[MIX][Ciągi][Analiza] Ciągi vs szeregi

[mol_ksiazkowy]

1. Dany jest ciąg trójkątów prostokątnych o bokach \(\displaystyle{ a_n, b_n, c_n}\), przy czym jest \(\displaystyle{ c_n}\) to przeciwprostokątna; oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}=b_n}\) i \(\displaystyle{ b_{n+1}= c_n}\). Wykazać istnienie \(\displaystyle{ \lim \frac{a_n}{b_n}}\) i obliczyć jej wartość (w zalezności od \(\displaystyle{ a_1}\) i \(\displaystyle{ b_1}\)).

2. Udowodnić, iż ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) ma nieskończenie wiele wyrazów nieujemnych oraz nieskończenie wiele wyrazów niedodatnich:
\(\displaystyle{ a_1= a}\), \(\displaystyle{ a_{n+1}= \begin{cases} \frac{1}{2}(a_n - \frac{1}{a_n}), a_n \neq 0\\0, a_n=0\end{cases}}\)
i \(\displaystyle{ a \in \RR.}\)

3. Niech \(\displaystyle{ k}\) będzie liczbą naturalną, oraz dany jest ciąg:
\(\displaystyle{ a_1= \sqrt{k}}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1} = \sqrt{k + a_n}.}\)
a) Wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim a_n}\) (w zależności od \(\displaystyle{ k}\)).
b) Wykazać, iż gdy \(\displaystyle{ k}\) jest nieparzyste to \(\displaystyle{ \lim a_n}\) nie jest liczbą wymierną i tak dobrać \(\displaystyle{ k}\) aby był liczbą całkowitą.

4. Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) zadany jest rekurencją \(\displaystyle{ a_0=4 \ \ a_1=22}\) oraz \(\displaystyle{ a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 2}\). Udowodnić, iż istnieją ciągi liczb całkowitych \(\displaystyle{ x_n}\) i \(\displaystyle{ y_n}\) takie, że: \(\displaystyle{ a_n = \frac{y_n^2 +7}{x_n - y_n}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 0.}\)

5. Niech \(\displaystyle{ a, b, x_0}\) będą liczbami naturalnymi. Udowodnić, że w ciągu \(\displaystyle{ x_j}\) takim ,że \(\displaystyle{ x_{n}=ax_{n-1}+b}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) jest nieskończenie wiele liczb złożonych.

6. Niech \(\displaystyle{ a_n}\) oznacza ilość tych ciągów "zero- jedynkowych" mających \(\displaystyle{ n}\) elementów, które nie zawierają sekwencji \(\displaystyle{ ...., 0, 1, 0, ....}\); zaś \(\displaystyle{ b_n}\) ilość tych, które nie zawierają sekwencji: \(\displaystyle{ ..., 0, 0, 1, 1, ....}\) ani \(\displaystyle{ ..., 1, 1, 0, 0, ....}\). Wykazać, iż \(\displaystyle{ b_{n+1}=2a_n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 2.}\)

7. Niech ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) będzie taki:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0=1\\a_1=1\\a_n=4(a_{n-1}-a_{n-2}), n\geq 2. \end{cases}}\)
Wykazać, iż \(\displaystyle{ a_n=- 2^{n-1}(n-2)}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 0.}\)

8. Wykazać zbieżność i obliczyć \(\displaystyle{ \lim a_n}\) gdy:
\(\displaystyle{ a_n =n^n (n! e - \lfloor n!e \rfloor)^n}\)
dla \(\displaystyle{ n=1, 2, .....}\)

9. Niech ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) będzie zadany rekurencją \(\displaystyle{ a_1=3}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}=a_n^2 -1}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1.}\) Dowieść, że każdy wyraz tego ciągu jest równy ilorazowi pewnych dwóch wyrazów ciągu Fibonacciego.

