(2p-1)}{(p-1)!} \equiv 2\pmod{p}}\)

b) Załóżmy nie wprost, że istnieje jakieś pierwsze \(\displaystyle{ q \neq p}\), że \(\displaystyle{ q \mid (p! , (p-2)!-1)}\), ale skoro \(\displaystyle{ p\ge 5}\) to \(\displaystyle{ p-1 \not\in \mathbb{P}}\), skąd \(\displaystyle{ q \le p-2}\), ale \(\displaystyle{ q \mid (p-2)!-1 \Rightarrow q \mid 1}\) sprzeczność.

74:    

Wynika to z tego, że układ kongruencji:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x \equiv 0\pmod{p_1p_2...p_k}\\ x \equiv -1\pmod{p_{k+1}p_{k+2}..p_{2k}} \end{cases}}\)

Ma na mocy chińskiego twierdzenia o resztach rozwiązanie.

76:    

Załóżmy nie wprost, że taka liczba \(\displaystyle{ p}\) nie istnieje, ale \(\displaystyle{ a^3+1 = (a+1)(a^2-a+1)}\), to zaś oznacza, że dzielniki pierwsze \(\displaystyle{ a^2-a+1}\) zawierają się w dzielnikach pierwszych \(\displaystyle{ a+1}\), jednak \(\displaystyle{ (a^2-a+1 , a+1) = (a^2-a+1-a^2-a , a+1) = (2a-1 , a+1) = (3,a+1) \mid 3}\), czyli \(\displaystyle{ a^2-a+1}\) musi być potęgą trójki. Jeżeli \(\displaystyle{ a^2-a+1 = 1}\) albo \(\displaystyle{ a^2-a+1 = 3}\) dostajemy sprzeczność z założeniem \(\displaystyle{ a>2}\), a jeżeli \(\displaystyle{ a^2-a+1 = 3^k \ , \ k \ge 2}\) dostajemy sprzeczność modulo 9.

83:    

Załóżmy nie wprost, że tak nie jest, czyli \(\displaystyle{ x^2 \equiv 3a^2\pmod{p} \iff (xa^{-1})^2 \equiv 3\pmod{p}}\), czyli \(\displaystyle{ 3}\) jest resztą kwadratową modulo p, ale (niech \(\displaystyle{ p=24k+5}\), korzystamy z prawa wzajemności reszt kwadratowych):

\(\displaystyle{ \left(\frac{3}{p}\righ) = \left(\frac{3}{24k+5}\right) = \left(\frac{24k+5}{3}\right) = \left(\frac{5}{3}\right) = \left(\frac{2}{3}\right) = -1}\)

sprzeczność.

87:    

Wystarczy pokazać, że wartość funkcji eulera \(\displaystyle{ \phi(n)}\) dla \(\displaystyle{ n>2}\) jest zawsze parzysta, jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest potęgą dwójki, tj \(\displaystyle{ n=2^k \ , \ k\ge 2}\) to \(\displaystyle{ \phi(n) = 2^{k-1}}\), co jest liczbą parzystą, a jeżeli nie jest potęgą dwójki, to musi posiadać w rozkładzie pewną nieparzystą liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p}\) w jakiejś potędze \(\displaystyle{ \alpha}\), a wówczas na mocy multiplikatywności \(\displaystyle{ \phi}\) wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ \phi(p^{\alpha}) = p^{\alpha-1}(p-1)}\), co będzie parzyste bo \(\displaystyle{ p-1}\) jest parzyste.

88:    

Pokażemy od razu uogólnienie. Mamy pokazać \(\displaystyle{ 2^{p(2p-1)-1} \equiv 1\pmod{p(2p-1)} \iff 2^{p(2p-1)} \equiv 2\pmod{p(2p-1)}}\), na początku podzielność przez \(\displaystyle{ p}\):

\(\displaystyle{ (2^{p})^{2p-1} \equiv 2^{2p-1} \equiv 2^{-1}\cdot (2^p)^2 \equiv 2^{-1} \cdot 2^2 \equiv 2\pmod{p}}\)

Teraz przez \(\displaystyle{ 2p-1}\). Niech \(\displaystyle{ p=4k+1}\), wówczas \(\displaystyle{ 2p-1 = 8k+1}\):

\(\displaystyle{ (2^{2p-1})^p \equiv 2^p \pmod{2p-1}}\)

Zauważmy teraz, że \(\displaystyle{ 2}\) jest resztą kwadratową modulo \(\displaystyle{ 2p-1}\), istotnie:

\(\displaystyle{ \left(\frac{2}{2p-1}\right) = (-1)^{\frac{(8k+1)^2-1}{8}} = (-1)^{8k^2+2k} = 1}\)

Z drugiej strony z kryterium Eulera \(\displaystyle{ 1 \equiv \left(\frac{2}{2p-1}\right) \equiv 2^{\frac{2p-2}{2}} = 2^{p-1} \pmod{2p-1} \iff 2^p \equiv 2\pmod{2p-1}}\)

qed.

