[MIX] Mix matematyczny (31)
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[MIX] Mix matematyczny (31)
1. Czy gdy \(\displaystyle{ a, b, c, d >0}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}} + \frac{1}{\frac{1}{c}+ \frac{1}{d}} \leq \frac{1}{\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+d}}}\) ?
2. N i e b a n a l na N i e r ó w n o ść Wykazać że \(\displaystyle{ 2 (max_{j} \ a_j) (\sum_{j=1}^n ja_j ) \geq (\sum_{j=1}^n a_j)^2}\) o ile \(\displaystyle{ a_j >0}\) dla \(\displaystyle{ j=1, …, n}\)
3. Rozwiązać układ (\(\displaystyle{ n}\) równań i \(\displaystyle{ n}\) niewiadomych), tj. wyznaczyć \(\displaystyle{ x_j}\), gdy \(\displaystyle{ n>3}\):
\(\displaystyle{ \begin {cases} x_1 + x_2 =x_3\\ x_2 + x_3 =x_4\\ ....... \\ x_{n-2} + x_{n-1} =x_n\\ x_{n-1} + x_{n} =x_1\\ x_{n} + x_{1} =x_2 \end{cases}}\)
4. Wyznaczyć wszystkie podzbiory \(\displaystyle{ S \subset N}\) mające skończoną ilość elementów i takie, że:
\(\displaystyle{ \frac{i+ j}{(i, j)} \in S}\)
gdzie \(\displaystyle{ (i, j)}\) oznacza największy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\); zaś \(\displaystyle{ N}\) jest zbiorem liczb całkowitych dodatnich
5. Niech \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) to będą liczby całkowite dodatnie takie, że \(\displaystyle{ k \leq n}\). Układ \(\displaystyle{ (a_1, …, a_k)}\) nazywa się wyjątkowym przy czym \(\displaystyle{ a_j >0}\); jeśli dla dowolnego rozkładu \(\displaystyle{ n = n_1 + … +n_k}\) choć jedna z liczb \(\displaystyle{ a_jn_j}\) jest całkowitą
a) dać przykład rozkładu, który jest wyjątkowym i innego rozkładu, który wyjątkowym nie jest
b) dla jakich \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) istnieją układy wyjątkowe ?
6. (mom, 27 ) Znaleźć wszystkie takie funkcje \(\displaystyle{ f}\) określone na zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych i o wartościach rzeczywistych nieujemnych, że:
(i) \(\displaystyle{ f(xf(y)) f(y)= f(x+y)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \geq 0}\)
(ii) \(\displaystyle{ f(2) =0}\)
(iii) \(\displaystyle{ f(x) \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq x <2}\)
7. W grze bierze udział dwóch graczy. Wykonują oni ruchy na zmianę. Na stosie zostało nałożonych na siebie \(\displaystyle{ 30}\) krążków. Gracz, na którego przypada ruch może zdjąć kilka krążków, co najmniej \(\displaystyle{ 1}\) ale nie więcej niż \(\displaystyle{ 6}\). Wygrywa ten, po którego ruch stos będzie pusty. Kto ma strategię wygrywającą i jaka ona jest ?
8. a) Udowodnić, iż każdą liczbę wymierną można przedstawić jako różnicę kwadratów dwóch liczb wymiernych; i to na nieskończenie wiele sposobów
b) Udowodnić też, iż istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych, nie będących sumami dwóch kwadratów (innych liczb całkowitych dodatnich), ale za to będących sumami kwadratów dwóch liczb wymiernych
9. Niech zdefiniowana będzie funkcja \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ f(n) = \begin {cases} f(2n-1)=2^n \ n<0 \\ f(2n)= n+ \frac{2n}{d(n)}\end{cases}}\)
Wyznaczyć takie \(\displaystyle{ k}\) iż \(\displaystyle{ f ( f (… f(1)…)) = 2013}\)
gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest iterowane \(\displaystyle{ k}\) razy
zaś \(\displaystyle{ d(n)}\) oznacza największy nieparzysty dzielnik \(\displaystyle{ n}\).
