[MIX] Mix matematyczny (31)

[mol_ksiazkowy]

1. Czy gdy \(\displaystyle{ a, b, c, d >0}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}} + \frac{1}{\frac{1}{c}+ \frac{1}{d}} \leq \frac{1}{\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+d}}}\) ?

2. N i e b a n a l na N i e r ó w n o ść Wykazać że \(\displaystyle{ 2 (max_{j} \ a_j) (\sum_{j=1}^n ja_j ) \geq (\sum_{j=1}^n a_j)^2}\) o ile \(\displaystyle{ a_j >0}\) dla \(\displaystyle{ j=1, …, n}\)

3. Rozwiązać układ (\(\displaystyle{ n}\) równań i \(\displaystyle{ n}\) niewiadomych), tj. wyznaczyć \(\displaystyle{ x_j}\), gdy \(\displaystyle{ n>3}\):
\(\displaystyle{ \begin {cases} x_1 + x_2 =x_3\\ x_2 + x_3 =x_4\\ ....... \\ x_{n-2} + x_{n-1} =x_n\\ x_{n-1} + x_{n} =x_1\\ x_{n} + x_{1} =x_2 \end{cases}}\)

4. Wyznaczyć wszystkie podzbiory \(\displaystyle{ S \subset N}\) mające skończoną ilość elementów i takie, że:
\(\displaystyle{ \frac{i+ j}{(i, j)} \in S}\)
gdzie \(\displaystyle{ (i, j)}\) oznacza największy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\); zaś \(\displaystyle{ N}\) jest zbiorem liczb całkowitych dodatnich

5. Niech \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) to będą liczby całkowite dodatnie takie, że \(\displaystyle{ k \leq n}\). Układ \(\displaystyle{ (a_1, …, a_k)}\) nazywa się wyjątkowym przy czym \(\displaystyle{ a_j >0}\); jeśli dla dowolnego rozkładu \(\displaystyle{ n = n_1 + … +n_k}\) choć jedna z liczb \(\displaystyle{ a_jn_j}\) jest całkowitą
a) dać przykład rozkładu, który jest wyjątkowym i innego rozkładu, który wyjątkowym nie jest
b) dla jakich \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) istnieją układy wyjątkowe ?

6. (mom, 27 ) Znaleźć wszystkie takie funkcje \(\displaystyle{ f}\) określone na zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych i o wartościach rzeczywistych nieujemnych, że:
(i) \(\displaystyle{ f(xf(y)) f(y)= f(x+y)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \geq 0}\)
(ii) \(\displaystyle{ f(2) =0}\)
(iii) \(\displaystyle{ f(x) \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq x <2}\)

7. W grze bierze udział dwóch graczy. Wykonują oni ruchy na zmianę. Na stosie zostało nałożonych na siebie \(\displaystyle{ 30}\) krążków. Gracz, na którego przypada ruch może zdjąć kilka krążków, co najmniej \(\displaystyle{ 1}\) ale nie więcej niż \(\displaystyle{ 6}\). Wygrywa ten, po którego ruch stos będzie pusty. Kto ma strategię wygrywającą i jaka ona jest ?

8. a) Udowodnić, iż każdą liczbę wymierną można przedstawić jako różnicę kwadratów dwóch liczb wymiernych; i to na nieskończenie wiele sposobów
b) Udowodnić też, iż istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych, nie będących sumami dwóch kwadratów (innych liczb całkowitych dodatnich), ale za to będących sumami kwadratów dwóch liczb wymiernych

9. Niech zdefiniowana będzie funkcja \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ f(n) = \begin {cases} f(2n-1)=2^n \ n<0 \\ f(2n)= n+ \frac{2n}{d(n)}\end{cases}}\)
Wyznaczyć takie \(\displaystyle{ k}\) iż \(\displaystyle{ f ( f (… f(1)…)) = 2013}\)
gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest iterowane \(\displaystyle{ k}\) razy
zaś \(\displaystyle{ d(n)}\) oznacza największy nieparzysty dzielnik \(\displaystyle{ n}\).