92:    

Zauważmy, że musi być \(\displaystyle{ v_2(a) = v_2(b)}\), istotnie, w przeciwnym wypadku dzieląc obie strony przez \(\displaystyle{ 2^{\min(v_2(a),v_2(b))}}\) dostalibyśmy po lewej stronie liczbę nieparzystą a po prawej parzystą. Dzielimy więc obie strony równania przez \(\displaystyle{ 2^{v_2(a)}}\) i dostajemy nasze równanie \(\displaystyle{ a^n+b^n = 2^m}\) dla nieparzystych \(\displaystyle{ a,b}\). Zakładamy nie wprost, że \(\displaystyle{ (a,b) \neq (1,1)}\). Naturalnie \(\displaystyle{ m \ge 2}\), więc w szczególności \(\displaystyle{ a^n \equiv -b^n\pmod{4} \iff (ab^{-1})^n \equiv -1\pmod{4}}\) oraz z twierdzenia Eulera \(\displaystyle{ (ab^{-1})^2 \equiv 1\pmod{4}}\), więc jeżeli przyjmiemy \(\displaystyle{ t = ord_p (ab^{-1})}\), to otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{cases} t \nmid n \\ t \mid 2 \end{cases}}\)

na mocy pierwszej zależności nie może być \(\displaystyle{ t=1}\), więc na mocy drugiej mamy \(\displaystyle{ t=2}\), czyli \(\displaystyle{ 2 \nmid n}\), niech \(\displaystyle{ n = 2s+1}\), wówczas:

\(\displaystyle{ 2^m = a^n+b^n = (a+b)(a^{2s}-a^{2s-1}b+a^{2s-2}b^2-...+a^2b^{2s-2}-ab^{2s-1}+b^{2s})}\), co już nam daje sprzeczność, gdyż drugi czynnik jest sumą nieparzystej ilości liczb nieparzystych co będzie nieparzyste (nie może być równy 1, gdyż wówczas byłoby \(\displaystyle{ a^n+b^n = a+b}\), co nie jest możliwe gdyż co najmniej jedna z liczb a,b jest większa od 1.

96:    

Zauważmy, że w danej sumie wszystkie składniki oprócz \(\displaystyle{ \frac{23!}{13}}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ 13}\), wystarczy więc brać pod uwagę ten składnik (po drodze korzystamy z tw. Wilsona):

\(\displaystyle{ \frac{23!}{13} \equiv 12! \cdot 10! \equiv \frac{-12!}{11\cdot 12} \equiv (11\cdot 12)^{-1} \equiv 2^{-1} \equiv 7\pmod{13}}\)

98:    

Dodając stronami dane równości dostajemy \(\displaystyle{ 7(x^2+y^2) \equiv w^2+z^2}\), skąd patrząc na to modulo 7 mamy \(\displaystyle{ w=7w' , z=7z'}\), podstawiając dostajemy \(\displaystyle{ x^2+y^2 = 7(w'^2+z'^2)}\), więc analogicznie \(\displaystyle{ x=7x' , y=7y'}\), podstawiamy i dostajemy \(\displaystyle{ 7(x'^2+y'^2) = w'^2+y'^2}\), możemy tak schodzić w nieskończoność skąd \(\displaystyle{ x=y=w=z=0}\)

103:    

Indukcja. Dla \(\displaystyle{ n=3}\) działa, mamy pokazać:

\(\displaystyle{ p_{n+2}+p_{n+3} \le p_1p_2...p_np_{n+1}}\)

Ale \(\displaystyle{ p_1p_2...p_np_{n+1} \ge p_{n+1}(p_{n+1}+p_{n+2}) = p^2_{n+1}+p_{n+1}p_{n+2} \ge p_{n+2} + p_{n+3}}\)

Jednak z tw. Czebyszewa mamy \(\displaystyle{ p_{n+3} \le 2p_{n+2}+1}\), więc wystarczy pokazać:

\(\displaystyle{ p^2_{n+1} + p_{n+1}p_{n+2} \ge 3p_{n+2}+1 \iff p^2_{n+1}+p_{n+2}(p_{n+1}-3) \ge 1}\)

Co jest oczywiście prawdą, qed.

[yorgin]

17:    

\(\displaystyle{ 188\ 686\ 013= 7\ 919 \cdot 23\ 827}\)

Z warunku

\(\displaystyle{ 100\left|\frac{p}{q}-3\right|<100}\)

dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{299}{100}q<p<\frac{301}{100}q}\)

a stąd

\(\displaystyle{ \frac{299}{100}q^2<pq<\frac{301}{100}q^2}\)

i dalej

\(\displaystyle{ 7917<q<7944}\)

skąd po łopatologicznym sprawdzaniu \(\displaystyle{ q=7919}\).