10. W kinie jest \(\displaystyle{ n}\) osób, i ogląda film „klasy B”. Wszyscy zajmują miejsca w tym samym rzędzie. W końcu każdy widz ucieka, ale w kolejności losowej. Widz który ma już dość, od razu opuszcza kino. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że któryś z widzów będzie zmuszony przeszkodzić innemu, aby dotrzeć do wyjścia ?
11. Zadanie kasowe (H. Steinhaus)
Jeżeli ktoś ma \(\displaystyle{ 5}\) zł \(\displaystyle{ 27}\) gr, to ma na pewno \(\displaystyle{ 2}\) grosze, ale nie na pewno ma \(\displaystyle{ 17}\) groszy. Rozumie się to tak: bez monety \(\displaystyle{ 2}\) groszowej lub dwóch monet groszowych nie można złożyć sumy \(\displaystyle{ 5}\) zł \(\displaystyle{ 27}\) gr, ale można tę sumę złożyć z \(\displaystyle{ 5}\) złotówki, \(\displaystyle{ 20}\) groszówki, \(\displaystyle{ 5}\) groszówki i \(\displaystyle{ 2}\) groszówki, a wtedy nie zawiera ona kwoty \(\displaystyle{ 17}\) groszy. Po tym wyjaśnieniu można nazywać pewne kwoty, że zawierają inne na pewno. Pytanie: która spośród kwot od \(\displaystyle{ 1}\) grosza do \(\displaystyle{ 999}\) groszy zawiera najwięcej różnych kwot na pewno ?
12. Na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ 2n+3}\) punktów, wśród których nie ma trzech współliniowych, oraz czterech współokręgowych. Wykazać, iż można narysować okrąg na którym są trzy spośród tych punktów, a z pozostałych \(\displaystyle{ n}\) jest wewnątrz zaś \(\displaystyle{ n}\) jest na zewnątrz tego okręgu.
13. Udowodnić (podając dwie różne metody!), że gdy \(\displaystyle{ x, y, u, v >0}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+ v} \geq \frac{xy}{x+y} + \frac{uv}{u+v}}\)
a) z nierówności Jensena
b) i bez niej
14. Obliczyć:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^1 \frac{1}{1+ x^3+ \sqrt{1+ x^6}} dx}\)
15. U s t a w i e n i a Zespół liter \(\displaystyle{ aabbcc}\) da się ustawić \(\displaystyle{ 90}\) różnymi sposobami. Z ustawienia \(\displaystyle{ aabcbc}\) można ustawić \(\displaystyle{ aacbcb}\) zamieniając ze sobą litery \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\); z ustawienia \(\displaystyle{ aacbcb}\) można z kolei mieć: wspak \(\displaystyle{ bcbcaa}\); z tego zaś można mieć \(\displaystyle{ acacbb}\), zamieniając \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\); itd. Wszystkie układy takie jak \(\displaystyle{ aabcbc}\), \(\displaystyle{ aacbcb}\), \(\displaystyle{ bcbcaa}\), \(\displaystyle{ acacbb}\), uważane są za różniące się nieistotnie. Ale już ustawienia takie jak np. \(\displaystyle{ aabcbc}\) i \(\displaystyle{ abcbca}\) różnią się istotnie, gdyż ani zamiana liter, ani zapis wspak ani wielokrotne użycie tych sposobów nie przekształcają jednego w drugie.
Ile jest istotnie różnych ustawień zespołu liter \(\displaystyle{ aabbcc}\) ?
16. Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\), odcinki \(\displaystyle{ AD}\) oraz \(\displaystyle{ BE}\) są prostopadłe do boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio (spodki wysokości). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ DE}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ |PE| = |DQ|}\)
17. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{x+y}=y^{12}\\y^{x+y}=x^{3}\end{cases}}\)
18. Dana jest szachownica \(\displaystyle{ 8 \times 8}\). W jednym ruchu można zmienić (przemalować) kolory pól w wybranym wierszu lub kolumnie: czarne na białe zaś białe na czarne. Czy po wykonaniu pewnej skończonej ilości ruchów można otrzymać szachownicę, w której tylko jedno pole jest czarne ?