10. W kinie jest \(\displaystyle{ n}\) osób, i ogląda film „klasy B”. Wszyscy zajmują miejsca w tym samym rzędzie. W końcu każdy widz ucieka, ale w kolejności losowej. Widz który ma już dość, od razu opuszcza kino. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że któryś z widzów będzie zmuszony przeszkodzić innemu, aby dotrzeć do wyjścia ?

11. Zadanie kasowe (H. Steinhaus)
Jeżeli ktoś ma \(\displaystyle{ 5}\) zł \(\displaystyle{ 27}\) gr, to ma na pewno \(\displaystyle{ 2}\) grosze, ale nie na pewno ma \(\displaystyle{ 17}\) groszy. Rozumie się to tak: bez monety \(\displaystyle{ 2}\) groszowej lub dwóch monet groszowych nie można złożyć sumy \(\displaystyle{ 5}\) zł \(\displaystyle{ 27}\) gr, ale można tę sumę złożyć z \(\displaystyle{ 5}\) złotówki, \(\displaystyle{ 20}\) groszówki, \(\displaystyle{ 5}\) groszówki i \(\displaystyle{ 2}\) groszówki, a wtedy nie zawiera ona kwoty \(\displaystyle{ 17}\) groszy. Po tym wyjaśnieniu można nazywać pewne kwoty, że zawierają inne na pewno. Pytanie: która spośród kwot od \(\displaystyle{ 1}\) grosza do \(\displaystyle{ 999}\) groszy zawiera najwięcej różnych kwot na pewno ?

12. Na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ 2n+3}\) punktów, wśród których nie ma trzech współliniowych, oraz czterech współokręgowych. Wykazać, iż można narysować okrąg na którym są trzy spośród tych punktów, a z pozostałych \(\displaystyle{ n}\) jest wewnątrz zaś \(\displaystyle{ n}\) jest na zewnątrz tego okręgu.

13. Udowodnić (podając dwie różne metody!), że gdy \(\displaystyle{ x, y, u, v >0}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+ v} \geq \frac{xy}{x+y} + \frac{uv}{u+v}}\)
a) z nierówności Jensena
b) i bez niej

14. Obliczyć:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^1 \frac{1}{1+ x^3+ \sqrt{1+ x^6}} dx}\)

15. U s t a w i e n i a Zespół liter \(\displaystyle{ aabbcc}\) da się ustawić \(\displaystyle{ 90}\) różnymi sposobami. Z ustawienia \(\displaystyle{ aabcbc}\) można ustawić \(\displaystyle{ aacbcb}\) zamieniając ze sobą litery \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\); z ustawienia \(\displaystyle{ aacbcb}\) można z kolei mieć: wspak \(\displaystyle{ bcbcaa}\); z tego zaś można mieć \(\displaystyle{ acacbb}\), zamieniając \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\); itd. Wszystkie układy takie jak \(\displaystyle{ aabcbc}\), \(\displaystyle{ aacbcb}\), \(\displaystyle{ bcbcaa}\), \(\displaystyle{ acacbb}\), uważane są za różniące się nieistotnie. Ale już ustawienia takie jak np. \(\displaystyle{ aabcbc}\) i \(\displaystyle{ abcbca}\) różnią się istotnie, gdyż ani zamiana liter, ani zapis wspak ani wielokrotne użycie tych sposobów nie przekształcają jednego w drugie.
Ile jest istotnie różnych ustawień zespołu liter \(\displaystyle{ aabbcc}\) ?


16. Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\), odcinki \(\displaystyle{ AD}\) oraz \(\displaystyle{ BE}\) są prostopadłe do boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio (spodki wysokości). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ DE}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ |PE| = |DQ|}\)

17. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{x+y}=y^{12}\\y^{x+y}=x^{3}\end{cases}}\)

18. Dana jest szachownica \(\displaystyle{ 8 \times 8}\). W jednym ruchu można zmienić (przemalować) kolory pól w wybranym wierszu lub kolumnie: czarne na białe zaś białe na czarne. Czy po wykonaniu pewnej skończonej ilości ruchów można otrzymać szachownicę, w której tylko jedno pole jest czarne ?