21:    

\(\displaystyle{ n=2k+1\Rightarrow n=2+(2k-1)\\
\\
n=4k \Rightarrow n=(2k-1)+(2k+1)\\
\\
n=4k+2 \Rightarrow n=(2k-1)+(2k+3)}\)

Pierwszy rozkład jest oczywisty, drugi i trzeci działa dzięki założeniu \(\displaystyle{ n\geq 7}\) - dostajemy dwie liczby nieparzyste o rozstępie odpowiednio \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ 4}\)

[Ponewor]

Komentarz do 2:    

Już kiedyś było w odrobinę innej formie, ale to było bardzo trudne zadanie chyba.

4:    

Jak u Vaxa \(\displaystyle{ p \mid a^{2}+ab+b^{2} \Rightarrow p \mid a^{3}-b^{3}}\), a to jest już dokończone inaczej w 5/3/LXI OM.

Kontrprzykład do 5:    

Kontrprzykład: \(\displaystyle{ a=1, \ b=2, \ n=6}\).

7:    

Niech \(\displaystyle{ p=8k+5}\). Niech \(\displaystyle{ p \nmid xy}\). Wtedy z MTF \(\displaystyle{ \left(x^{4}\right)^{2k+1}=x^{8k+4} \equiv 1 \equiv y^{8k+4} = \left(y^{4}\right)^{2k+1} \pmod{p}}\). Wtedy \(\displaystyle{ 2 \equiv \left(x^{4}\right)^{2k+1}+\left(y^{4}\right)^{2k+1} = \left(x^{4}+y^{4}\right)\left(\ldots\right) \equiv 0 \pmod{p}}\). Czyli \(\displaystyle{ p \mid 2}\), co daje upragnioną sprzeczność.

14:    

Wystarczy wstawić ten \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ ax \equiv a \cdot ba^{\phi\left( m\right) -1}\equiv ba^{\phi\left( m\right)} \equiv b \cdot 1 \equiv b \pmod{m}}\) co wynikło z twierdzenia Eulera.

41 b:    

Ze wzorów skróconego mnożenia otrzymujemy, że dzielniki to \(\displaystyle{ 10+1=11}\) i \(\displaystyle{ 10^{3}+1=1001}\). Zauważamy, że \(\displaystyle{ \frac{1001}{11}=91=7 \cdot 13}\).

coś nie tak z 42:    

Na początku mowa o trzech liczbach, a potem o dwóch... Ponadto wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a=b=\sqrt{2}}\)

46:    

\(\displaystyle{ NWD \left( a a^{\prime}, ab^{\prime}, b a^{\prime}, b b^{\prime} \right) =NWD \left( NWD \left( a a^{\prime}, ab^{\prime} \right) , NWD \left( b a^{\prime}, b b^{\prime} \right) \right) =NWD \left( aNWD \left( a^{\prime}, b^{\prime} \right) , b NWD \left( a^{\prime}, b^{\prime} \right) \right)=NWD \left( ad^{\prime}, bd^{\prime} \right) =d^{\prime}NWD \left( a, b \right) =dd^{\prime}}\)

problem poboczny do 60:    

Reszty. \(\displaystyle{ 2^{10k+7} \equiv 7 \pmod{11} \wedge 2^{12k+11} \equiv 7 \pmod{13}}\)

61:    

No to implikacja w prawo, to wystarczy wstawić \(\displaystyle{ q=2}\) i rzeczywiście wszystko się zgadza. A implikacja w lewo? \(\displaystyle{ p+q=r}\), więc widać, że choć bso \(\displaystyle{ q=2}\), by parzystość się zgadzała.

73 ii:    

\(\displaystyle{ 2^{6} \equiv 1 \pmod{9} \Rightarrow 2^{36} \equiv 1 \pmod{9} \Rightarrow 2^{38} \equiv 4 \pmod{9} \Rightarrow 2^{38} \equiv 4 \pmod{18} \Rightarrow 2^{38}-4=18k}\). \(\displaystyle{ 2^{2^{38}}=2^{2^{38}-4+4}=2^{2^{38}-4}\cdot 2^{4}= 2^{18k} \cdot 16 =\left(2^{k}\right)^{18} \cdot 16 \equiv 1 \cdot -3 \equiv -3 \pmod{19}}\)

73 vii:    

\(\displaystyle{ x^{2} \equiv 52 \pmod{159} \Leftrightarrow x^{2} \equiv 1 \pmod{3} \wedge x^{2} \equiv -1 \pmod{53}}\). Obie kongruencje mają rozwiązania, a CToR istnieje wspólne rozwiązanie.

76:    

Bezpośredni wniosek z twierdzenia Zsigmondy.