10. Niech \(\displaystyle{ a_n}\) będzie ciągiem rosnącym liczb naturalnych takim ,iż:
\(\displaystyle{ a_{2n}=a_n +n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\) oraz
jesli \(\displaystyle{ a_n}\) jest liczbą pierwszą, to \(\displaystyle{ n}\) też jest liczbą pierwszą.
Udowodnić, iż \(\displaystyle{ a_n=n}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1.}\)

11. Ciąg liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_0, a_1, a_2, a_3, ...}\) spełnia zależność:
\(\displaystyle{ 2^{n+1}(a_{n-1}-a_n)=a_n^2}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Wykazać zbieżność i obliczyć \(\displaystyle{ \lim a_n}\) (w zależności od wyrazu początkowego \(\displaystyle{ a_0}\)).

12. Dobrać dwa początkowe wyrazy ciągu \(\displaystyle{ x_n}\) (tj. \(\displaystyle{ x_0}\) i \(\displaystyle{ x_1}\)) aby ciąg ten określony rekurencją \(\displaystyle{ x_n= \sqrt{x_{n-1}x_{n-2}}}\) gdy \(\displaystyle{ n \geq 2}\) był zbieżny do \(\displaystyle{ \lim x_n = \sqrt[3]{4}.}\)

13. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ b_j}\): \(\displaystyle{ b_1=0}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n+1}=5b_n + \sqrt{24b_n^2 +1}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\).
Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ b_n}\) są liczbami całkowitymi.

14. Niech liczby \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą określone:
\(\displaystyle{ A = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{3 \cdot 4}+ ... + \frac{1}{2009 \cdot 2010}+\frac{1}{2011\cdot 2012}}\)
\(\displaystyle{ B= \frac{1}{1007 \cdot 2012} + \frac{1}{1008 \cdot 2011} + ...+ \frac{1}{2011 \cdot 1008} + \frac{1}{2012 \cdot 1007}.}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ \frac{A}{B}.}\)

15. Rozstrzygnąć czy szereg \(\displaystyle{ \frac{a_0}{1 \cdot 2}+ \frac{a_0+2a_1}{2 \cdot 3} + \frac{a_0+2a_1+3a_2}{3 \cdot 4}+ ...}\) jest zbieżny
o ile szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\) jest zbieżny.

16. Niech ciag \(\displaystyle{ a_n}\) będzie taki, iż \(\displaystyle{ a_1=2}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{2^{2n+1} - 2^{n+1}\sqrt{4^n-a_n^2}}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Wykazać iż ciąg ten jest dobrze określony (lewa strona równania definiującego \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) ma sens); oraz że jest zbieżny i obliczyć \(\displaystyle{ \lim a_n.}\)

17. Dane są trzy ciągi nieskończone: \(\displaystyle{ x_n , \ y_n , \ z_n}\) a ich wyrazami są liczby naturalne.
Udowodnić, że istnieją takie wskaźniki \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) iż
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_p \leq x_q\\y_p \leq y_q\\z_p \leq z_q.\end{cases}}\)

18. Zbadać, czy szereg (utworzony z kolejnych liczb pierwszych) jest zbieżny:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3+5}}+ \frac{1}{\sqrt{7+11+13}}+ \frac{1}{\sqrt{17+ 19+23+ 29}}+ \frac{1}{\sqrt{31+ 37+ 41+43+ 47}}+ ...}\)

19. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) taki, iż \(\displaystyle{ a_1=3}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}= 3- \frac{1}{a_n}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Wykazać że ciąg \(\displaystyle{ b_n= \frac{1}{a_1 \cdot .... \cdot a_n} (\frac{3+\sqrt{5}}{2})^n}\) jest zbieżny i obliczyć \(\displaystyle{ \lim b_n.}\)

20. Wykazać, iż jeśli \(\displaystyle{ 0 < x \leq 1}\), to istnieje jeden i tylko jeden ciąg \(\displaystyle{ k_j}\) liczb naturalnych, spełniający:
\(\displaystyle{ 1<k_1 \leq k_2 \leq k_3 \leq ....}\) i taki że \(\displaystyle{ x = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_1k_2} + .... + \frac{1}{k_1k_2...k_n}+ ...}\)
Liczba \(\displaystyle{ x}\) jest wtedy i tylko wtedy wymierna, gdy poczynając od pewnego miejsca wszystkie \(\displaystyle{ k_j}\) są równe.

