[Nierówności] Między średnimi

[HuBson]

Udowodni,że dla dowolnych rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b,c}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2( a^{2}+ b^{2} )} + \sqrt{2(b^{2}+ c^{2})}+\sqrt{2(c^{2}+ a^{2})} \ge \sqrt{3( a+b)^{2} +3( b+c)^{2} +3( c+a)^{2}}}\)

mój pomysł był taki:

\(\displaystyle{ \sqrt{2( a^{2}+ b^{2} )} =\sqrt{ \frac{ 4a^{2} + 4b^{2} }{2} }}\)
teraz z nierówności między średnią kwadratową a arytmetyczną
\(\displaystyle{ \sqrt{ \frac{ 4a^{2} + 4b^{2} }{2} } \ge \frac{2a+2b}{2}=a+b}\)
anologicznie postępując z dwoma kolejnymi składnikami lewej strony otrzymujemy:
\(\displaystyle{ 2(a+b+c)\ge \sqrt{3( a+b)^{2} +3( b+c)^{2} +3( c+a)^{2}}}\)
jednak dalej podnosząc nierówność do kwadratu (nie wiem czy to w tym przypadku dozwolone) otrzymuję sprzeczność że
\(\displaystyle{ 0 \ge 4a^{2} + 4b^{2} + 4c^{2} + 2ab + 2ac +2bc}\)
proszę o pomoc Ps. myśle że problem może polegać na tym że strony maja różne znaki przez co chrzani się po podniesieniu do kwadratu zwrot nierówności
nierówność pochodzi z
jak już była na forum to sorry nie znalazłem

[Mruczek]

Na początek podnieś do kwadratu, potem z arytmetycznej - kwadratowej.

[HuBson]

na samym początku? ale potem nadal będzie jeden pierwiastek po lewej stronie

[Mruczek]

Będą trzy pierwiastki - dla każdego z nich zastosuj arytmetyczną - kwadratową dla czterech liczb (które otrzymasz po wymnożeniu nawiasów, które są pod pierwiastkami).

[HuBson]

chodzi o coś takiego?
\(\displaystyle{ 2 (a^{2} +b^{2})+2 (b^{2} +c^{2})+2(c^{2} +a^{2}) +\sqrt{ac b^{2} } +\sqrt{bc a^{2} } +\sqrt{ab c^{2} } \ge 6a^{2} + 6b^{2} +6c^{2} + 6ab + 6bc + 6ac}\)
jeżeli tak to nie wiem jeszcze jak wybrnąć z tego pierwiastka
nie wiem czy już porządkować wyrazy czy dalej zamiast pisać w lewej stronie \(\displaystyle{ 2( a^{2} + b^{2})}\) to \(\displaystyle{ 4ab}\) itd.

Edit: ale ze mnie debil pomieszałem Cauchego z nierównością między średnimi.....
dzięki wielkie Mruczek Ps. a skąd wiedziałeś że akurat takie działanie trzeba wykonać?
Do zamknięcia

[m-2]

zad. 4, finał 55. OM