77 vii:    

\(\displaystyle{ 5=2^{2}-\left(-1\right)^{3}}\), więc na mocy https://www.matematyka.pl/197931.htm#p5085115 rozwiązań brak.

coś nie tak z 82:    

Liczby \(\displaystyle{ 2k}\) łatwo przedstawić z \(\displaystyle{ \left( x, \ y, \ z \right)=\left(k, \ 0, \ 0 \right)}\), zaś \(\displaystyle{ 2k+1}\) przedstawimy tak: \(\displaystyle{ \left( x, \ y, \ z\right) = \left( k-1, \ 1, \ 0 \right)}\)

Istotne wnioski do 85:    

Spróbujmy to uderzyć Viete'a Jumpingiem. To będzie mój pierwszy taki samodzielny dowód, więc uwaga. Ustalmy \(\displaystyle{ k}\) i niech \(\displaystyle{ \frac{a^{2}+b^{2}+3}{ab}=k}\). Rozważmy zbiór rozwiązań \(\displaystyle{ \left( a, \ b\right)}\) tego równania. Niech \(\displaystyle{ \left( A, \ B\right)}\) będzie takim rozwiązaniem, że jest parą o najmniejszej sumie. Załóżmy, że\(\displaystyle{ A>B}\). Teraz rozważmy następujące równanie \(\displaystyle{ \frac{x^{2}+B^{2}+3}{xB}=k \Leftrightarrow x^{2}-Bkx+B^{2}+3}\). Jednym z rozwiązań tego równania jest oczywiście \(\displaystyle{ x_{1}=A}\), drugim zaś na mocy wzorów Viete'a liczba \(\displaystyle{ x_{2}=\frac{B^{2}+3}{A} \le A}\). Zatem \(\displaystyle{ x_{2}+B \le A+B}\). Na mocy określenia pary \(\displaystyle{ \left( A, \ B\right)}\) musi tam zachodzić równość. Zatem \(\displaystyle{ A=2 \wedge B=1}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ k=4}\). Gdy jednak \(\displaystyle{ A=B}\), wtedy \(\displaystyle{ k=5}\). Zadanie sprowadza się do rozwiązania równań \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+3=4ab}\) i \(\displaystyle{ a^{2}+b^{2}+3=5ab}\). Nie wiem jednak jak to zrobić. Wiem jedynie, że pierwsze równanie ma choć jedno rozwiązanie: \(\displaystyle{ \left( 2, \ 1\right), \ \left( 1, \ 2\right)}\), zaś drugie ma przynajmniej trzy rozwiązania: \(\displaystyle{ \left(1, \ 1 \right), \ \left(4, \ 1 \right), \ \left(1, \ 4 \right)}\)

92:    

BSO \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to względnie pierwsze liczby nieparzyste. Zauważmy, że np. z LTE \(\displaystyle{ a+b}\) jest potęgą dwójki. Załóżmy, że \(\displaystyle{ a \neq b}\). Z twierdzenia Zsigmondy \(\displaystyle{ a^{n}+b^{n}}\) ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli \(\displaystyle{ a+b}\), czyli różny od \(\displaystyle{ 2}\). Sprzeczność.

101:    

5/IMO 2007 Jedno z bardziej znanych zadań na Viete'a Jumping.

102:    

\(\displaystyle{ \left( p, \ q \right)=\left( 1999, \ 7\right)}\)

[bakala12]

9.:    

Oczywiście \(\displaystyle{ n^{3}\equiv 0,1,-1 \pmod{9}}\)
Zatem \(\displaystyle{ x^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv -3,-2,-1,0,1,2,3 \pmod{9}}\)
Tymczasem \(\displaystyle{ 13\equiv 4 \pmod{9}.}\)

12.:    

Reszty nie kłamią. Oczywiście \(\displaystyle{ x^{2}\equiv 0,1,4 \pmod{8}}\) Analizując reszty z dzielenia przez \(\displaystyle{ 8}\) wyrażenia \(\displaystyle{ x^{2}-2y^{2}}\) dochodzimy do wniosku, że \(\displaystyle{ x^{2}-2y^{2} \equiv 0,1,4,6,7,2 \pmod{8}}\). To natychmiast dowodzi a). Odpowiedź na pytanie b) także jest natychmiastowa i oczywiście pozytywna.

27.:    

Łatwo zauważyć że ten ciąg dany jest wzorem \(\displaystyle{ a _{n}= \frac{10^{n+1}-7}{3}}\) dla n nieujemnych. Znów łatwo sprawdzić że dla \(\displaystyle{ n\equiv8\pmod{17}}\) liczba \(\displaystyle{ a _{n}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 17}\).
Dowodzi to, że w tym ciągu jest nieskończenie wiele liczb złożonych.
Sprawdzenie w wolframie pokazuje że \(\displaystyle{ 333333331}\) jest najmniejszą liczbą złożoną w tym ciągu, bo dzieli się przez \(\displaystyle{ 17}\).