21.
a) Wyznaczyć wszystkie wyrazu ciągu \(\displaystyle{ u_n=n^2 +44n +99}\), które są kwadratami (liczb całkowitych).
b) Wyznaczyć wszystkie wyrazu ciągu \(\displaystyle{ v_n=n^3 -11n +7}\), które są sześcianami (liczb całkowitych).
c) Czy wśród wyrazów ciągów \(\displaystyle{ u_n}\) i \(\displaystyle{ v_n}\) są bikwadraty (tj. czwarte potęgi liczb całkowitych) ?

22. Dany jest ciąg \(\displaystyle{ a_j}\): \(\displaystyle{ a_1=k}\) i \(\displaystyle{ a_{n+1}= \lfloor \sqrt{2}a_n \rfloor}\). Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite \(\displaystyle{ k}\) dla których istnieją trzy kolejne wyrazy ciągu: \(\displaystyle{ a_{j-1} , \ a_j, \ a_{j+1}}\) takie, że \(\displaystyle{ 2a_j=a_{j-1}+ a_{j+1}}\)
dla pewnego \(\displaystyle{ j>1.}\)

23. Opisać jak rozmieszczone są w zbiorze \(\displaystyle{ \NN}\) te liczby naturalne, które nie są wyrazami ciągu:
\(\displaystyle{ a_n = n + \lfloor \sqrt{n} \rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor.}\)

24. Ciągi \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) splecione są ze sobą warunkami \(\displaystyle{ a_0=1 \ b_0=0}\) oraz \(\displaystyle{ \begin{cases} a_{n+1}= 7a_n +6b_n -3\\b_{n+1}=8a_n +7b_n-4\end{cases}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 0}\). Wykazać, iż wszystkie wyrazy ciagu \(\displaystyle{ a_n}\) są kwadratami liczb całkowitych.

25. Niech \(\displaystyle{ a \neq 0}\). Udowodnić iż:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(a+k)(a+k+1)} = \frac{1}{a}.}\)

26. Jeśli \(\displaystyle{ a >0,}\) to wykazać, iż określony rekurencyjnie ciąg \(\displaystyle{ x_n}\):
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{n+1}= \frac{a}{1+x_n}\\x_1 >0\end{cases}}\)
dąży do pierwiastka \(\displaystyle{ v}\) (dodatniego) równania \(\displaystyle{ x^2+x-a=0}\), przy czym dąży tak iż \(\displaystyle{ x_n}\) leżą na przemian po lewej i po prawej stronie \(\displaystyle{ \lim x_n =v.}\)

27. Ile wynosi suma nieskończona szeregu:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 5 \cdot 9} + \frac{1}{3 \cdot 7 \cdot 11} + \frac{1}{5 \cdot 9 \cdot 13} + ....}\)
?

28. Niech ciąg \(\displaystyle{ x_n}\) będzie taki, iż \(\displaystyle{ x_1= 5}\) i \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_n^2 -2}\) gdy \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Udowodnić, iż \(\displaystyle{ \lim \frac{x_{n+1}}{x_1 \cdot .... \cdot x_n} =\sqrt{21}.}\)

29. Wykazać że jeśli szereg \(\displaystyle{ \sum a_n}\) ma wyrazy dodatnie i jest zbieżny, to zbieżny jest tez szereg \(\displaystyle{ \sum \sqrt{a_na_{n+1}}}\). Wykazać (na przykładzie) iż twierdzenie odwrotne nie jest ogólnie prawdziwe ale zachodzi gdy ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest monotoniczny.

