[Teoria liczb][Równania] Pary liczb naturalnych

[darek20]

Znaleźć wszystkie pary \(\displaystyle{ \left(a,b\right)}\) liczb naturalnych takich że \(\displaystyle{ \left(\sqrt[3]a+\sqrt[3]b-1\right)^2=49+20\sqrt[3]6}\)

[fon_nojman]

Posiłkowałem się wolframem

Oznaczmy \(\displaystyle{ x=\sqrt[3]a+\sqrt[3]b-1.}\) Wtedy

\(\displaystyle{ (x^2-49)^3-20^3 6=0 \Rightarrow x=1-2 \sqrt[3]{6}-2 \sqrt[3]{36} \vee x=-1+2 \sqrt[3]{6}+2 \sqrt[3]{36}.}\)

Czyli \(\displaystyle{ \sqrt[3]a+\sqrt[3]b-1=-1+2 \sqrt[3]{6}+2 \sqrt[3]{36} \Leftrightarrow \sqrt[3]a+\sqrt[3]b=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{288}.}\) Wygląda na to, że \(\displaystyle{ a=48,\ b=288}\) i na odwrót.

Widać o co chodzi, trzeba \(\displaystyle{ 49+20\sqrt[3]6}\) przedstawić jako kwadrat "lepszej" liczby.

[tatteredspire]

A propos tego zadania, jeśli można - Czy wie ktoś jak (nie brutalnie przez szacowanie) wyznaczyć wszystkie takie pary? Wiadomo, że obie liczby \(\displaystyle{ a,b}\) nie mogą być jednocześnie sześcianami liczb naturalnych, ale samo to i tak stosunkowo niewiele ogranicza zbiór razważań takich par.

[Sylwek]

Pan darek20 już to kiedyś wrzucał pod postacią robin5hood:
79807.htm

[robin5hood]

... 6&t=150693

[tatteredspire]

Dziękuję.