53.:    

Taka liczba nie istnieje. Bo gdyby taka liczba istniała to byłoby\(\displaystyle{ n^{2}\equiv S(n^{2})\equiv2013 \equiv6 \pmod{9}}\). Tymczasem kwadrat daje z dzielenia przez \(\displaystyle{ 9}\) tylko reszty \(\displaystyle{ 0,1,4,7}\).

55.:    

Znane jest twierdzenie, że \(\displaystyle{ m|n \Leftrightarrow F _{m} |F _{n}}\)
Załóżmy nie wprost, że \(\displaystyle{ F _{n}}\) jest liczbą pierwszą zaś n jest liczbą złożoną różną od 4. Wtedy istnieje liczba \(\displaystyle{ p|n \ p>1}\) więc \(\displaystyle{ F _{p}|F _{n}}\) zatem musi być \(\displaystyle{ F _{p}=1}\). Stąd \(\displaystyle{ p=2}\). Zatem \(\displaystyle{ n=2 ^{k}, k>1}\). Jednak jeżeli \(\displaystyle{ k>2}\) to biorąc \(\displaystyle{ p=2 ^{k-1}}\) otrzymujemy, że \(\displaystyle{ F _{n}}\) jest złożona. Stąd \(\displaystyle{ k=2}\) i \(\displaystyle{ n=4}\).
Ta sprzeczność dowodzi prawdziwości tezy zadania.

.-- 19 lip 2013, o 18:27 --

44.:    

Wystarczy wziąć trójkę \(\displaystyle{ \left( -1;-1;1\right)}\). Gdy ograniczymy się do dodatnich liczb całkowitych to odpowiedź będzie twierdząca. Bez straty ogólności rozumowania \(\displaystyle{ z}\) jest największą z tych liczb. Mamy:
\(\displaystyle{ 3= \frac{xy}{z}+ z\left( \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\right) \ge 2z+ \frac{xy}{z}}\)
Stąd \(\displaystyle{ z=1}\) i w konsekwencji \(\displaystyle{ x=y=z=1}\)

[diana7]

18:    

Niech \(\displaystyle{ p^a}\) będzie największą całkowitą nieujemną potęgą liczby \(\displaystyle{ p}\), która dzieli x, oraz \(\displaystyle{ x=p^ax_1}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1 \in Z}\). Wtedy \(\displaystyle{ p^{an}x_1^n+y^n=p^k \Rightarrow p^{an}x_1^n <p^k \Rightarrow 1<p^{k-na} \Rightarrow p^{an}|y^n}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ y=p^ay_1}\), gdzie \(\displaystyle{ y_1 \in Z}\), wtedy \(\displaystyle{ x_1^n+y_1^n=p^{k-an} \Rightarrow p \nmid y_1^n \Rightarrow x_1 \perp y_1 \ (1)}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ n \equiv 1 \pmod {2}}\) zachodzi:
\(\displaystyle{ (x_1+y_1)(x_1^{n-1} – y_1x_1^{n-2}+…+y_1^{n-1} )=p^{k-an} \Rightarrow p|x_1+y_1 \ (2)}\).
Niech \(\displaystyle{ n=n_1p^b}\), przy czym \(\displaystyle{ b}\) jest całkowite nieujemne, \(\displaystyle{ n_1 \in N}\) oraz \(\displaystyle{ n_1 \perp p}\). Ponieważ zachodzi (1) i (2) oraz \(\displaystyle{ p>2}\) z LTE mamy: \(\displaystyle{ v_p(x_1^n+y_1^n)=v_p(x_1^{p^b}+y_1^{p^b}) =k-an \Rightarrow x_1^n+y_1^n= x_1^{p^b}+y_1^{p^b}}\).
Co najmniej jedna z liczb \(\displaystyle{ x_1, y_1}\) jest większa od 1 , z czego wynika, że \(\displaystyle{ n_1=1}\).
--
\(\displaystyle{ a \perp b}\) oznacza, że a i b są względnie pierwsze.

