[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: Swistak » 1 maja 2012, o 17:31

Rzecz o pierwszym meczu na owym Zwardoniu. Moim zdaniem zadania są raczej harde. Mi do tej pory się udało zrobić tylko 1, 10 i 11. Jestem ciekaw ile zadanek padnie na forum .

1. Kulka będziemy nazywać kulę o promieniu 1. Układ \(\displaystyle{ n}\) parami rozłącznych kulek w kuli o promieniu \(\displaystyle{ R}\) nazywamy dobrym jeżeli nie da się do niego dołożyć kolejnej kulki i mega-dobrym jeżeli jest dobry i nie istnieje dobry układ o większej liczbie kulek. Dla dwóch mega-dobrych układów X i Y udowodnij, że da się tak ustawić środki kulek z układu X w ciąg \(\displaystyle{ A_1, A_2, ..., A_n}\) i środki kulek z układu Y w ciąg \(\displaystyle{ B_1, B_2, ..., B_n}\), że \(\displaystyle{ A_iB_i \leq 2}\) dla każdego \(\displaystyle{ i=1, 2, ..., n}\).

2. Znajdź wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \mathbb{R^{+}} \rightarrow \mathbb{R^{+}}}\) spełniające dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in \mathbb{R^{+}}}\):
\(\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x+y)+f(y)}\)

3. Niech \(\displaystyle{ a, b, c}\) będą liczbami dodatnimi rzeczywistymi takimi, że \(\displaystyle{ 21ab+2bc+8ca \leq 12}\). Znajdź najmniejszą możliwą wartość \(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}}\).

4. Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie nieparzystą liczbą pierwszą. Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{p-1}2^ii^{p-2} \equiv_p \sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i^{p-2}}\)

5. Dany jest czworościan \(\displaystyle{ ABCD}\) i punkty \(\displaystyle{ K, L, M, N, O P}\) kolejno na krawędziach \(\displaystyle{ AB, AC, AD, BC, BD, CD}\). Udowodnij, że sfery opisane na czworościanach \(\displaystyle{ AKLM, BKNO, CLNP}\) i \(\displaystyle{ DMOP}\) przecinają się w 1 punkcie.

6. Ahmed i Fredek zdecydowali się zagrać w grę. Tym razem mają nieskończoną szachownicę, początkowo pusta. Ahmed stawia krzyżyki, a Fredek kółka, wykonują ruchy na zmianę (stawiają znaczki na dowolnym pustym polu). Wygrywa ten, który pierwszy ułoży \(\displaystyle{ n}\) swoich sąsiadujących znaczków w kolumnie, w rzędzie lub w ukosie. Rozstrzygnąć, czy istnieje takie \(\displaystyle{ n}\), że żaden z graczy nie może wygrać przy optymalnej strategii drugiego gracza.

7. Znaleźć wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P}\) takie, że dla dowolnego rzeczywistego \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ P(x^2+1)=P(x)^2+1}\).

8. Dany jest ciąg wektorów jednostkowych \(\displaystyle{ v_1, ..., v_n}\). Rozstrzygnąć, czy zawsze można tak dobrać znaki, że dla każdego \(\displaystyle{ k=1, ..., n}\) wektor \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{k} \pm v_i}\) znajduje się w kole o promieniu 3.

9. Rozwiąż w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x^3+2x+1=2^n}\)

10. Okrąg o środku w \(\displaystyle{ O}\) jest styczny wewnętrznie do dwóch okręgów w jego wnętrzu w punktach \(\displaystyle{ S}\) i \(\displaystyle{ T}\). Okręgi te przecinają się w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\), przy czym \(\displaystyle{ N}\) leży bliżej prostej \(\displaystyle{ ST}\) niż \(\displaystyle{ M}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle SMN=90^{o} \Leftrightarrow S, N, T}\) są współliniowe.

11. Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie liczbą naturalną większą od 1. Udowodnij, że z ciągu \(\displaystyle{ a_n=a^{n+1}+a^n-1}\) da się wybrać nieskończony podciąg, w którym każde 2 wyrazy są względnie pierwsze.