30. Ciąg \(\displaystyle{ a_n}\) jest określony rekurencją: \(\displaystyle{ a_0=a_1=1}\) oraz \(\displaystyle{ a_{n+1}=14 a_n -a_{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Wykazać iż wszystkie wyrazy ciągu \(\displaystyle{ b_n=2a_n - 1}\) są kwadratami liczb całkowitych.

[Sylwek]

29:    

Na mocy nierówności między średnimi mamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \sqrt{a_ia_{i+1}} \le \sum_{i=1}^n \frac{a_i+a_{i+1}}{2}< \sum_{i=1}^{n+1} a_i}\). Ostatnia suma z założenia jest zbieżna przy \(\displaystyle{ n \to \infty}\), a oba szeregi mają wyrazy dodatnie, zatem \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} \sqrt{a_ia_{i+1}}}\) jest zbieżny.

Co do drugiej części wystarczy wziąć \(\displaystyle{ a_{2k+1}=1, a_{2k+2}=\frac{1}{(2k+2)^4}}\), wówczas

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty} \sqrt{a_i a_{i+1}}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^2}+\ldots < \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6}<\infty}\),

ale oczywiście mamy \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}a_i=\infty}\).

Co do ostatniego pytania, gdy \(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) jest monotoniczny o wyrazach dodatnich oraz \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{\infty}\sqrt{a_ia_{i+1}}}\) jest zbieżny, to oczywiście \(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \mathbb{N}}}\) jest nierosnący. Stąd

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_i = a_1+\sum_{i=2}^n \sqrt{a_i^2} \le a_1 + \sum_{i=1}^{n-1} \sqrt{a_i a_{i+1}}}\),

więc z analogicznego argumentu jak w pierwszej części zadania dostajemy tezę.

[Adifek]

1.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a_{n}= \sqrt{F_{n-2}a_{1}^{2} + F_{n-1}b_{1}^{2} }}\)

\(\displaystyle{ b_{n}= \sqrt{F_{n-1}a_{1}^{2} + F_{n}b_{1}^{2} }}\)

gdzie \(\displaystyle{ F_{n}}\) to n-ty wyraz ciągu Fibonacciego


Dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) możemy szacować

\(\displaystyle{ F_{n} \approx \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) ^{n}}\)

a stąd już praktycznie mamy rozwiązanie

[Qń]

Zadanie 25.:    

Mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(a+k)(a+k+1)}=\frac{1}{a+k}-\frac{1}{a+k+1}}\)
skąd:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{N} \frac{1}{(a+k)(a+k+1)}=\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{a+k}-\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{a+k+1}=\\ =\sum_{k=0}^{N} \frac{1}{a+k}-\sum_{k=1}^{N+1} \frac{1}{a+k}=\frac 1a - \frac{1}{a+N+1}\to \frac 1a}\)

Q.

[ordyh]

16.

Ukryta treść:    

Zauważmy, że zachodzi \(\displaystyle{ a_n = 2^n\sin \frac{\pi}{2^n}}\), dla \(\displaystyle{ n=1}\) się zgadza, a dalej wykorzystując tożsamość \(\displaystyle{ |\sin\frac{x}{2}| = \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}}\) dowodzimy indukcyjnie. Stąd już widać, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} 2^n\sin\frac{\pi}{2^n} = \pi \lim_{n \to \infty} \frac{\sin\frac{\pi}{2^n}}{\frac{\pi}{2^n}} = \pi}\)

[Qń]

Zadanie 7:    