19. Czy istnieje \(\displaystyle{ n>1}\) takie że wśród dowolnych \(\displaystyle{ n}\) trójkątów będących na danej płaszczyźnie istnieje taki, który można pokryć (w całości) pozostałymi \(\displaystyle{ n - 1}\) trójkątami ? Jeśli tak, to wyznaczyć takie - możliwie najmniejsze \(\displaystyle{ n}\)
20. a) W białe pola szachownicy \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) wpisać liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}\) a w czarne pola wpisać liczby parzyste: \(\displaystyle{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}\) tak, żeby powstał kwadrat magiczny.
b) Udowodnić, że liczb \(\displaystyle{ 1, … , 16}\) nie da się ustawić w kwadrat magiczny tak, żeby w górnej jego połowie były same liczby nieparzyste, zaś w dolnej same liczby parzyste.
21. „U o g ó l n i e n ie Tw i e r d z e n ia P i t a g o r a s a ” Udowodnić, że prostokąt zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równoważny sumie pól podobnych do niego prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych (przeciwprostokątna i obydwie przyprostokątne są bokami prostokątów odpowiadającymi sobie w podobieństwie).
Czy twierdzenie to jest uogólnieniem Twierdzenia Pitagorasa czy też jest równoważne temu twierdzeniu ?
22. Ile wynosi suma:
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{z+t} + \frac{y+z}{t+x}+ \frac{z+t}{x +y} + \frac{t+x}{y+z}}\)
o ile:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y+z+t}= \frac{y}{x+z+t}= \frac{z}{x+y+t}= \frac{t}{x+y+z}}\)
23. L ic z by t r ó j k ą t ne
a) Wykazać, że każda liczba nieparzysta większa od \(\displaystyle{ 3}\) jest co najmniej na dwa różne sposoby różnicą dwóch liczb trójkątnych
b) oraz że istnieje nieskończenie wiele liczb parzystych, będących różnicami dwóch liczb trójkątnych tylko na jeden sposób.
24. Rozstrzygnąć czy dla dowolnej pary \(\displaystyle{ (f, g)}\) funkcji \(\displaystyle{ R \mapsto R}\) różniczkowalnych istnieje funkcja różniczkowalna \(\displaystyle{ h: R \mapsto R}\) taka, że \(\displaystyle{ h^{\prime}(x)= f^{\prime}( x) g^{\prime}(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\) ?
Jeśli nie: wskazać przykład (\(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\)); jeśli zaś tak: to znaleźć \(\displaystyle{ h}\)
25. Jakie trójkąty prostokątne można narysować na płaszczyźnie z siatką kwadratową tak, że przeciwprostokątna leży na jednej z linii siatki, a wszystkie wierzchołki leżą w węzłach (tj. punktach kratowych) tej siatki ?
26. Znaleźć \(\displaystyle{ x, y, z}\) gdy:
\(\displaystyle{ \begin {cases} x - \sqrt{y}=1\\y - \sqrt{z}=1\\ z- \sqrt{x}=1\end{cases}}\)
27. Pewne łuki okręgu pomalowano na czarny kolor, przy czym suma długości tych łuków jest mniejsza od połowy obwodu tego okręgu. Udowodnić, że istnieje średnica tegoż okręgu o obu nie pomalowanych końcach.
28. Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) elementy zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, 2n \}}\) da się ułożyć w dwóch rzędach, tak by sumy „po wierszach” i „po kolumnach” były równe ? Jeśli nie, to wskazać takie \(\displaystyle{ n}\) dla którego jest to niemożliwe
np. gdy \(\displaystyle{ n=4}\) to można: \(\displaystyle{ 1, \ 4, \ 6, \ 7 \\ 8, \ 5, \ 3 , \ 2}\)
29. Udowodnić, że każda liczba całkowita dodatnia, która nie jest elementem zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest sumą dwóch (bądź więcej) parami różnych elementów tego zbioru.