19. Czy istnieje \(\displaystyle{ n>1}\) takie że wśród dowolnych \(\displaystyle{ n}\) trójkątów będących na danej płaszczyźnie istnieje taki, który można pokryć (w całości) pozostałymi \(\displaystyle{ n - 1}\) trójkątami ? Jeśli tak, to wyznaczyć takie - możliwie najmniejsze \(\displaystyle{ n}\)

20. a) W białe pola szachownicy \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) wpisać liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}\) a w czarne pola wpisać liczby parzyste: \(\displaystyle{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}\) tak, żeby powstał kwadrat magiczny.
b) Udowodnić, że liczb \(\displaystyle{ 1, … , 16}\) nie da się ustawić w kwadrat magiczny tak, żeby w górnej jego połowie były same liczby nieparzyste, zaś w dolnej same liczby parzyste.

21. „U o g ó l n i e n ie Tw i e r d z e n ia P i t a g o r a s a ” Udowodnić, że prostokąt zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równoważny sumie pól podobnych do niego prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych (przeciwprostokątna i obydwie przyprostokątne są bokami prostokątów odpowiadającymi sobie w podobieństwie).
Czy twierdzenie to jest uogólnieniem Twierdzenia Pitagorasa czy też jest równoważne temu twierdzeniu ?

22. Ile wynosi suma:
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{z+t} + \frac{y+z}{t+x}+ \frac{z+t}{x +y} + \frac{t+x}{y+z}}\)
o ile:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y+z+t}= \frac{y}{x+z+t}= \frac{z}{x+y+t}= \frac{t}{x+y+z}}\)

23. L ic z by t r ó j k ą t ne
a) Wykazać, że każda liczba nieparzysta większa od \(\displaystyle{ 3}\) jest co najmniej na dwa różne sposoby różnicą dwóch liczb trójkątnych
b) oraz że istnieje nieskończenie wiele liczb parzystych, będących różnicami dwóch liczb trójkątnych tylko na jeden sposób.

24. Rozstrzygnąć czy dla dowolnej pary \(\displaystyle{ (f, g)}\) funkcji \(\displaystyle{ R \mapsto R}\) różniczkowalnych istnieje funkcja różniczkowalna \(\displaystyle{ h: R \mapsto R}\) taka, że \(\displaystyle{ h^{\prime}(x)= f^{\prime}( x) g^{\prime}(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\) ?
Jeśli nie: wskazać przykład (\(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\)); jeśli zaś tak: to znaleźć \(\displaystyle{ h}\)

25. Jakie trójkąty prostokątne można narysować na płaszczyźnie z siatką kwadratową tak, że przeciwprostokątna leży na jednej z linii siatki, a wszystkie wierzchołki leżą w węzłach (tj. punktach kratowych) tej siatki ?

26. Znaleźć \(\displaystyle{ x, y, z}\) gdy:
\(\displaystyle{ \begin {cases} x - \sqrt{y}=1\\y - \sqrt{z}=1\\ z- \sqrt{x}=1\end{cases}}\)

27. Pewne łuki okręgu pomalowano na czarny kolor, przy czym suma długości tych łuków jest mniejsza od połowy obwodu tego okręgu. Udowodnić, że istnieje średnica tegoż okręgu o obu nie pomalowanych końcach.

28. Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) elementy zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, 2n \}}\) da się ułożyć w dwóch rzędach, tak by sumy „po wierszach” i „po kolumnach” były równe ? Jeśli nie, to wskazać takie \(\displaystyle{ n}\) dla którego jest to niemożliwe
np. gdy \(\displaystyle{ n=4}\) to można: \(\displaystyle{ 1, \ 4, \ 6, \ 7 \\ 8, \ 5, \ 3 , \ 2}\)

29. Udowodnić, że każda liczba całkowita dodatnia, która nie jest elementem zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest sumą dwóch (bądź więcej) parami różnych elementów tego zbioru.
\(\displaystyle{ X = \{ 3, -2, 2^2 \cdot 3, -2^3, …. 2^{2k} \cdot 3, -2^{2k+1},… \} = \{ 3, -2, 12, -8, 48, -32, 193, -128, ... \}}\)

