[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Coach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 10 maja 2012, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Centralny Zielony Zamek Synchronizacji

[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: Coach » 15 maja 2012, o 12:27

1.
Dane są liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z \ge 1}\), spełniające warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2}\). Wykazać, że
\(\displaystyle{ \sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-1} \le \sqrt{x+y+z}}\)

2.
Dane jest \(\displaystyle{ n}\) różnych punktów na płaszczyźnie, nie wszystkie leżące na jednej prostej. Udowodnić, że wyznaczają one co najmniej \(\displaystyle{ n}\) różnych prostych.

3.
Ciąg \(\displaystyle{ (X_i)}\) jest zadany wzorami: \(\displaystyle{ X_0 = 4, \ X_1 = X_2 = 0, \ X_3 = 3, \ X_{n+4} = X_{n+1} + X_n}\). Udowodnić, że dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), liczba \(\displaystyle{ X_p}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ p}\).

4.
W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) punkty \(\displaystyle{ E}\) i \(\displaystyle{ F}\) są spodkami wysokości opuszcznych odpowiednio z wierzchołków \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego. Prosta \(\displaystyle{ FO}\) przecina prostą \(\displaystyle{ BE}\) w punkcie \(\displaystyle{ P}\), natomiast prosta \(\displaystyle{ EO}\) przecina prostą \(\displaystyle{ CF}\) w punkcie \(\displaystyle{ Q}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ \angle QAC = \angle BAP}\).

Korba!
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

m-2
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 4 maja 2011, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 14 razy

[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: m-2 » 15 maja 2012, o 13:08

1:    

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: marcin_smu » 15 maja 2012, o 16:22

2:    

kaszubki
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 867
Rejestracja: 12 kwie 2008, o 13:35
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 78 razy

[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: kaszubki » 15 maja 2012, o 18:14

4:    

Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wschod
Pomógł: 1 raz

[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: Utumno » 16 maja 2012, o 06:05

Trzecie:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: Swistak » 21 maja 2012, o 17:05

Jak ktoś, tak jak ja, nie zna takich wyszukanych nierówności, jak ta, której użył m-2, to może sobie poradzić w taki sposób
1:    
-- 21 maja 2012, 22:52 --Uwaga, leci wyrąbane rozwiązanie zadania 2! Żeby nie było, oczywiście nie mojego autorstwa. Ja nie wymyślam takiej magii .
Magiczne 2:    

Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wschod
Pomógł: 1 raz

[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: Utumno » 24 maja 2012, o 04:31

Straszne (ale i genialne) rozwiazanie w sumie oczywistej ('no spojrz pan, to musi byc prawda') rzeczy...

Awatar użytkownika
Coach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 13
Rejestracja: 10 maja 2012, o 21:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Centralny Zielony Zamek Synchronizacji

[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: Coach » 25 maja 2012, o 21:16

zad 4
Ukryta treść:    
-- 26 maja 2012, o 21:21 --zad 3 wzorcówka:
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: Swistak » 31 maja 2012, o 00:46

Udało mi się znaleźć niezwykle ciekawe rozwiązanie zad. 4
Jak wiemy, trzeba udowodnić, że
Ukryta treść:    
. Jednak ani rozwiązanie syntetyczne, ani rozwiązanie przy pomocy ewentualnej trygonometrii, jeśli tego dowodzą, to nie mówią ile to coś wynosi, natomiast moje rozwiązanie i owszem, dlatego uważam je za bardzo interesujące.
Jeżeli oznaczymy spodek wysokości z \(\displaystyle{ A}\) przez \(\displaystyle{ D}\), to to coś wynosi bowiem
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

Re: [MIX][Klub 444] Runda pierwsza

Post autor: Swistak » 19 cze 2019, o 20:11

Zadanie 3:
Łatwo udowodnić, że ciąg \(\displaystyle{ X_p}\) opisuje liczbę sposobów, na które można wybrać część punktów na cyklu złożonym z \(\displaystyle{ n}\) elementów w taki sposób, aby każde dwa kolejne punkty były od siebie odległe o 3 lub 4. Jest to proste ćwiczenie z rekurencji. Mając to łatwo zauważyć, że takie ustawienia można pogrupować w klasy równoważności względem obrotów, które dla cyklu pierwszej długości zawsze grupują po \(\displaystyle{ p}\) skąd otrzymujemy tezę 8).

ODPOWIEDZ