\(\displaystyle{ X = \{ 3, -2, 2^2 \cdot 3, -2^3, …. 2^{2k} \cdot 3, -2^{2k+1},… \} = \{ 3, -2, 12, -8, 48, -32, 193, -128, ... \}}\)
30. Zadanie sadownicze (H. Steinhaus)
W \(\displaystyle{ m}\) sadach są różne drzewa. Jest w nich \(\displaystyle{ n}\) gatunków drzew. Jest też \(\displaystyle{ s_1}\) takich sadów, iż jest w nich tylko \(\displaystyle{ 1}\) gatunek drzew (niekoniecznie ten sam we wszystkich). Jest \(\displaystyle{ s_2}\) takich sadów, w których są po \(\displaystyle{ 2}\) różne gatunki drzew, itd. …, jest \(\displaystyle{ g_1}\) takich gatunków drzew, z których każdy jest tylko w \(\displaystyle{ 1}\) sadzie, jest \(\displaystyle{ g_2}\) takich gatunków, z których każdy jest w \(\displaystyle{ }\) (i tylko w \(\displaystyle{ 2}\) ) sadach, itd. … jest \(\displaystyle{ g_m}\) gatunków, które są w \(\displaystyle{ m}\) sadach (tj. we wszystkich). Jakie są związki między \(\displaystyle{ s_1, s_2, …, \ g_1, g_2, …., \ m , n}\) ?
\(\displaystyle{ \frac{1}{\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}} + \frac{1}{\frac{1}{c}+ \frac{1}{d}} \leq \frac{1}{\frac{1}{a+c}+ \frac{1}{b+d}}}\) ?
2. N i e b a n a l na N i e r ó w n o ść Wykazać że \(\displaystyle{ 2 (max_{j} \ a_j) (\sum_{j=1}^n ja_j ) \geq (\sum_{j=1}^n a_j)^2}\) o ile \(\displaystyle{ a_j >0}\) dla \(\displaystyle{ j=1, …, n}\)
3. Rozwiązać układ (\(\displaystyle{ n}\) równań i \(\displaystyle{ n}\) niewiadomych), tj. wyznaczyć \(\displaystyle{ x_j}\), gdy \(\displaystyle{ n>3}\):
\(\displaystyle{ \begin {cases} x_1 + x_2 =x_3\\ x_2 + x_3 =x_4\\ ....... \\ x_{n-2} + x_{n-1} =x_n\\ x_{n-1} + x_{n} =x_1\\ x_{n} + x_{1} =x_2 \end{cases}}\)
4. Wyznaczyć wszystkie podzbiory \(\displaystyle{ S \subset N}\) mające skończoną ilość elementów i takie, że:
\(\displaystyle{ \frac{i+ j}{(i, j)} \in S}\)
gdzie \(\displaystyle{ (i, j)}\) oznacza największy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ j}\); zaś \(\displaystyle{ N}\) jest zbiorem liczb całkowitych dodatnich
5. Niech \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) to będą liczby całkowite dodatnie takie, że \(\displaystyle{ k \leq n}\). Układ \(\displaystyle{ (a_1, …, a_k)}\) nazywa się wyjątkowym przy czym \(\displaystyle{ a_j >0}\); jeśli dla dowolnego rozkładu \(\displaystyle{ n = n_1 + … +n_k}\) choć jedna z liczb \(\displaystyle{ a_jn_j}\) jest całkowitą
a) dać przykład rozkładu, który jest wyjątkowym i innego rozkładu, który wyjątkowym nie jest
b) dla jakich \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\) istnieją układy wyjątkowe ?
6. (mom, 27 ) Znaleźć wszystkie takie funkcje \(\displaystyle{ f}\) określone na zbiorze nieujemnych liczb rzeczywistych i o wartościach rzeczywistych nieujemnych, że:
(i) \(\displaystyle{ f(xf(y)) f(y)= f(x+y)}\) dla \(\displaystyle{ x, y \geq 0}\)
(ii) \(\displaystyle{ f(2) =0}\)
(iii) \(\displaystyle{ f(x) \neq 0}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq x <2}\)
7. W grze bierze udział dwóch graczy. Wykonują oni ruchy na zmianę. Na stosie zostało nałożonych na siebie \(\displaystyle{ 30}\) krążków. Gracz, na którego przypada ruch może zdjąć kilka krążków, co najmniej \(\displaystyle{ 1}\) ale nie więcej niż \(\displaystyle{ 6}\). Wygrywa ten, po którego ruch stos będzie pusty. Kto ma strategię wygrywającą i jaka ona jest ?
