[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08
: 1 maja 2012, o 17:31
Rzecz o pierwszym meczu na owym Zwardoniu. Moim zdaniem zadania są raczej harde. Mi do tej pory się udało zrobić tylko 1, 10 i 11. Jestem ciekaw ile zadanek padnie na forum .
1. Kulka będziemy nazywać kulę o promieniu 1. Układ \(\displaystyle{ n}\) parami rozłącznych kulek w kuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\) nazywamy dobrym jeżeli nie da się do niego dołożyć kolejnej kulki i mega-dobrym jeżeli jest dobry i nie istnieje dobry układ o większej liczbie kulek. Dla dwóch mega-dobrych układów X i Y udowodnij, że da się tak ustawić środki kulek z układu X w ciąg \(\displaystyle{ A_1, A_2, ..., A_n}\) i środki kulek z układu Y w ciąg \(\displaystyle{ B_1, B_2, ..., B_n}\), że \(\displaystyle{ A_iB_i \leq 2}\) dla każdego \(\displaystyle{ i=1, 2, ..., n}\).
2. Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{R^{+}} \rightarrow \mathbb{R^{+}}}\) spełniające dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R^{+}}}\):
\(\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)}\)
3. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą liczbami dodatnimi rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ 21ab+2bc+8ca \leq 12}\). Znajdź najmniejszą możliwą wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}}\).
4. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{p-1}2^ii^{p-2} \equiv_p \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i^{p-2}}\)
5. Dany jest czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) i punkty \(\displaystyle{ K, L, M, N, O P}\) kolejno na krawędziach \(\displaystyle{ AB, AC, AD, BC, BD, CD}\). Udowodnij, że sfery opisane na czworościanach \(\displaystyle{ AKLM, BKNO, CLNP}\) i \(\displaystyle{ DMOP}\) przecinają się w 1 punkcie.
6. Ahmed i Fredek zdecydowali się zagrać w grę. Tym razem mają nieskończoną szachownicę, początkowo pusta. Ahmed stawia krzyżyki, a Fredek kółka, wykonują ruchy na zmianę (stawiają znaczki na dowolnym pustym polu). Wygrywa ten, który pierwszy ułoży \(\displaystyle{ n}\) swoich sąsiadujących znaczków w kolumnie, w rzędzie lub w ukosie. Rozstrzygnąć, czy istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że żaden z graczy nie może wygrać przy optymalnej strategii drugiego gracza.
7. Znaleźć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P}\) takie, że dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ P(x^2+1)=P(x)^2+1}\).
8. Dany jest ciąg wektorów jednostkowych \(\displaystyle{ v_1, ..., v_n}\). Rozstrzygnąć, czy zawsze można tak dobrać znaki, że dla każdego \(\displaystyle{ k=1, ..., n}\) wektor \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} \pm v_i}\) znajduje się w kole o promieniu 3.
9. Rozwiąż w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x^3+2x+1=2^n}\)
10. Okrąg o środku w \(\displaystyle{ O}\) jest styczny wewnętrznie do dwóch okręgów w jego wnętrzu w punktach \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\). Okręgi te przecinają się w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\), przy czym \(\displaystyle{ N}\) leży bliżej prostej \(\displaystyle{ ST}\) niż \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle SMN=90^{o} \Leftrightarrow S, N, T}\) są współliniowe.
11. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą naturalną większą od 1. Udowodnij, że z ciągu \(\displaystyle{ a_n=a^{n+1}+a^n-1}\) da się wybrać nieskończony podciąg, w którym każde 2 wyrazy są względnie pierwsze.
12. Symetralne boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) trójkąta nierównobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają proste zawierające BC i AB w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\). Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ A_1AC}\) i \(\displaystyle{ C_1CA}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ B'}\). Analogicznie definiujemy punkty \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ C'}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ A', B', C'}\) oraz \(\displaystyle{ O}\) są współliniowe, gdzie \(\displaystyle{ O}\), to wiadomo co.
1. Kulka będziemy nazywać kulę o promieniu 1. Układ \(\displaystyle{ n}\) parami rozłącznych kulek w kuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\) nazywamy dobrym jeżeli nie da się do niego dołożyć kolejnej kulki i mega-dobrym jeżeli jest dobry i nie istnieje dobry układ o większej liczbie kulek. Dla dwóch mega-dobrych układów X i Y udowodnij, że da się tak ustawić środki kulek z układu X w ciąg \(\displaystyle{ A_1, A_2, ..., A_n}\) i środki kulek z układu Y w ciąg \(\displaystyle{ B_1, B_2, ..., B_n}\), że \(\displaystyle{ A_iB_i \leq 2}\) dla każdego \(\displaystyle{ i=1, 2, ..., n}\).
2. Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{R^{+}} \rightarrow \mathbb{R^{+}}}\) spełniające dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R^{+}}}\):
\(\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)}\)
3. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą liczbami dodatnimi rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ 21ab+2bc+8ca \leq 12}\). Znajdź najmniejszą możliwą wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}}\).
4. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{p-1}2^ii^{p-2} \equiv_p \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i^{p-2}}\)
5. Dany jest czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) i punkty \(\displaystyle{ K, L, M, N, O P}\) kolejno na krawędziach \(\displaystyle{ AB, AC, AD, BC, BD, CD}\). Udowodnij, że sfery opisane na czworościanach \(\displaystyle{ AKLM, BKNO, CLNP}\) i \(\displaystyle{ DMOP}\) przecinają się w 1 punkcie.
6. Ahmed i Fredek zdecydowali się zagrać w grę. Tym razem mają nieskończoną szachownicę, początkowo pusta. Ahmed stawia krzyżyki, a Fredek kółka, wykonują ruchy na zmianę (stawiają znaczki na dowolnym pustym polu). Wygrywa ten, który pierwszy ułoży \(\displaystyle{ n}\) swoich sąsiadujących znaczków w kolumnie, w rzędzie lub w ukosie. Rozstrzygnąć, czy istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że żaden z graczy nie może wygrać przy optymalnej strategii drugiego gracza.
7. Znaleźć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P}\) takie, że dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ P(x^2+1)=P(x)^2+1}\).
8. Dany jest ciąg wektorów jednostkowych \(\displaystyle{ v_1, ..., v_n}\). Rozstrzygnąć, czy zawsze można tak dobrać znaki, że dla każdego \(\displaystyle{ k=1, ..., n}\) wektor \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} \pm v_i}\) znajduje się w kole o promieniu 3.
9. Rozwiąż w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x^3+2x+1=2^n}\)
10. Okrąg o środku w \(\displaystyle{ O}\) jest styczny wewnętrznie do dwóch okręgów w jego wnętrzu w punktach \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\). Okręgi te przecinają się w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\), przy czym \(\displaystyle{ N}\) leży bliżej prostej \(\displaystyle{ ST}\) niż \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle SMN=90^{o} \Leftrightarrow S, N, T}\) są współliniowe.
11. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą naturalną większą od 1. Udowodnij, że z ciągu \(\displaystyle{ a_n=a^{n+1}+a^n-1}\) da się wybrać nieskończony podciąg, w którym każde 2 wyrazy są względnie pierwsze.
12. Symetralne boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) trójkąta nierównobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają proste zawierające BC i AB w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\). Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ A_1AC}\) i \(\displaystyle{ C_1CA}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ B'}\). Analogicznie definiujemy punkty \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ C'}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ A', B', C'}\) oraz \(\displaystyle{ O}\) są współliniowe, gdzie \(\displaystyle{ O}\), to wiadomo co.