[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Coach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 10 maja 2012, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Centralny Zielony Zamek Synchronizacji

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: Coach » 2 cze 2012, o 20:47

\(\displaystyle{ 1)}\) Dany jest kwadrat \(\displaystyle{ K}\). Dla każdej liczby całkowitej dodatniej \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ f(n)}\) oznacza największą możliwą liczbę prostokątów na jakie można podzielić \(\displaystyle{ K}\) w taki sposób aby dowolna linia równoległa do jakiegoś boku \(\displaystyle{ K}\) przecinała co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) wnętrz tych prostokątów. Wykazać, że \(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{n-1} \le f(n) \le 3^n - 2}\).

\(\displaystyle{ 2)}\) Niech \(\displaystyle{ P}\) oznacza zbiór liczb pierwszych. Zbiór \(\displaystyle{ M}\) mający co najmniej \(\displaystyle{ 3}\) elementy jest podzbiorem \(\displaystyle{ P}\) takim, że dla każdego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ M}\) wszystkie dzielniki pierwsze liczby \(\displaystyle{ \prod_{p \in A}^{}p - 1}\) znajdują się w \(\displaystyle{ M}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ M=P}\).

\(\displaystyle{ 3)}\) Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ H_a}\), \(\displaystyle{ H_b}\) i \(\displaystyle{ H_c}\) to ortocentra odpowiednio trójkątów \(\displaystyle{ BIC}\), \(\displaystyle{ CIA}\) i \(\displaystyle{ AIB}\). Pokazać, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ H_aH_bH_c}\) mają równe pola.

\(\displaystyle{ 4)}\) Niech \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\) oznaczają wielomiany o współczynnikach całkowitych należących do zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,2012\right\}}\) i stopniach odpowiednio \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ P(x)|Q(x)}\) to \(\displaystyle{ p+1|q+1}\).
Ostatnio zmieniony 2 cze 2012, o 22:16 przez Coach, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: kaszubki » 2 cze 2012, o 21:10

3:    
2:    
Ostatnio zmieniony 2 cze 2012, o 22:01 przez kaszubki, łącznie zmieniany 1 raz.

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: ordyh » 2 cze 2012, o 21:17

2:    
4:    

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: kaszubki » 2 cze 2012, o 21:26

\(\displaystyle{ 2 \cdot 3 \cdot 5 - 1 = 29}\)

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: ordyh » 2 cze 2012, o 21:30

ok, myślałem że całe \(\displaystyle{ p-1}\) jest pod iloczynem -_-

Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: Panda » 2 cze 2012, o 21:30

W 1 dla \(\displaystyle{ n=1}\) \(\displaystyle{ 3 \le 1}\)?

Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wschod
Pomógł: 1 raz

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: Utumno » 3 cze 2012, o 15:17

Ordyh: twój kontrprzykład nie działa, bo wszystkie współczynniki miały być równe 1 lub 2012.
Ostatnio zmieniony 3 cze 2012, o 15:25 przez Utumno, łącznie zmieniany 1 raz.

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: kaszubki » 3 cze 2012, o 15:22

Utumno, czy \(\displaystyle{ 0 \in \{1,2012\}}\)?
1:    
Ostatnio zmieniony 4 cze 2012, o 14:28 przez kaszubki, łącznie zmieniany 1 raz.

Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wschod
Pomógł: 1 raz

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: Utumno » 3 cze 2012, o 15:26

Dobre pytanie! Już znam odpowiedź.

ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: ordyh » 3 cze 2012, o 15:51

Utumno, wtedy była jeszcze wersja z \(\displaystyle{ \{1,2,...,2012\}}\).

Awatar użytkownika
Coach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 10 maja 2012, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Centralny Zielony Zamek Synchronizacji

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: Coach » 3 cze 2012, o 22:41

W zadaniu \(\displaystyle{ 1}\) powinno być \(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{n-1} -2 \le f(n) \le 3^n -2}\).

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: marcin_smu » 3 cze 2012, o 23:30

\(\displaystyle{ 3 \cdot 2^{n-1}-2 \le f(n)}\)
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: Swistak » 6 cze 2012, o 01:16

Oto "rozwiązanie" syntetyczne trzeciego : D. Raczej nic nikomu nie pomoże jak to przeczyta, ale żeby nie było, to ukrywam ; p.
Rozwiązanie:    
Jakieś obserwacje bardziej na serio związane z tym powyżej:    

Awatar użytkownika
Coach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 10 maja 2012, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Centralny Zielony Zamek Synchronizacji

[MIX][Klub 444] Runda trzecia

Post autor: Coach » 15 cze 2012, o 22:59


ODPOWIEDZ