[Analiza] Wykazanie równości z całką

[darek20]

Pokaż że jeśli \(\displaystyle{ f:[x,\pi +x]\to\mathbb{R}}\) jest różniczkowalna w \(\displaystyle{ (x,\pi +x)}\) , to

\(\displaystyle{ \[ f(x+\pi)-f(x)=-\frac{4}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\int_{0}^{\pi}f(t+x)\cos((2m+1)t)dt \]}\)

[luka52]

Funkcję \(\displaystyle{ f}\) można rozwinąć w szereg Fouriera względem kosinusów, wtedy:

\(\displaystyle{ $\begin{align*}
f(x + \pi) - f(x) & = \sum_{n = 1}^{+\infty} a_n \left[ \cos \left( n (x+\pi) \right) - \cos nx \right] \\
& = -2 \sum_{n =1}^{+\infty} a_{2n+1} \cos \left( (2k+1)x\right) \\
& = - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{+\infty} \left[ \int_0^\pi f(u) \cos \left( (2k+1)u\right) \, \mbox d u\right] \cos \left( (2k+1) x\right)
\end{align*}$}\)

Z koeli:

\(\displaystyle{ $\begin{align*}
\int_0^\pi f(t+x) \cos \left( (2k+1) t\right) \,\mbox d t &\stackrel{z = t+x}{=} \int_0^\pi f(z) \cos \left( (2k+1) (z - x) \right) \, \mbox d z\\
&= \int_x^{x+\pi} f(z) \big( \cos \left( (2k+1) z \right) \cos \left( (2k+1) x \right) \\
& \phantom{\int_x^{x+\pi} f(z) \big( } - \sin \left( (2k+1) z \right) \sin \left( (2k+1) x \right) \big) \, \mbox d z
\end{align*}}\)

Całki z sinusem dadzą 0, gdyż w końcu rozwinięcie jest względem kosinusów, a ostatecznie mamy połączenie by udowodnić żądaną równość.