Można użyć równania charakterystycznego, można funkcji tworzących, można też zwykłej indukcji. A można też tak:
Kładąc \(\displaystyle{ b_n=a_{n}-2a_{n-1}}\) dostajemy:
\(\displaystyle{ \begin{cases}b_1=0\\ b_2=-2\\ b_n= 2b_{n-1} \ \textrm{dla} \ n\ge 2\end{cases}}\)
skąd oczywiście \(\displaystyle{ b_n=-2^{n-1}}\) dla \(\displaystyle{ n>1}\)
Tak więc:
\(\displaystyle{ -1=\frac{a_n}{2^{n-1}}- \frac{a_{n-1}}{2^{n-2}}}\)
co oznacza, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{a_n}{2^{n-1}}}\) jest arytmetyczny o różnicy \(\displaystyle{ -1}\), więc z uwagi na \(\displaystyle{ \frac{a_0}{2^{-1}}=2}\) łatwo dostajemy, że \(\displaystyle{ \frac{a_n}{2^{n-1}}=2-n}\) skąd natychmiastowo wynika teza.

Q.

[Sylwek]

13:    

Dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) mamy

\(\displaystyle{ (b_{n+1}-5b_n)^2=24b_n^2 +1}\)
\(\displaystyle{ (b_{n+2}-5b_{n+1})^2=24b_{n+1}^2 +1}\).

Odejmując od drugiego równania pierwsze otrzymujemy

\(\displaystyle{ (b_{n+2}-5b_{n+1})^2=24b_{n+1}^2-24b_n^2+(b_{n+1}-5b_n)^2=(5b_{n+1}-b_n)^2}\).

Zatem zachodzi \(\displaystyle{ |b_{n+2}-5b_{n+1}|=|5b_{n+1}-b_n|}\). Oznacza to, że jeśli \(\displaystyle{ b_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n+1}}\) są całkowite, to \(\displaystyle{ b_{n+2}}\) też. Mamy też \(\displaystyle{ b_1=0}\) oraz \(\displaystyle{ b_2=1}\), stąd przez indukcję matematyczną dostajemy tezę.

[Qń]

Zadanie 3:    

a) Oznaczmy pierwiastki równania:
\(\displaystyle{ t^2-t-k=0}\)
przez:
\(\displaystyle{ a=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}}\) i \(\displaystyle{ b=\frac{1-\sqrt{1+4k}}{2}}\)

Pokażmy indukcyjnie, że \(\displaystyle{ a_n<a}\). Mamy:
\(\displaystyle{ a_1=\sqrt{k}=\frac{\sqrt{4k}}{2}<\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}=a}\)
oraz jeśli \(\displaystyle{ a_n<a}\), to:
\(\displaystyle{ a_{n+1}=\sqrt{a_n+k}<\sqrt{a+k}=a}\)

W takim razie:
\(\displaystyle{ a_{n+1}-a_n= \sqrt{a_n+k}-a_n= \frac{a_n+k-a_n^2}{\sqrt{a_n+k}+a_n}=\frac{-(a_n-a)(a_n-b)}{\sqrt{a_n+k}+a_n}>0}\)
co oznacza, że nasz ciąg jest rosnący i ograniczony z góry, czyli ma granicę. Przejście w równaniu rekurencyjnym z \(\displaystyle{ n}\) do nieskończoności od razu daje nam, że ta granica jest równa:
\(\displaystyle{ a=\frac{1+\sqrt{1+4k}}{2}}\)

b) Jeśli \(\displaystyle{ k=2j+1}\), to aby granica była wymierna, wymierna musiałaby być liczba \(\displaystyle{ \sqrt{8j+5}}\). Jednak resztą z dzielenia przez osiem kwadratu liczby naturalnej może być tylko \(\displaystyle{ 0,1,4}\), więc \(\displaystyle{ 8j+5}\) nie jest kwadratem liczby naturalnej, a zatem granica jest niewymierna.

Granica jest natomiast całkowita na przykład dla \(\displaystyle{ k=2,k=6,k=12}\) i w ogólności dla \(\displaystyle{ k=i(i+1)}\) (i tylko wtedy).

Q.

