30.:
Pochodna funkcji \(\displaystyle{ f(t)=\sqrt[7]{t^{6}+9}}\) wynosi \(\displaystyle{ \frac{6}{7}t^{5}\left(t^{6}+9\right)^{-\frac{6}{7}}}\)
Znajdziemy maksimum jej wartości bezwzględnej; z uwagi na to, że łatwo widać, iż pochodna ta jest funkcją nieparzystą i jest dodatnia dla \(\displaystyle{ t>0}\), a w zerze przyjmuje wartość zero, wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ t>0}\).
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy
\(\displaystyle{ \overbrace{\frac{1}{35}t^{6}+\ldots+\frac{1}{35}t^{6}}^{35}+9\ge 36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}t^{6}\right)^{35}}}\)
i równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ t=\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{35}}\) (bo równość w AM-GM ma miejsce dla równych zmiennych).
Otrzymujemy zatem
\(\displaystyle{ \frac{6}{7}t^{5}\left(t^{6}+9\right)^{-\frac{6}{7}}\le \frac{6}{7}\left(36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}\right)^{35}} \right)^{-\frac{6}{7}}}\)
z równością dla \(\displaystyle{ t=\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{35}}\).
Ponadto z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji \(\displaystyle{ f(t)}\) otrzymujemy dla \(\displaystyle{ x,y\in \RR, \ x>y}\):
\(\displaystyle{ \sqrt[7]{x^{6}+9}-\sqrt[7]{y^{6}+9}=f(x)-f(y)=(x-y)f'(c_{x,y})}\)
gdzie \(\displaystyle{ c_{x,y}}\) jest punktem pośrednim między \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ y}\).
Stąd dostajemy
\(\displaystyle{ \left| \sqrt[7]{x^{6}+9}-\sqrt[7]{y^{6}+9}\right|=|x-y||f'(c_{x,y})|\le \frac{6}{7}\left(36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}\right)^{35}} \right)^{-\frac{6}{7}}|x-y|}\)
czyli wiemy, że \(\displaystyle{ M\le \frac{6}{7}\left(36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}\right)^{35}} \right)^{-\frac{6}{7}}}\)
Pozostaje sprawdzić, że stałe mniejsze niż \(\displaystyle{ \frac{6}{7}\left(36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}\right)^{35}} \right)^{-\frac{6}{7}}}\) nie działają, co łatwo udowodnić nie wprost. Pozostawiam tę część jako łatwe ćwiczenie (można rozważyć \(\displaystyle{ x,y}\) bliskie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{35}}\) i skorzystać z tego, że pochodna funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, co wydaje się dość jasne) i idę na obiad, co należało dowieść.
Znajdziemy maksimum jej wartości bezwzględnej; z uwagi na to, że łatwo widać, iż pochodna ta jest funkcją nieparzystą i jest dodatnia dla \(\displaystyle{ t>0}\), a w zerze przyjmuje wartość zero, wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ t>0}\).
Z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy
\(\displaystyle{ \overbrace{\frac{1}{35}t^{6}+\ldots+\frac{1}{35}t^{6}}^{35}+9\ge 36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}t^{6}\right)^{35}}}\)
i równość zachodzi, gdy \(\displaystyle{ t=\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{35}}\) (bo równość w AM-GM ma miejsce dla równych zmiennych).
Otrzymujemy zatem
\(\displaystyle{ \frac{6}{7}t^{5}\left(t^{6}+9\right)^{-\frac{6}{7}}\le \frac{6}{7}\left(36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}\right)^{35}} \right)^{-\frac{6}{7}}}\)
z równością dla \(\displaystyle{ t=\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{35}}\).
Ponadto z twierdzenia Lagrange'a o wartości średniej dla funkcji \(\displaystyle{ f(t)}\) otrzymujemy dla \(\displaystyle{ x,y\in \RR, \ x>y}\):
\(\displaystyle{ \sqrt[7]{x^{6}+9}-\sqrt[7]{y^{6}+9}=f(x)-f(y)=(x-y)f'(c_{x,y})}\)
gdzie \(\displaystyle{ c_{x,y}}\) jest punktem pośrednim między \(\displaystyle{ x}\) a \(\displaystyle{ y}\).
Stąd dostajemy
\(\displaystyle{ \left| \sqrt[7]{x^{6}+9}-\sqrt[7]{y^{6}+9}\right|=|x-y||f'(c_{x,y})|\le \frac{6}{7}\left(36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}\right)^{35}} \right)^{-\frac{6}{7}}|x-y|}\)
czyli wiemy, że \(\displaystyle{ M\le \frac{6}{7}\left(36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}\right)^{35}} \right)^{-\frac{6}{7}}}\)
Pozostaje sprawdzić, że stałe mniejsze niż \(\displaystyle{ \frac{6}{7}\left(36\sqrt[36]{9\cdot \left(\frac{1}{35}\right)^{35}} \right)^{-\frac{6}{7}}}\) nie działają, co łatwo udowodnić nie wprost. Pozostawiam tę część jako łatwe ćwiczenie (można rozważyć \(\displaystyle{ x,y}\) bliskie \(\displaystyle{ \sqrt[3]{3}\cdot \sqrt[6]{35}}\) i skorzystać z tego, że pochodna funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest ciągła, co wydaje się dość jasne) i idę na obiad, co należało dowieść.