30. Zadanie sadownicze (H. Steinhaus)
W \(\displaystyle{ m}\) sadach są różne drzewa. Jest w nich \(\displaystyle{ n}\) gatunków drzew. Jest też \(\displaystyle{ s_1}\) takich sadów, iż jest w nich tylko \(\displaystyle{ 1}\) gatunek drzew (niekoniecznie ten sam we wszystkich). Jest \(\displaystyle{ s_2}\) takich sadów, w których są po \(\displaystyle{ 2}\) różne gatunki drzew, itd. …, jest \(\displaystyle{ g_1}\) takich gatunków drzew, z których każdy jest tylko w \(\displaystyle{ 1}\) sadzie, jest \(\displaystyle{ g_2}\) takich gatunków, z których każdy jest w \(\displaystyle{ }\) (i tylko w \(\displaystyle{ 2}\) ) sadach, itd. … jest \(\displaystyle{ g_m}\) gatunków, które są w \(\displaystyle{ m}\) sadach (tj. we wszystkich). Jakie są związki między \(\displaystyle{ s_1, s_2, …, \ g_1, g_2, …., \ m , n}\) ?

[luka52]

14:    

Wystarczy scałkować część parzystą funkcji, która to jest śmiesznie prosta:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \dd x = 1}\)

[Mszak]

7.

Ukryta treść:    

Gracz pierwszy. Najpierw bierze \(\displaystyle{ 2}\) krążki. Następnie, jeśli drugi gracz weźmie \(\displaystyle{ k}\) krążków, to bierze takie \(\displaystyle{ w}\) krążków, aby \(\displaystyle{ k+w\equiv 0 \pmod{7}}\).

[Ponewor]

22.:    

\(\displaystyle{ x+y+z+t=S}\)
Z założenia:
\(\displaystyle{ \frac{x}{S-x}=\frac{y}{S-y}=\frac{z}{S-z}=\frac{t}{S-t}}\)
Co pociąga za sobą \(\displaystyle{ S=0}\) lub \(\displaystyle{ x=y=z=t}\) i \(\displaystyle{ S\neq 0}\), czyli \(\displaystyle{ x=y=z=t\neq 0}\)
W pierwszym przypadku nasza suma to:
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{S-\left(x+y\right)}+\frac{y+z}{S-\left(y+z\right)}+\frac{z+t}{S-\left(z+t\right)}+\frac{t+x}{S-\left(t+x\right)}=-4}\)
zaś w drugim tam suma to \(\displaystyle{ 4}\).

17.:    

Niech \(\displaystyle{ x+y=S}\)
\(\displaystyle{ x^{S}=y^{12} \quad \setminus \left( \ldots \right)^{\frac{S}{12}} \\ x^{\frac{S^{2}}{12}}=y^{S}=x^{3}}\)
Skąd \(\displaystyle{ x=0}\) lub \(\displaystyle{ x=1}\) lub \(\displaystyle{ x=-1}\) i \(\displaystyle{ y}\) jest całkowite lub \(\displaystyle{ S=6}\) lub \(\displaystyle{ S=-6}\)
Pierwsze dwa przypadki dają nam pary \(\displaystyle{ \left(0, \ 0\right), \ \left(1, \ 1\right), \ \left(1, \ -1\right)}\). Trzeci jest sprzeczny. Czwarty daje nam \(\displaystyle{ x=y^{2}}\) i w efekcie pary \(\displaystyle{ \left(9, \ -3\right), \ \left(4, \ 2 \right)}\). Piąty jest wredny. Daje nam, że \(\displaystyle{ x=y^{-2}}\). Do rozwiązania zostaje równanie \(\displaystyle{ y^{3}+6y^{2}+1=0}\). Wolfram wyrzuca jakieś nieładne rzeczy, ale zdaje się, że spełniające warunki zadania, więc nie widzę tu nic bez metody Cardano.

[Qń]

24:    

Dla \(\displaystyle{ f(x)=\frac 12 e^{x^2}}\) i \(\displaystyle{ g(x)= \frac 12 x^2}\) mamy \(\displaystyle{ f'(x)g'(x)= x^2e^{x^2}}\), a ta funkcja nie ma elementarnej funkcji pierwotnej (a nią właśnie musiałoby być \(\displaystyle{ h}\)).

