[Analiza][Ciągi] Granica ciągu

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
rochaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 411
Rejestracja: 3 lip 2012, o 23:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: komp
Podziękował: 128 razy
Pomógł: 2 razy

[Analiza][Ciągi] Granica ciągu

Post autor: rochaj »

Niech \(\displaystyle{ s_{n}=\frac{1}{\sum_{k=1}^{n} x_{k}}, \ x_{1}=1, \ x_{n+1}=x_{n}+s_{n}}\). Pokaż że \(\displaystyle{ \lim_{n\rightarrow \infty}{\frac{x_{n}^2}{2\ln{n}}=1}}\)
Ostatnio zmieniony 1 gru 2012, o 18:42 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

[Analiza][Ciągi] Granica ciągu

Post autor: arek1357 »

Załóżmy , że:

od n>1

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)x_{n+1}}{S_{n}} \le \frac{x_{n+1}^2}{2\ln(n+1)} \le \frac{nx_{n}}{S_{n-1}}}\)

gdzie duże S oznacza sumę n początkowych wyrazów ciągu

Teraz wystarczy policzyć:

\(\displaystyle{ \frac{(n+1)x_{n+1}}{S_{n}}= \frac{n(x_{n}+ \frac{1}{S_{n}})+x_{n}+ \frac{1}{S_{n}} }{S_{n}}= \frac{nx_{n}}{S_{n}}+\frac{n}{S_{n}^{2}}+\frac{x_{n}}{S_{n}}+\frac{1}{S_{n}^{2}}}\)

Widać, że trzy ostatnie składniki dążą do zera zajmiemy się składnikiem pierwszym:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{nx_{n}}{S_{n}} =\lim_{n \to \infty } \frac{x_{n}+n(x_{n}-x_{n-1})}{x_{n}} = \lim_{n \to \infty } (1+n-n \frac{x_{n-1}}{x_{n}})=1}\)

bo:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{x_{n-1}}{x_{n}} =1}\)

czyli całość dąży do 1

z góry uprzedzam , że ten pomysł mnie nie zachwyca
i go nie będę bronił za wszelką cenę
Ostatnio zmieniony 6 kwie 2021, o 11:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [Analiza][Ciągi] Granica ciągu

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: Dlaczego \(\displaystyle{ \frac{x_n}{s_n} }\) dązy do \(\displaystyle{ 0}\), a \(\displaystyle{ \frac{x_n}{x_{n-1}} }\) do \(\displaystyle{ 1}\) ?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Analiza][Ciągi] Granica ciągu

Post autor: a4karo »

I dlaczego mamy założyć to, co w pierwszej linii?
ODPOWIEDZ