[Sylwek]

10:    

Niech \(\displaystyle{ a_1=b \ge 1}\). Wówczas na mocy wzoru rekurencyjnego dostajemy kolejno \(\displaystyle{ a_2=b+1}\), \(\displaystyle{ a_4=b+3}\), \(\displaystyle{ a_8=b+7}\) i ogólnie (indukcja) \(\displaystyle{ a_{2^k}=b+(2^k-1)}\). Jednak mamy

\(\displaystyle{ b=a_1 \le a_2-1 \le a_3-2 \le \ldots \le a_{2^k}-(2^k-1)=b,}\)

zatem we wszystkich tych nierównościach zachodzi równość. Jednak \(\displaystyle{ k}\) było wybrane dowolnie, co oznacza, że ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n \in \NN}}\) jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie równym \(\displaystyle{ b}\) i różnicy \(\displaystyle{ 1}\).

Jako że ciąg \(\displaystyle{ a_n=n}\) w oczywisty sposób spełnia warunki zadania, wystarczy pokazać, że przypuszczenie \(\displaystyle{ b \ge 2}\) prowadzi do sprzeczności. Zakładając że \(\displaystyle{ a_1=b \ge 2}\) przyjrzymy się najmniejszej liczbie pierwszej \(\displaystyle{ p}\) następującej po ciągu \(\displaystyle{ b}\) liczb złożonych

\(\displaystyle{ \Big((b+1)!+i\Big)_{i=2}^{b+1}}\).

Oczywiście \(\displaystyle{ p>(b+1)!+(b+1)>b+1}\), zatem istnieje liczba naturalna \(\displaystyle{ n>1}\), że \(\displaystyle{ a_n=p}\). Co więcej, wskażemy ją bezpośrednio - jest to \(\displaystyle{ n=p-(b-1)}\). Jednak ciąg liczb złożonych występujących kolejno pomiędzy \(\displaystyle{ p}\) a poprzednią liczbą pierwszą miał długość \(\displaystyle{ \ge b}\), zatem w szczególności \(\displaystyle{ n=p-(b-1)}\) występowała w tym ciągu - jest więc liczbą złożoną. Otrzymana sprzeczność kończy dowód zadania.

[Marcinek665]

28:    

Rozważmy iloczyn \(\displaystyle{ \frac{x_{n+1}^2}{x_{1}^2 \cdot \ldots \cdot x_{n}^2}}\) Wiemy, że \(\displaystyle{ x_n^2 = x_{n+1}+2}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{x_{n+1}-2}{x_{n}-2}=x_{n}+2}\), wobec czego:

\(\displaystyle{ \prod_{i=1}^{n} x^2_{i} = \prod_{i=1}^{n} (x_{i+1}+2) = \prod_{i=1}^{n} \frac{x_{i+2}-2}{x_{i+1}-2} = \frac{x_{n+2}-2}{x_{2}-2} = \frac{x_{n+2}-2}{21}}\)

Patrząc na licznik, mamy również \(\displaystyle{ x_{n+1}^2 = x_{n+2}+2}\), czyli:

\(\displaystyle{ \frac{x_{n+1}^2}{x_{1}^2 \cdot \ldots \cdot x_{n}^2} = \frac{x_{n+2}+2}{x_{n+2}-2} \cdot 21 \rightarrow 21}\).

Bo \(\displaystyle{ \lim x_n = \infty}\), co chyba widać.

[Sylwek]

8:    

Zauważmy najpierw, że

\(\displaystyle{ n! \cdot e=n! \cdot \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\right)= n! \cdot \left(\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} \right)+n! \cdot \left(\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} \right)}\).

Pierwszy składnik powyższego iloczynu jest całkowity (bo sam jest sumą \(\displaystyle{ n+1}\) liczb całkowitych). Korzystając z tego, że dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ t \ge 2}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ \frac{1}{(n+t)!}<\frac{1}{2^{t-1}(n+1)!}}\)

(powyższe jest bardzo proste w dowodzie) dostajemy dla \(\displaystyle{ n \ge 2}\), że

\(\displaystyle{ 0<n! \cdot \left(\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} \right)<n! \cdot \left(\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^k \cdot (n+1)!} \right)=\frac{2}{n+1}<1}\).