Q.

[porfirion]

13 bez jensena.

Ukryta treść:    

Wymnożyć wszystko bezmyślnie i poskracać i dostajemy różnice kwadratów. Któryś tam ii etap OM,1 zadanie.

[Ponewor]

21.:    

Zachowajmy tradycyjne oznaczenia boków trójkąta. Niech drugie boki prostokątów zbudowanych na bokach trójkąta \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) zwą się odpowiednio \(\displaystyle{ d, \ e, \ f}\). Teza zadania brzmi:
\(\displaystyle{ ad+be=cf}\)
Ponadto z założenia mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a}{d}=\frac{b}{e}=\frac{c}{f}}\)
Łatwo wyliczyć, że:
\(\displaystyle{ d=\frac{af}{c}}\), oraz że \(\displaystyle{ e=\frac{bf}{c}}\)
Podstawiamy to tezy i mamy:
\(\displaystyle{ \frac{a^{2}f}{c}+\frac{b^{2}f}{c}=cf}\)
i widzimy, że jest to równoważne twierdzeniu Pitagorasa i że jest to uogólnienie tego twierdzenia.

[kapusta]

16.:    

Niech \(\displaystyle{ \angle BAC=\alpha}\),\(\displaystyle{ \angle ABC=\beta}\),\(\displaystyle{ \angle BCA=\gamma}\).
Łatwo zauważyć, że punkty \(\displaystyle{ A,B,D,E}\) są współokręgowe, stąd \(\displaystyle{ \angle BED=\angle BAD=90^\circ - \beta}\). Stąd \(\displaystyle{ \angle EBQ=\beta=\angle ABC}\), czyli \(\displaystyle{ \angle DBQ=\angle EBA}\). Wiemy jednak, że \(\displaystyle{ \angle DBQ=\angle EBA=90^\circ - \alpha}\). Stąd \(\displaystyle{ \angle DBQ=90^\circ - \alpha}\). Licząc kąty w sposób analogiczny dla trójkątów \(\displaystyle{ AEP}\) i \(\displaystyle{ ADP}\) otrzymujemy, że trójkąty \(\displaystyle{ AEP}\) i \(\displaystyle{ BQE}\) są podobne oraz trójkąty \(\displaystyle{ BQD}\) i \(\displaystyle{ ADP}\) są podobne. Stąd \(\displaystyle{ \frac{EQ}{QB} = \frac{AP}{PE}}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{QD}{QB} = \frac{AP}{PD}}\). Dzieląc stronami otrzymujemy : \(\displaystyle{ \frac{EQ}{QD} = \frac{PD}{PE} \iff \frac{ED}{QD} = \frac{ED}{PE}, c.k.d.}\)

26.:    

Założenie:\(\displaystyle{ 0\le x,y,z}\)
Załóżmy bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ x=\max\left\{ x,y,z\right\}}\).
Zauważmy, że \(\displaystyle{ x=1+\sqrt{y} \le 1+ \sqrt{x} = z \le x}\). Stąd \(\displaystyle{ x=z}\). Analogicznie dowodzimy, że \(\displaystyle{ x=y=z}\). Wystarczy zatem rozwiązać równanie \(\displaystyle{ x -\sqrt{x}-1 =0.}\)

[Ponewor]

1.:    

Skoro porfirion już zrobił zadanie 13. to teza zadania 1. jest równoważna 13.

[Qń]

4:    

Jak się domyślam warunek powinien brzmieć:
\(\displaystyle{ \forall_{i,j\in S} \frac{i+j}{(i,j)}\in S}\)

Oczywiste jest, że zbiór pusty spełnia ten warunek, poszukajmy zatem zbiorów niepustych. Jeśli \(\displaystyle{ n\in S}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{n+n}{(n,n)} =2 \in S}\)
zatem każdy taki niepusty zbiór zawiera dwójkę.

Gdyby zawierał jakąś liczbę nieparzystą \(\displaystyle{ k}\), to zawierałby także:
\(\displaystyle{ \frac{k+2}{(k,2)} = k+2}\)
a stąd łatwo widać, że zawierałby w takim razie wszystkie liczby nieparzyste nieprzekraczające \(\displaystyle{ k}\), czyli byłby nieskończony, wbrew założeniu. Tak więc zbiór \(\displaystyle{ S}\) musi składać się wyłącznie z liczb parzystych.

