[Kombinatoryka] Obroty odcinka

[Utumno]

Na plaszczyzne \(\displaystyle{ R^{2}}\) polozono odcinek dlugosci 2012 tak, ze jest on rownolegly do osi X i nie zawiera zadnych punktow kratowych. Rozstrzygnac, czy da sie ten odcinek obrocic o 180 stopni w ten sposob, zeby w zadnym momencie tej operacji nie zawieral on zadnego punktu kratowego.

[marcin_smu]

Ukryta treść:    

Oczywiście się da. Weźmy jakiś fajny punkt przestrzeni np. o współrzędnych \(\displaystyle{ ( \pi ; e)}\). Przesuńmy nasz odcinek tak, aby go zawierał. Następnie zacznijmy nim kręcić zgodnie z ruchem wskazówek zegara (względem naszego fajnego punktu). Aż nasza prosta zacznie niebezpiecznie zbliżać się do jakiegoś punktu kratowego, wtedy omińmy ten punkt kratowy, tj. przesuńmy odcinek nie zmieniając prostej do której należy z dala od omijanego punktu i przekręćmy o epsilon. Nie zawadzimy innego punktu przekręcając o epsilon, gdyż nasz punkt jest na tyle fajny, że nie leży na prostej zawierającej 2 punkty kratowe. Postępujemy tak, aż ominiemy wszystkie skończenie wiele punktów, które mieliśmy ominąć i spełnimy warunki zadania.

[Panda]

Czy można składać przekształcenia, czy trzeba wykonać jeden obrót wokół jednego środka?

[Utumno]

marcin_smu:

a) po pierwsze przemycasz teze, jakoby suma obrotow 'o niezerowy epsilon' musiala sie zlozyc do czegos \(\displaystyle{ \ge \Pi}\), tzn tak naprawde wydajesz sie zakladac, ze suma nieskonczonej ilosci niezerowych liczb jest zawsze rozbiezna.
b) po drugie twierdzisz, ze ilosc punktow 'do ominiecia' jest skonczona. Dlaczego? Zeby tak twierdzic, musialbys jeszcze udowodnic, ze manipulacje odcinkiem tak jak napisales da sie wykonac nie opuszczajac nigdy jakiegos skonczenie duzego obszaru.

Panda:

oczywiscie ze mozna skladac; mozna wykonywac dowolne manipulacje odcinkiem byleby tylko nie opuscil on plaszczyzny i nie zawarl w zadnym momencie punktu kratowego.

[Swistak]

To rozwiązanie z grubsza przechodzi. Wiemy, że zawsze jak chcemy ominąć jakiś punkt, to wystarczy, że niedaleko zajedziemy tym odcinkiem i już możemy go ominąć, zawsze możemy się zmieścić w kole o promieniu 2012 i zadanym środku, co powoduje, że punktów do ominięcia jest skończenie wiele.

[norwimaj]

Ja bym się jednak do czegoś przyczepił, ale do czego innego. Skąd wiadomo, że punkt \(\displaystyle{ (\pi, e)}\) jest fajny, czyli że \(\displaystyle{ \frac{\pi}{e}}\) jest liczbą niewymierną? Nie lepiej by było wybrać taki punkt, którego fajność da się udowodnić na poziomie szkoły?

[Utumno]

Dalej bede krecil nosem. Moim zdaniem to, ze mozna zawsze pozostac wewnatrz okregu o promieniu 2012 jest nieoczywiste - powiedzmy, ze na poczatku odcinek przechodzi przez srodek tego okregu; przesuwamy go rownolegle, omijamy punkt, obracamy 'o epsilon' ( czyli o ile? trzebaby tu oszacowac z dolu ten epsilon zeby moc twierdzic ze suma takich obrotow osiagnie \(\displaystyle{ \Pi}\) po skonczenie wielu krokach) , i odcinek nie przechodzi juz przez srodek okregu - i niewykluczone, ze po ilus tam takich manipulacjach odcinek bedzie juz na tyle daleko od srodka, ze trzeba bedzie ten okrag opuscic. Tak naprawde wydaje mi sie to nawet pewne - po kazdym kroku zwiekszamy odleglosc prostej zawierajacej nasz odcinek od srodka okregu w ktorym ten odcinek ma pozostac.

Mysle ze nawet wersja uzupelniona o uzasadnienie Swistaka to jakies 4p gora

[marcin_smu]

Utumno:

Oj wiadomo, że nie udowodniłem wszystkich faktów, ale są one na tyle proste, że w moim szkicu dowodu można je było pominąć.
b) Tak jak już napisał Świstak moją ideą było to, aby do odcinka już zawsze należał nasz fajny punkt i wszystkie obroty były wykonywane względem tego właśnie punktu. Czyli rozpatrujemy tylko punkty kratowe należące do okręgu o promieniu 2012 i środku w naszym fajnym punkcie.
a) Wręcz przeciwnie przekręcenia o epsilon mają się sumować do epsilon a nie do \(\displaystyle{ \Pi}\), pozostałe \(\displaystyle{ \Pi - \epsilon}\) otrzymujemy z obrotów między poszczególnymi ominięciami

norwimaj:

Oto kluczowy fragment na odparcie twojego zarzutu

np.

Dowód, że jakiś fajny punkt istnieje, jest trywialny po ograniczeniu naszych rozważań to jakiegoś wystarczająco dużego podzbioru płaszczyzny o skończonej liczbie punktów kratowych.

[norwimaj]

Oczywiście fajne punkty istnieją. Nawet nie trzeba nigdzie przesuwać odcinka, bo on sam już na początku zawiera mnóstwo fajnych punktów.

Jednak mojego zarzutu nie odparłeś. Nadal nie wiem czy punkt \(\displaystyle{ (\pi,e)}\) jest fajny.

[marcin_smu]

No dobra masz racje. Dowód faktu, iż \(\displaystyle{ \frac{\pi}{e}}\) jest niewymierne nie jest łatwy.