Oznacza to równość

\(\displaystyle{ n! \cdot e - \lfloor n! \cdot e \rfloor=n! \cdot \left(\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} \right)}\).

Mamy więc następujące oszacowanie od dołu

\(\displaystyle{ a_n=\left(n \cdot n! \cdot \left(\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} \right)\right)^n>\left(\frac{n}{n+1}+\frac{n}{(n+1)(n+2)}\right)^n \\
=\left(\left(1-\frac{2}{(n+1)(n+2)}\right)^\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^\frac{2n}{(n+1)(n+2)} \xrightarrow{n \to +\infty} \left(e^{-1}\right)^0=1.}\)

I pamiętając, że \(\displaystyle{ n \cdot n!=(n+1)!-n!}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{(n+1)!}{(n+k+1)!}<\frac{n!}{(n+k)!}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 1}\) oraz \(\displaystyle{ k \ge 1}\), dostajemy oszacowanie od góry

\(\displaystyle{ a_n=\left(\Big( (n+1)!-n! \Big) \cdot \left(\sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k!} \right)\right)^n \\
=\left( \frac{(n+1)!}{(n+1)!}+ \sum_{k=1}^\infty \left( \frac{(n+1)!}{(n+k+1)!}-\frac{n!}{(n+k)!} \right) \right)^n<1^n = 1 \xrightarrow{n \to +\infty} 1.}\)

Z twierdzenia o trzech ciągach wnioskujemy, że \(\displaystyle{ a_n \xrightarrow{n \to +\infty} 1}\).

[Qń]

Zadanie 27:    

Z uwagi na:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(2k-3)(2k+1)(2k+5)}= \frac 18 \left(\frac{1}{(2k-3)(2k+1)}-\frac{1}{(2k+1)(2k+5)}\right)}\)
łatwo dostajemy:
\(\displaystyle{ \sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{(2k-3)(2k+1)(2k+5)}=\lim_{N\to \infty}\sum_{k=2}^{N}\frac{1}{(2k-3)(2k+1)(2k+5)} = \\ =
\frac 18\lim_{N\to \infty}\sum_{k=2}^{N}\left(\frac{1}{(2k-3)(2k+1)}-\frac{1}{(2k+1)(2k+5)}\right)=\\ =\frac 18\lim_{N\to \infty}\left(\sum_{k=0}^{N-2}\frac{1}{(2k+1)(2k+5)}-\sum_{k=2}^{N}\frac{1}{(2k+1)(2k+5)}\right) =\\ =
\frac 18\lim_{N\to \infty}\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{21}-\frac{1}{(2N-1)(2N+3)}-\frac{1}{(2N+1)(2N+5)}\right)=\frac{13}{420}}\)

Q.

[ordyh]

14.:    

Oznaczmy \(\displaystyle{ x=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2012}}\), \(\displaystyle{ y=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1006}}\).
Mamy
\(\displaystyle{ A = \sum_{i=1}^{1006} \frac{1}{(2i-1)2i} = \sum_{i=1}^{1006} \frac{1}{2i-1}-\frac{1}{2i} = \sum_{i=1}^{1006} \frac{1}{2i-1}+\frac{1}{2i}-\frac{1}{i} = x-y}\)
Ponadto
\(\displaystyle{ B = \sum_{i=1007}^{2012} \frac{1}{i(3019-i)} = \frac{1}{3019}\sum_{i=1007}^{2012} \frac{1}{i}+\frac{1}{3019-i} = \frac{1}{3019} \cdot 2 \sum_{i=1007}^{2012} \frac{1}{i} = \frac{2}{3019} (x-y)}\)