8. a) Udowodnić, iż każdą liczbę wymierną można przedstawić jako różnicę kwadratów dwóch liczb wymiernych; i to na nieskończenie wiele sposobów
b) Udowodnić też, iż istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych, nie będących sumami dwóch kwadratów (innych liczb całkowitych dodatnich), ale za to będących sumami kwadratów dwóch liczb wymiernych
9. Niech zdefiniowana będzie funkcja \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ f(n) = \begin {cases} f(2n-1)=2^n \ n<0 \\ f(2n)= n+ \frac{2n}{d(n)}\end{cases}}\)
Wyznaczyć takie \(\displaystyle{ k}\) iż \(\displaystyle{ f ( f (… f(1)…)) = 2013}\)
gdzie \(\displaystyle{ f}\) jest iterowane \(\displaystyle{ k}\) razy
zaś \(\displaystyle{ d(n)}\) oznacza największy nieparzysty dzielnik \(\displaystyle{ n}\).
10. W kinie jest \(\displaystyle{ n}\) osób, i ogląda film „klasy B”. Wszyscy zajmują miejsca w tym samym rzędzie. W końcu każdy widz ucieka, ale w kolejności losowej. Widz który ma już dość, od razu opuszcza kino. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że któryś z widzów będzie zmuszony przeszkodzić innemu, aby dotrzeć do wyjścia ?
11. Zadanie kasowe (H. Steinhaus)
Jeżeli ktoś ma \(\displaystyle{ 5}\) zł \(\displaystyle{ 27}\) gr, to ma na pewno \(\displaystyle{ 2}\) grosze, ale nie na pewno ma \(\displaystyle{ 17}\) groszy. Rozumie się to tak: bez monety \(\displaystyle{ 2}\) groszowej lub dwóch monet groszowych nie można złożyć sumy \(\displaystyle{ 5}\) zł \(\displaystyle{ 27}\) gr, ale można tę sumę złożyć z \(\displaystyle{ 5}\) złotówki, \(\displaystyle{ 20}\) groszówki, \(\displaystyle{ 5}\) groszówki i \(\displaystyle{ 2}\) groszówki, a wtedy nie zawiera ona kwoty \(\displaystyle{ 17}\) groszy. Po tym wyjaśnieniu można nazywać pewne kwoty, że zawierają inne na pewno. Pytanie: która spośród kwot od \(\displaystyle{ 1}\) grosza do \(\displaystyle{ 999}\) groszy zawiera najwięcej różnych kwot na pewno ?
12. Na płaszczyźnie danych jest \(\displaystyle{ 2n+3}\) punktów, wśród których nie ma trzech współliniowych, oraz czterech współokręgowych. Wykazać, iż można narysować okrąg na którym są trzy spośród tych punktów, a z pozostałych \(\displaystyle{ n}\) jest wewnątrz zaś \(\displaystyle{ n}\) jest na zewnątrz tego okręgu.