19:    

Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą tymi liczbami nieparzystymi. Wtedy istnieje \(\displaystyle{ x \in Z}\) takie, że \(\displaystyle{ 2x+1=a^2+b^2+c^2}\). Suma kwadratów liczb \(\displaystyle{ a, b, c, x}\) jest równa \(\displaystyle{ (x+1)^2}\)

22:    

Zakładamy, że \(\displaystyle{ p-q-r}\) różne od zera. Później przekształcamy następująco:
\(\displaystyle{ \frac{1}{p-q-r}=\frac{1}{q}+\frac{1}{r} \ (1)}\)
\(\displaystyle{ 1=\frac{p-q-r}{q}+\frac{p-q-r}{r}}\)
\(\displaystyle{ 3qr=pr-r^2+pq-q^2}\)
\(\displaystyle{ qr=(r+q)(p-q-r)}\)
\(\displaystyle{ r+q \neq q \wedge r+q \neq –q \wedge r+q \neq r \wedge r+q \neq –r}\), więc możliwe są przypadki:
\(\displaystyle{ 1^{\circ}}\) \(\displaystyle{ r+q=1 \Rightarrow r \not\equiv q \pmod {2}}\). Mamy więc \(\displaystyle{ (r,q)=(-2,3) \vee (r,q)=(3, -2)}\)
\(\displaystyle{ 2^{\circ}}\) \(\displaystyle{ r+q=-1}\). Analogicznie, jak wyżej. Tutaj otrzymamy \(\displaystyle{ (r,q)=(2,-3) \vee (r,q)=(-3,2)}\).
\(\displaystyle{ 3^{\circ}}\) \(\displaystyle{ r+q=rq \Rightarrow r=q(r-1) \Rightarrow |r-1|=1 \Rightarrow r=2 \wedge q=2}\)
\(\displaystyle{ 4^{\circ}}\) \(\displaystyle{ r+q=-rq}\). Tak samo, jak w \(\displaystyle{ 3^{\circ}}\). Tutaj mamy \(\displaystyle{ (r,q)=(-2,-2)}\).
Na końcu podstawiamy do równania (1) obliczamy \(\displaystyle{ p}\), sprawdzamy, czy jest liczbą pierwszą i czy \(\displaystyle{ p-q-r \neq 0}\)

23:    

Każdą liczbę nieparzystą można przedstawić w postaci
\(\displaystyle{ (a+1)^2+(2a)^2-5a^2=2a+1}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in Z}\),
A każdą liczbę parzystą w postaci:
\(\displaystyle{ (a+2)^2+(2a+1)^2-5(a+1)^2=-2a}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in Z}\)

25, kontrprzykład:    

\(\displaystyle{ n=6, p=5}\)

51:    

Niech \(\displaystyle{ d=NWD(a, b)}\), oraz \(\displaystyle{ a=da_1}\) i \(\displaystyle{ b=db_1}\), przy czym \(\displaystyle{ a_1, b_1 \in Z}\).
Wtedy mamy \(\displaystyle{ \frac{a^2+a+b^2+b}{ab}= \frac {d^2a_1^2+d^2b_1^2+da_1+db_1}{d^2a_1b_1} \Rightarrow d^2|da_1+db_1}\), więc \(\displaystyle{ d^2 \le a+b}\)

Załóżmy, że istnieją takie \(\displaystyle{ a,b}\), że zachodzi równość. Zgodnie z założeniem mamy \(\displaystyle{ 1<a_1<b_1}\)
Wtedy: \(\displaystyle{ d^2a_1b_1|d^2a_1+d^2b_1+d^2 \Rightarrow a_1b_1 |a_1+b_1+1}\)
Dla \(\displaystyle{ a_1 \ge 3}\) i \(\displaystyle{ b_1 \ge 4}\) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a_1b_1}{2} > b_1}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a_1b_1}{2} \ge a_1+1}\).
Z tego wynika, że \(\displaystyle{ a_1 \le 2}\) lub \(\displaystyle{ b_1 \le 3}\). W drugim przypadku otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a_1=2 \wedge b_1=3}\). Jednak wtedy \(\displaystyle{ d=5}\), jednak liczba \(\displaystyle{ \frac{10+1}{15}+\frac{15+1}{10}}\) nie jest całkowita W pierwszym, że \(\displaystyle{ 2b_1|3+b_1}\), więc \(\displaystyle{ b_1=3}\)

61:    

Jedna z liczb \(\displaystyle{ (p,q)}\), spełniających równanie \(\displaystyle{ p+q=r}\) jest równa 2, inaczej \(\displaystyle{ r \equiv 0 \pmod {2} \Rightarrow p<2 \wedge q<2}\).

89:    

Gdy \(\displaystyle{ m=172}\) mamy:
\(\displaystyle{ 4^{27}+4^{100}+4^{172}=2^{54}(1+2^{145})^2}\).
Załóżmy, że istnieje \(\displaystyle{ m>172}\), wtedy mamy:
\(\displaystyle{ 4^{27}+4^{100}+4^m=a^2}\), gdzie \(\displaystyle{ a \in Z}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow 1+2^{146}+2^{2m-54}=b^2}\), gdzie \(\displaystyle{ b \in Z}\)
Jednak \(\displaystyle{ 2^{2m-54} <1+2^{146}+2^{2m-54}<(2^{m-26}+1)^2}\)

[yorgin]

coś nie tak z 82:    

Liczby \(\displaystyle{ 2k}\) łatwo przedstawić z \(\displaystyle{ \left( x, \ y, \ z \right)=\left(k, \ 0, \ 0 \right)}\), zaś \(\displaystyle{ 2k+1}\) przedstawimy tak: \(\displaystyle{ \left( x, \ y, \ z\right) = \left( k-1, \ 1, \ 0 \right)}\)

A może jednak?:    

Z tego wychodzi prosty wniosek, że największą liczbą całkowitą będącą odpowiedzią do zadania jest \(\displaystyle{ 1}\).