A stąd \(\displaystyle{ \frac{A}{B} = \frac{3019}{2}}\)

[mol_ksiazkowy]

13 cd

Ukryta treść:    

Zatem zachodzi \(\displaystyle{ |b_{n+2}-5b_{n+1}|=|5b_{n+1}-b_n|}\). Oznacza to, że jeśli \(\displaystyle{ b_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_{n+1}}\) są całkowite, to \(\displaystyle{ b_{n+2}}\) też. Mamy też \(\displaystyle{ b_1=0}\) oraz \(\displaystyle{ b_2=1}\), stąd przez indukcję matematyczną

a nawet \(\displaystyle{ b_{n+2}-5b_{n+1}=-(5b_{n+1}-b_n)}\) nie jest mozliwym bo ciag
\(\displaystyle{ b_j}\) jest rosnacy; a zatem:
\(\displaystyle{ b_{j+1}=10b_j - b_{j-1}}\), ciag \(\displaystyle{ b_j}\) (poczatkowe wyrazy):
\(\displaystyle{ 0 , \ 1, \ 10, \ 99, \ 980, \ 9701, .....}\)
itd.

[Sylwek]

17:    

Przypuśćmy (dowód nie wprost), że teza jest fałszywa (zakładam, że w treści zabrakło zaznaczenia \(\displaystyle{ p<q}\), nie wpływa to na trudność zadania), w szczególności mamy, że dla każdego \(\displaystyle{ n>1}\) zachodzi \(\displaystyle{ (x_n<x_1) \vee (y_n<y_1) \vee (z_n<z_1)}\). Innymi słowy, zachodzi co najmniej jedna z \(\displaystyle{ x_1+y_1+z_1-3}\) możliwości

\(\displaystyle{ (x_n=1) \vee \ldots \vee (x_n=x_1-1) \vee (y_n=1) \\ \vee \ldots \vee (y_n=y_1-1) \vee (z_n=1) \vee \ldots \vee (z_n=z_1-1).}\)

Ponieważ liczba powyższych opcji jest skończona, któraś z nich zachodzi dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n \in \NN}\). Dla ustalenia uwagi niech dla każdego \(\displaystyle{ k \ge 1}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_{n_k}=\alpha<x_1}\), gdzie \(\displaystyle{ \left(n_k \right)_{k \in \NN}}\) jest podciągiem ciągu liczb naturalnych.

I teraz już widać co się dzieje - mamy nowy ciąg, indeksowany przez \(\displaystyle{ \left(n_k \right)_{k \in \NN}}\), przy czym \(\displaystyle{ x_{n_k}=\alpha}\). Powtarzając powyższe rozumowanie dostaniemy, że fałszywość tezy implikuje, że dla każdego \(\displaystyle{ k>1}\) zachodzi co najmniej jedna z możliwości

\(\displaystyle{ (y_{n_k}=1) \vee \ldots \vee (y_{n_k}=y_{n_1}-1) \vee (z_{n_k}=1) \vee \ldots \vee (z_{n_k}=z_{n_1}-1).}\)

I znowu dla ustalenia uwagi możemy założyć \(\displaystyle{ y_{n_k}=\beta}\) nieskończenie wiele razy i powtórzyć rozumowanie dla pozostałego ciągu \(\displaystyle{ \left(z_{(n_k)_t} \right)_{t \in \NN}}\). Doszliśmy więc do wniosku, że \(\displaystyle{ (x_n,y_n,z_n)=(\alpha, \beta, \gamma)}\) występuje w tym ciągu nieskończenie wiele razy, co stoi w sprzeczności z założeniem "teza nie jest prawdziwa".

Założenia dowodu okazały się fałszywe, czyli teza zachodzi.

Uwaga: w treści były 3 ciągi, oczywiście rozumowanie przechodzi dla dowolnej skończonej liczby ciągów. Jeśli jednak mamy przeliczalną liczbę tych ciągów, teza już nie zachodzi.