13. Udowodnić (podając dwie różne metody!), że gdy \(\displaystyle{ x, y, u, v >0}\), to:
\(\displaystyle{ \frac{xy+xv+uy+uv}{x+y+u+ v} \geq \frac{xy}{x+y} + \frac{uv}{u+v}}\)
a) z nierówności Jensena
b) i bez niej
14. Obliczyć:
\(\displaystyle{ \int_{-1}^1 \frac{1}{1+ x^3+ \sqrt{1+ x^6}} dx}\)
15. U s t a w i e n i a Zespół liter \(\displaystyle{ aabbcc}\) da się ustawić \(\displaystyle{ 90}\) różnymi sposobami. Z ustawienia \(\displaystyle{ aabcbc}\) można ustawić \(\displaystyle{ aacbcb}\) zamieniając ze sobą litery \(\displaystyle{ b}\) i \(\displaystyle{ c}\); z ustawienia \(\displaystyle{ aacbcb}\) można z kolei mieć: wspak \(\displaystyle{ bcbcaa}\); z tego zaś można mieć \(\displaystyle{ acacbb}\), zamieniając \(\displaystyle{ a}\) z \(\displaystyle{ c}\); itd. Wszystkie układy takie jak \(\displaystyle{ aabcbc}\), \(\displaystyle{ aacbcb}\), \(\displaystyle{ bcbcaa}\), \(\displaystyle{ acacbb}\), uważane są za różniące się nieistotnie. Ale już ustawienia takie jak np. \(\displaystyle{ aabcbc}\) i \(\displaystyle{ abcbca}\) różnią się istotnie, gdyż ani zamiana liter, ani zapis wspak ani wielokrotne użycie tych sposobów nie przekształcają jednego w drugie.
Ile jest istotnie różnych ustawień zespołu liter \(\displaystyle{ aabbcc}\) ?
16. Dany jest trójkąt ostrokątny \(\displaystyle{ ABC}\), odcinki \(\displaystyle{ AD}\) oraz \(\displaystyle{ BE}\) są prostopadłe do boków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio (spodki wysokości). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) na prostą \(\displaystyle{ DE}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ |PE| = |DQ|}\)
17. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin {cases} x^{x+y}=y^{12}\\y^{x+y}=x^{3}\end{cases}}\)
18. Dana jest szachownica \(\displaystyle{ 8 \times 8}\). W jednym ruchu można zmienić (przemalować) kolory pól w wybranym wierszu lub kolumnie: czarne na białe zaś białe na czarne. Czy po wykonaniu pewnej skończonej ilości ruchów można otrzymać szachownicę, w której tylko jedno pole jest czarne ?
19. Czy istnieje \(\displaystyle{ n>1}\) takie że wśród dowolnych \(\displaystyle{ n}\) trójkątów będących na danej płaszczyźnie istnieje taki, który można pokryć (w całości) pozostałymi \(\displaystyle{ n - 1}\) trójkątami ? Jeśli tak, to wyznaczyć takie - możliwie najmniejsze \(\displaystyle{ n}\)
20. a) W białe pola szachownicy \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) wpisać liczby nieparzyste: \(\displaystyle{ 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}\) a w czarne pola wpisać liczby parzyste: \(\displaystyle{ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}\) tak, żeby powstał kwadrat magiczny.
b) Udowodnić, że liczb \(\displaystyle{ 1, … , 16}\) nie da się ustawić w kwadrat magiczny tak, żeby w górnej jego połowie były same liczby nieparzyste, zaś w dolnej same liczby parzyste.
21. „U o g ó l n i e n ie Tw i e r d z e n ia P i t a g o r a s a ” Udowodnić, że prostokąt zbudowany na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równoważny sumie pól podobnych do niego prostokątów zbudowanych na przyprostokątnych (przeciwprostokątna i obydwie przyprostokątne są bokami prostokątów odpowiadającymi sobie w podobieństwie).
Czy twierdzenie to jest uogólnieniem Twierdzenia Pitagorasa czy też jest równoważne temu twierdzeniu ?
22. Ile wynosi suma:
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{z+t} + \frac{y+z}{t+x}+ \frac{z+t}{x +y} + \frac{t+x}{y+z}}\)
o ile:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y+z+t}= \frac{y}{x+z+t}= \frac{z}{x+y+t}= \frac{t}{x+y+z}}\)
23. L ic z by t r ó j k ą t ne
a) Wykazać, że każda liczba nieparzysta większa od \(\displaystyle{ 3}\) jest co najmniej na dwa różne sposoby różnicą dwóch liczb trójkątnych
b) oraz że istnieje nieskończenie wiele liczb parzystych, będących różnicami dwóch liczb trójkątnych tylko na jeden sposób.