12. Symetralne boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) trójkąta nierównobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają proste zawierające BC i AB w punktach odpowiednio \(\displaystyle{ A_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\). Dwusieczne kątów \(\displaystyle{ A_1AC}\) i \(\displaystyle{ C_1CA}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ B'}\). Analogicznie definiujemy punkty \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ C'}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ A', B', C'}\) oraz \(\displaystyle{ O}\) są współliniowe, gdzie \(\displaystyle{ O}\), to wiadomo co.
Ostatnio zmieniony 2 maja 2012, o 15:56 przez Swistak, łącznie zmieniany 2 razy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
cyberciq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 43 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: cyberciq » 1 maja 2012, o 18:16

2:    
Ale niech ktoś to sprawdzi jeszcze czy nie ma blefa gdzieś.

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: Swistak » 1 maja 2012, o 19:02

Gratki, nie ma blefa : D.
Ale jeszcze trzeba doprecyzować pewne szczegóły
Ukryta treść:    
A teraz możesz zobaczyć firmówkę o0. Co prawda jej nie czytałem, ale graficznie chyba ją trochę miażdysz .

Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wschod
Pomógł: 1 raz

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: Utumno » 2 maja 2012, o 09:37

w pierwszym nie rozumiem, co znaczy 'jeżeli nie da się do niego dołożyć kolejnej kulki' ? Czegos tutaj brakuje.

radenille
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 6 kwie 2012, o 18:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Pomógł: 1 raz

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: radenille » 2 maja 2012, o 11:15

Swistak pisze: 9. Rozwiąż w liczbach naturalnych \(\displaystyle{ x^3+2x+1=2^n}\)
Ukryta treść:    

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: marcin_smu » 2 maja 2012, o 14:26

Utumno:
Zajrzałem do książeczki z tego Zwardonia i istotnie Świstak pominą część zadania. Powinno tam być zdanie

Układ n parami rozłącznych kulek zawartych w kuli K o promieniu R nazywamy dobrym,
gdy nie da się dołożyć do niego kolejnej kulki (rozłącznej i zawartej w K), ...

radenille:
Chyba jednak masz blefa
Po pierwsze nie rozumiem czemu \(\displaystyle{ n=2k}\).
Po drugie z faktu, iż \(\displaystyle{ a \cdot b = x \cdot y}\) nie wynika, że \(\displaystyle{ a=x}\) lub \(\displaystyle{ a=y}\)

Awatar użytkownika
cyberciq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 43 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: cyberciq » 2 maja 2012, o 15:02

7: może ktoś ładnie dokończy to rozwiązanie?:    
pozdrawiam

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: marcin_smu » 2 maja 2012, o 15:29

6:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: Swistak » 2 maja 2012, o 16:14

Udało mi się znaleźć niesamowicie przepiękne rozwiązanie zad.3!
3:    
Nie ukrywam, że nie obeszło się bez sprawdzenia w rozwiązaniu, dla jakich zmiennych zachodzi równość, aby kontrolować obliczenia, w których była masa błędów .

PS: Poprawiłem błąd w zad. 1

Awatar użytkownika
adamm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 253
Rejestracja: 1 paź 2009, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sopot/Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 15 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: adamm » 2 maja 2012, o 16:22

Swistak pisze: i otrzymujemy, że \(\displaystyle{ -12y^4+4y^3+33y^2+10y-7=0}\). To możemy rozwalić Ferrarim albo...
...albo profiles/65666.htm

Hassgesang
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 201
Rejestracja: 26 mar 2012, o 20:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 16 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: Hassgesang » 3 maja 2012, o 16:40

Albo z tw. Bezouta (minus jedynka) i kombinować dalej...

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[MIX] - Masakryczny mecz, Zwardoń 08

Post autor: Swistak » 3 maja 2012, o 20:30

No bez wolframa to se można chyba najłatwiej poradzić tak, że właśnie \(\displaystyle{ -1}\) i Bezout, a potem albo jak ktoś lubi, to zgadywać i zobaczyć \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) i znowu Bezout i rozwalić trójmian deltą, albo jak ktoś nie zgadnie \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) to może nawalać Cardano ; p.

ODPOWIEDZ