Jeśli \(\displaystyle{ 2n\in S}\), to także:
\(\displaystyle{ \frac{2n+2}{(2n,2)} = n+1\in S}\)
Jeśli \(\displaystyle{ 2n>2}\), to w ten sposób na pewno wygenerujemy liczbę nieparzystą, bo w przeciwnym razie otrzymalibyśmy nieskończony malejący ciąg liczb parzystych. Jeśli zaś \(\displaystyle{ S}\) zawiera liczbę nieparzystą, to jak już wiemy jest nieskończony.

Stąd wniosek, że aby zbiór był skończony, nie może zawierać też liczb parzystych większych od dwóch.

Ostatecznie więc mamy dwa rozwiązania: \(\displaystyle{ S=\emptyset}\) i \(\displaystyle{ S=\{ 2\}}\).

Q.

[Ponewor]

odnośnie 13.:    

Co by uzupełnić to co pisał porfirion:
to jest XLIV OM.

[kapusta]

13a:    

Teza jest równoważna z: \(\displaystyle{ L = \frac{y+v}{x+y+u+v} \ge (\frac{x}{x+u})(\frac{y}{x+y})+(\frac{u}{x+u})(\frac{v}{u+v}) = P}\).Zauważmy, że \(\displaystyle{ f(t)=\frac{t}{t+1}}\) na przedziale \(\displaystyle{ (0;+\infty)}\) jest wklęsła. Niech \(\displaystyle{ a=\frac{x}{x+u}}\) , \(\displaystyle{ b=\frac{u}{x+u}}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ a+b=1}\). Z nierówności Jensena:
\(\displaystyle{ P=af(\frac{y}{x})+bf(\frac{v}{u}) \le f(a\frac{y}{x}+b\frac{v}{u})=f(\frac{y+v}{x+u})=L}\),c.k.d.

[Zordon]

24:    

Dla \(\displaystyle{ f(x)=\frac 12 e^{x^2}}\) i \(\displaystyle{ g(x)= \frac 12 x^2}\) mamy \(\displaystyle{ f'(x)g'(x)= x^2e^{x^2}}\), a ta funkcja nie ma elementarnej funkcji pierwotnej (a nią właśnie musiałoby być \(\displaystyle{ h}\)).

Q.

co w tym kontekście oznacza "elementarna"?
W moim rozumieniu, elementarna \(\displaystyle{ \equiv}\) wyrażalna przez funkcje elementarne. Jeśli o to chodzi, to to jest raczej dalece nietrywialny fakt. Ale nawet jeśli to mamy, to co nam to daje ? Nie można wyrazić \(\displaystyle{ h}\) wzorem, ale to niekoniecznie odpowiada na pytanie w zadaniu.

I żeby nie było, że tylko spamuję :

27:    

Przetnijmy okrąg wzdłuż pewnej średnicy, uzyskamy dwa częściowo pokolorowane sznurki. Teraz przyklejmy je na odwrót uzyskując znowu okrąg. Naciągamy trzymając za miejsca sklejenia - powstaje dwużyłowy sznurek . Wtedy z założenia istnieje punkt który na obu sznurkach jest niepomalowany - i on odpowiada pewnej średnicy okręgu sprzed chirurgii.

[yorgin]

8:

Ukryta treść:    

a) \(\displaystyle{ \frac{k}{l}=\left( \frac{\frac{k}{2n}+\frac{nl}{2}}{l}\right)^2-\left( \frac{\frac{k}{2n}-\frac{nl}{2}}{l}\right)^2}\)

b) Suma kwadratów dwóch dowolnych liczb całkowitych daje resztę 0, 1 lub 2 modulo 4.

[Ponewor]

18.:    

Takie kolorowanie nie zmienia parzystości liczby czarnych pól, więc to niemożliwe.

23a:    

\(\displaystyle{ n=2k+1=t_{n}-t_{n-1}=t_{k+1}-t_{k-1}}\)