24. Rozstrzygnąć czy dla dowolnej pary \(\displaystyle{ (f, g)}\) funkcji \(\displaystyle{ R \mapsto R}\) różniczkowalnych istnieje funkcja różniczkowalna \(\displaystyle{ h: R \mapsto R}\) taka, że \(\displaystyle{ h^{\prime}(x)= f^{\prime}( x) g^{\prime}(x)}\) dla \(\displaystyle{ x \in R}\) ?
Jeśli nie: wskazać przykład (\(\displaystyle{ f}\) i \(\displaystyle{ g}\)); jeśli zaś tak: to znaleźć \(\displaystyle{ h}\)
25. Jakie trójkąty prostokątne można narysować na płaszczyźnie z siatką kwadratową tak, że przeciwprostokątna leży na jednej z linii siatki, a wszystkie wierzchołki leżą w węzłach (tj. punktach kratowych) tej siatki ?
26. Znaleźć \(\displaystyle{ x, y, z}\) gdy:
\(\displaystyle{ \begin {cases} x - \sqrt{y}=1\\y - \sqrt{z}=1\\ z- \sqrt{x}=1\end{cases}}\)
27. Pewne łuki okręgu pomalowano na czarny kolor, przy czym suma długości tych łuków jest mniejsza od połowy obwodu tego okręgu. Udowodnić, że istnieje średnica tegoż okręgu o obu nie pomalowanych końcach.
28. Czy dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) elementy zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, …, 2n \}}\) da się ułożyć w dwóch rzędach, tak by sumy „po wierszach” i „po kolumnach” były równe ? Jeśli nie, to wskazać takie \(\displaystyle{ n}\) dla którego jest to niemożliwe
np. gdy \(\displaystyle{ n=4}\) to można: \(\displaystyle{ 1, \ 4, \ 6, \ 7 \\ 8, \ 5, \ 3 , \ 2}\)
29. Udowodnić, że każda liczba całkowita dodatnia, która nie jest elementem zbioru \(\displaystyle{ X}\) jest sumą dwóch (bądź więcej) parami różnych elementów tego zbioru.
\(\displaystyle{ X = \{ 3, -2, 2^2 \cdot 3, -2^3, …. 2^{2k} \cdot 3, -2^{2k+1},… \} = \{ 3, -2, 12, -8, 48, -32, 193, -128, ... \}}\)
30. Zadanie sadownicze (H. Steinhaus)
W \(\displaystyle{ m}\) sadach są różne drzewa. Jest w nich \(\displaystyle{ n}\) gatunków drzew. Jest też \(\displaystyle{ s_1}\) takich sadów, iż jest w nich tylko \(\displaystyle{ 1}\) gatunek drzew (niekoniecznie ten sam we wszystkich). Jest \(\displaystyle{ s_2}\) takich sadów, w których są po \(\displaystyle{ 2}\) różne gatunki drzew, itd. …, jest \(\displaystyle{ g_1}\) takich gatunków drzew, z których każdy jest tylko w \(\displaystyle{ 1}\) sadzie, jest \(\displaystyle{ g_2}\) takich gatunków, z których każdy jest w \(\displaystyle{ }\) (i tylko w \(\displaystyle{ 2}\) ) sadach, itd. … jest \(\displaystyle{ g_m}\) gatunków, które są w \(\displaystyle{ m}\) sadach (tj. we wszystkich). Jakie są związki między \(\displaystyle{ s_1, s_2, …, \ g_1, g_2, …., \ m , n}\) ?
Ostatnio zmieniony 16 lut 2013, o 19:50 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 3 razy.
- Zordon
- Użytkownik
- Posty: 4977
- Rejestracja: 12 lut 2008, o 21:42
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 910 razy
[MIX] Mix matematyczny (31)
co w tym kontekście oznacza "elementarna"?Qń pisze:Q.24:
W moim rozumieniu, elementarna \(\displaystyle{ \equiv}\) wyrażalna przez funkcje elementarne. Jeśli o to chodzi, to to jest raczej dalece nietrywialny fakt. Ale nawet jeśli to mamy, to co nam to daje ? Nie można wyrazić \(\displaystyle{ h}\) wzorem, ale to niekoniecznie odpowiada na pytanie w zadaniu.
I żeby nie było, że tylko spamuję :
27: