[MIX] Mix matematyczny (31)

[mol_ksiazkowy]

Nierozwiązane zadania: 2, 5, 9, 10, 11, 12, 15, 19, 22, 27, 29, 30. (tj. 12 zadań)

[kerajs]

10:    

Możliwych wyjść jest n! , a sytuacji gdy wychodzą kolejne osoby skrajne \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\). Stąd:
\(\displaystyle{ P=1- \frac{2^{n-1}}{n!} }\)

27:    

Okrąg przecinam dowolną średnicą. Czarne łuki z jednego półokręgu pozostawiam, a z drugiego obijam symetrycznie względem środka okręgu. Z każdego punktu pierwszego okręgu które nie jest czarny (a takie punkty muszą istnieć skoro suma długości tych łuków jest mniejsza od połowy obwodu) można przeprowadzić średnicę której drugi koniec także nie będzie pomalowany.

Dodano po 1 godzinie 11 minutach 19 sekundach:

15:    

Istotnie różne ustawienia (w nawiasie liczba ustawień nieistotnych otrzymywanych z danego) :
\(\displaystyle{ aabbcc (5), \ aabcbc (11), \ aabccb (11), \ abacbc (5), \ abaccb (11), \ abcabc (5), \ abcacb (11), \ abccab (5), \ abbcca (5), \ abcbca (5), \ abccba (5)}\)

[Premislav]

1.:    

Przemielić i wyjdzie. Równoważnie:
\(\displaystyle{ \frac{ab}{a+b}+\frac{cd}{c+d}\le \frac{(a+c)(b+d)}{a+c+b+d}\\ab(c+d)(a+b+c+d)+cd(a+b)(a+b+c+d)\le (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)\\0\le a^{2}d^{2}-2abcd+b^{2}c^{2}\\0\le (ad-bc)^{2}}\)
co jest oczywiste.

Dodano po 20 minutach 22 sekundach:

22.:    

Z równości \(\displaystyle{ \frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{x+z+t}}\) mamy po wymnożeniu:
\(\displaystyle{ x^{2}+x(z+t)=y^{2}+y(z+t)\\(x-y)(x+y+z+t)=0}\)
i podobnie dla pozostałych zmiennych, więc zachodzi co najmniej jedna z możliwości \(\displaystyle{ x=y=z=t}\) bądź \(\displaystyle{ x+y+z+t=0}\)
a tak naprawdę dokładnie jedna, bo inaczej wyszłyby zerowe mianowniki.
W pierwszym przypadku otrzymujemy
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}=4}\)
a w drugim
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}=-4}\)

Dodano po 7 godzinach 18 minutach 13 sekundach:
Znowu błąd w spisie (NB jest to nagminne), Ponewor już zrobił zadanie dwudzieste drugie. Trochę mi smutno.

2.:    

Nie popełniam jakiegoś idiotycznego błędu
Odnotujmy, że jeśli \(\displaystyle{ 0<a_{k}<a_{j}, \ k, j\in \NN^{+}, \ k<j}\), to
\(\displaystyle{ ja_{j}+ka_{k}>ja_{k}+ka_{j}\Leftrightarrow (j-k)(a_{j}-a_{k})>0}\)
co jest oczywiste. Przeto wystarczy rozważyć przypadek \(\displaystyle{ a_{1}\ge a_{2}\ge \ldots a_{n}}\)
Wtenczas nierówność przyjmuje formę:
\(\displaystyle{ 2a_{1}\sum_{j=1}^{n}ja_{j}\ge \left(\sum_{j=1}^{n}a_{j}\right)^{2}}\)

Udowodnimy indukcyjnie że gdy
\(\displaystyle{ a_{1}\ge a_{2}\ldots \ge a_{n}>0}\), to
\(\displaystyle{ 2a_{1}\sum_{j=1}^{n}ja_{j}\ge \left(\sum_{j=1}^{n}a_{j}\right)^{2}}\)
Dla \(\displaystyle{ n=2}\) nasza nierówność ma formę:
\(\displaystyle{ 2a_{1}(a_{1}+2a_{2})\ge (a_{1}+a_{2})^{2}\\a_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}\ge a_{2}^{2}}\)
ale z założeń zadania wynika \(\displaystyle{ a_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}>a_{1}^{2}\ge a_{2}^{2}}\)
Teraz krok indukcyjny. Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n\in\NN^{+}}\) i dowolnych \(\displaystyle{ a_{1}\ge a_{2}\ge \ldots\ge a_{n}>0}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 2a_{1}\sum_{j=1}^{n}ja_{j}\ge\left(\sum_{j=1}^{n}a_{j}\right)^{2}}\)
Niech teraz \(\displaystyle{ a_{1}\ge a_{2}\ldots \ge a_{n}\ge a_{n+1}>0}\).
Chcemy wykazać, że \(\displaystyle{ 2a_{1}\left(\sum_{j=1}^{n+1}ja_{j}\right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n+1}a_{j}\right)^{2}}\)
Z założenia indukcyjnego mamy
\(\displaystyle{ 2a_{1}\sum_{j=1}^{n}ja_{j}\ge \left(\sum_{j=1}^{n}a_{j}\right)^{2}}\), wystarczy więc wykazać, że
\(\displaystyle{ 2a_{1}\cdot (n+1)a_{n+1}\ge \left(\sum_{j=1}^{n+1}a_{j}\right)^{2}-\left(\sum_{j=1}^{n}a_{j}\right)^{2}}\)
Ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów dostajemy:
\(\displaystyle{ \left(\sum_{j=1}^{n+1}a_{j}\right)^{2}-\left(\sum_{j=1}^{n}a_{j}\right)^{2}=a_{n+1}\left(a_{n+1}+2\sum_{j=1}^{n}a_{j}\right)}\)
i mamy
\(\displaystyle{ 2a_{1}\cdot (n+1)a_{n+1}\ge a_{n+1}\left(a_{n+1}+2\sum_{j=1}^{n}a_{j}\right)\\\Leftrightarrow (2n+2)a_{1}\ge a_{n+1}+2\sum_{j=1}^{n}a_{j}\Leftrightarrow a_{1}+(a_{1}-a_{n+1})+2\sum_{j=1}^{n}\left(a_{1}-a_{j}\right)\ge 0}\)
a to jest oczywiste i zachodzi nawet ostra nierówność. to kończy krok indukcyjny i cały dowód.

Takie banalne, popełniam błąd w rozwiązaniu, czy po prostu zadanie niechlujnie zapisane i chodziło o coś innego?