Komentarz do 79:    

Jeśli \(\displaystyle{ m}\) nie jest pierwsza, to \(\displaystyle{ m\geq f(m)}\). Prawdopodobnie winno się to poprawić do silnej nierówności.

Dodatkowo \(\displaystyle{ f(7)=8, f(8)=7}\) więc mamy na pewno okresowy ciąg siódemek i ósemek, do którego można dość na pewno startując od "małych liczb".

6:    

Ponieważ \(\displaystyle{ 27\ 000= 2^3\cdot 3^3\cdot 5^3}\), więc łatwo sprawdzić, że jednym z czynników z wymaganego rozkładu jest jedna z liczb \(\displaystyle{ 2^3, 3^3, 5^3}\). Reszta to tylko proste rachunki.

[ordyh]

58.:    

Zauważmy na początku, że jeśli \(\displaystyle{ b = 1}\), to \(\displaystyle{ a = 3}\) i dane wyrażenie jest istotnie kwadratem.

Załóżmy, że istnieją takie pary \(\displaystyle{ (a,b)}\), że \(\displaystyle{ 2k = 2\frac{a^2+b^2}{ab+2}}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, weźmy taką parę o najmniejszej sumie \(\displaystyle{ a+b}\) i \(\displaystyle{ a \geq b}\). Możemy również założyć, że \(\displaystyle{ b \geq 2}\).
Mamy \(\displaystyle{ a^2-kab+b^2-2k = 0}\), niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ a'}\) będą pierwiastkami równania kwadratowego \(\displaystyle{ x^2-kbx+b^2-2k = 0}\), wówczas z wzorów Viete'a mamy:
\(\displaystyle{ aa' = b^2-2k}\)
\(\displaystyle{ a+a' = kb}\)

Z drugiej zależności otrzymujemy, że \(\displaystyle{ a' \in \mathbb{Z}}\), z pierwszej natomiast \(\displaystyle{ a' = \frac{b^2-2k}{a} < \frac{b^2}{a} \leq a}\). Pokażemy jeszcze, że \(\displaystyle{ a' > 0}\).

Nie może być \(\displaystyle{ a' = 0}\), bo wtedy \(\displaystyle{ b^2 = 2k}\), co jest sprzeczne z założeniem, że \(\displaystyle{ 2k}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej.
Załóżmy, że \(\displaystyle{ a' < 0}\), wtedy \(\displaystyle{ a' \leq -1}\), więc \(\displaystyle{ kba' \leq -kb \leq -2k}\) (bo \(\displaystyle{ b \geq 2}\)), a stąd
\(\displaystyle{ 0 = a'^2 - kba' + b^2 - 2k \geq a'^2 + b^2 > 0}\), sprzeczność.

Zatem para \(\displaystyle{ (a',b)}\) jest również parą liczb naturalnych, taką że \(\displaystyle{ 2\frac{a'^2+b^2}{a'b+2}}\) nie jest kwadratem, ale \(\displaystyle{ a' < a}\), zatem \(\displaystyle{ a'+b < a+b}\), a para \(\displaystyle{ (a,b)}\) była wybrana tak, by suma była jak najmniejsza, a znaleźliśmy parę o jeszcze mniejszej sumie, sprzeczność, stąd wnioskujemy prawdziwość tezy.

-----

Z powyższego możemy jeszcze wywnioskować, że dla \(\displaystyle{ (a,b) = (4m^3, 2m)}\) dostajemy \(\displaystyle{ 2\frac{a^2+b^2}{ab+2} = (2m)^2}\), zatem dla każdego parzystego kwadratu istnieją rozwiązania.

65.:    

Niech \(\displaystyle{ P = p_1p_2...p_n}\) dla różnych liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_i}\) i \(\displaystyle{ m_i = \frac{P}{p_i}}\)

[Vax]

ciekawe 11:    

Na początku zauważmy, że \(\displaystyle{ \pmod{p}}\) zachodzi:

\(\displaystyle{ \left\{1!\cdot (p-1)! \ , \ 2!\cdot (p-2)! \ , \ ... \ , \ \left(\frac{p-1}{2}\right)!\cdot \left(\frac{p+1}{2}\right)!\right\} = \left\{2 \ , \ 4 \ , \ ... \ , \ p-1\right\}}\)

Istotnie, zauważmy, że (po drodze korzystamy z tw. Wilsona), dla każdego \(\displaystyle{ l \in [1;p-1]}\) mamy \(\displaystyle{ (p-l-1)! \equiv \frac{(p-1)!}{(p-l)(p-(l-1))...(p-1)} \equiv \frac{-1}{\pm l!} \iff l! \cdot (p-l-1)! \equiv \mp 1 \pmod{p}}\)

(\(\displaystyle{ 1}\) dla nieparzystych \(\displaystyle{ l}\) a \(\displaystyle{ -1}\) dla parzystych)

Teraz wystarczy zauważyć, że (załóżmy, że \(\displaystyle{ p = 4k+1}\), jeżeli \(\displaystyle{ p \equiv 3\pmod{4}}\) to robimy tak samo, chodzi o to, żeby mieć jasno określone znaki):

\(\displaystyle{ \begin{cases} 1!(4k-1)! \equiv 1\pmod{4k+1}\\ 2!(4k-2)! \equiv -1\pmod{4k+1} \\ 3!(4k-3)! \equiv 1\pmod{4k+1} \\ ... \\ (2k)!(2k)! \equiv -1\pmod{4k+1} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 1!(4k)! \equiv 4k\pmod{4k+1}\\ 2!(4k-1)! \equiv 2\pmod{4k+1} \\ 3!(4k-2)! \equiv 4k-2\pmod{4k+1} \\ ... \\ (2k-1)!(2k+2)! \equiv 2k+2\pmod{4k+1} \\ (2k)!(2k+1) \equiv 2k\pmod{4k+1} \end{cases}}\)

Więc istotnie dostaliśmy wszystkie liczby parzyste, analogicznie wychodzi dla \(\displaystyle{ p=4k+3}\). Przejdźmy do zadania. Zauważmy, że:

\(\displaystyle{ 2 \cdot \frac{2^{p-1}-1}{p} = \frac{2^p-2}{p} = \frac{(1+1)^p-2}{p} = \frac{{p \choose 1}+{p \choose 2}+...+{p \choose p-1}}{p} = \frac{2\left({p \choose 1} + {p \choose 2} + ... + {p \choose \frac{p-1}{2}} \right)}{p} \\ \\ \iff \\ \\ \frac{2^{p-1}-1}{p} \equiv \frac{{p \choose 1} + {p \choose 2} + ... + {p \choose \frac{p-1}{2}}}{p} \equiv \frac{-1}{1!(p-1)!} + \frac{-1}{2!(p-2)!} + ... + \frac{-1}{(\frac{p-1}{2})!(\frac{p+1}{2})!} (*)}\)

Ale odwrotności \(\displaystyle{ \pmod{p}}\) są różne, więc:

\(\displaystyle{ 1^{-1}+2^{-1}+..+(p-1)^{-1} \equiv 1+2+..+(p-1) \equiv \frac{(p-1)p}{2} \equiv 0\pmod{p} \Rightarrow -1^{-1}-3^{-1}-...-(p-2)^{-1} \equiv 2^{-1}+4^{-1}+...+(p-1)^{-1} \pmod{p}}\)

Więc teza jest równoważna (po przemnożeniu \(\displaystyle{ (*)}\) przez \(\displaystyle{ -1}\)):

\(\displaystyle{ \frac{1}{1!(p-1)!} + ... + \frac{1}{(\frac{p-1}{2})!(\frac{p+1}{2})!} \equiv 2^{-1}+4^{-1}+...+(p-1)^{-1} \pmod{p} \iff (1!(p-1)!)^{-1}+(2!(p-2)!)^{-1}+...+((\frac{p-1}{2})!(\frac{p+1}{2})!)^{-1} \equiv 2^{-1}+4^{-1}+...+(p-1)^{-1} \pmod{p}}\)

Co jest prawdą na mocy tego co udowodniliśmy na początku.

[mol_ksiazkowy]

ad 40 Zadanie ze \(\displaystyle{ 101}\) nierozwiązanych

Ukryta treść:    

można. W tej tożsamości kładąc \(\displaystyle{ a=3 \ b=4}\):
\(\displaystyle{ 7^3+ 84^3= 63^3+ 70^3}\)
i podzielić przez \(\displaystyle{ 7^3 =343}\)

[rochaj]

czy w 64 coś jeszcze wiadomo o x,y,z?

[mol_ksiazkowy]

czy w 64 coś jeszcze wiadomo o x,y,z?

to mają być liczby naturalne, zas n też i \(\displaystyle{ n \geq 3}\)

[rochaj]

czy w 64 coś jeszcze wiadomo o x,y,z?

to mają być liczby naturalne, zas n też i \(\displaystyle{ n \geq 3}\)

Bardziej chodziło mi o to czy mogą być sobie równe, \(\displaystyle{ x=y=5,z=6,n=3}\).