[Kombinatoryka] Parkiet

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wschod
Pomógł: 1 raz

[Kombinatoryka] Parkiet

Post autor: Utumno » 16 kwie 2012, o 10:41

Niech \(\displaystyle{ \mathbb L}\) bedzie siedmiokatem wypuklym. Udowodnij, ze z figury \(\displaystyle{ \mathbb L}\) nie da sie ulozyc parkietu.

( tzn. nie da sie zapelnic plaszczyzny \(\displaystyle{ \mathbb R^{2}}\) figurami \(\displaystyle{ \mathbb L}\) w taki sposob, zeby kazdy jej punkt nalezal albo do wnetrza dokladnie jednej figury \(\displaystyle{ \mathbb L}\), albo do brzegow i/lub wierzcholkow kilku figur \(\displaystyle{ \mathbb L}\) )

Bonus: czy da sie ulozyc parkiet z jakiegokolwiek n-kata wypuklego \(\displaystyle{ \mathbb L_{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n \ge 7}\) ?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Kombinatoryka] Parkiet

Post autor: Swistak » 17 kwie 2012, o 00:24

Bonus: Nietrudno skonstruować odpowiedni np. 8-kąt (i w ogóle każdy parzystokąt), z którego da się zrobić parkiet. Weźmy sobie kwadrat i do jednego boku doklejmy jakiś mały trapez, którego dłuższa podstawa jest bokiem tego kwadratu. Z drugiej strony tego samego kwadratu wytnijmy taki sam trapez. Łatwo zauważyć, że z czegoś takiego da się zrobić parkiet.

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

[Kombinatoryka] Parkiet

Post autor: marcin_smu » 17 kwie 2012, o 01:13

Swistak:
Czy aby na pewno otrzymany wielokąt będzie wypukły?

Chyba jednak nie ma szukanego n-kąta dla \(\displaystyle{ n \ge 7}\). A oto moje kilka faktów, które mogą pomóc w udowodnieniu tej tezy.
Ukryta treść:    

Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 51
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wschod
Pomógł: 1 raz

[Kombinatoryka] Parkiet

Post autor: Utumno » 17 kwie 2012, o 05:44

Swistak: twoj osmiokat nie jest wypukly.
Marcin: od tego wlasnie zaczyna sie scisly dowod, ale do kompletnosci jeszcze daleko

ODPOWIEDZ