[Kombinatoryka] Parkiet

[Utumno]

Niech \(\displaystyle{ \mathbb L}\) bedzie siedmiokatem wypuklym. Udowodnij, ze z figury \(\displaystyle{ \mathbb L}\) nie da sie ulozyc parkietu.

( tzn. nie da sie zapelnic plaszczyzny \(\displaystyle{ \mathbb R^{2}}\) figurami \(\displaystyle{ \mathbb L}\) w taki sposob, zeby kazdy jej punkt nalezal albo do wnetrza dokladnie jednej figury \(\displaystyle{ \mathbb L}\), albo do brzegow i/lub wierzcholkow kilku figur \(\displaystyle{ \mathbb L}\) )

Bonus: czy da sie ulozyc parkiet z jakiegokolwiek n-kata wypuklego \(\displaystyle{ \mathbb L_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 7}\) ?

[Swistak]

Bonus: Nietrudno skonstruować odpowiedni np. 8-kąt (i w ogóle każdy parzystokąt), z którego da się zrobić parkiet. Weźmy sobie kwadrat i do jednego boku doklejmy jakiś mały trapez, którego dłuższa podstawa jest bokiem tego kwadratu. Z drugiej strony tego samego kwadratu wytnijmy taki sam trapez. Łatwo zauważyć, że z czegoś takiego da się zrobić parkiet.

[marcin_smu]

Swistak:
Czy aby na pewno otrzymany wielokąt będzie wypukły?

Chyba jednak nie ma szukanego n-kąta dla \(\displaystyle{ n \ge 7}\). A oto moje kilka faktów, które mogą pomóc w udowodnieniu tej tezy.

Ukryta treść:    

Średnia wielkość kąta w n-kącie wynosi \(\displaystyle{ \pi \frac {n-2}{n}}\).
Ze względu na wypukłość \(\displaystyle{ \mathbb L}\), w każdym wierzchołku spotykają się co najmniej 3 kąty.
A nierówność \(\displaystyle{ 3 \cdot \pi \frac {n-2}{n} \le 2 \pi}\) implikuje \(\displaystyle{ n \le 6}\).

[Utumno]

Swistak: twoj osmiokat nie jest wypukly.
Marcin: od tego wlasnie zaczyna sie scisly dowod, ale do kompletnosci jeszcze daleko