[MIX] Próbny finał OM

[patry93]

Też sobie pozwoliłem

1. W trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) \(\displaystyle{ \angle ABC = 2 \cdot \angle ACB}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) to środek boku \(\displaystyle{ BC}\). Dwusieczna kąta \(\displaystyle{ ACB}\) przecina odcinek \(\displaystyle{ AM}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Udowodnij, że \(\displaystyle{ \angle MDC \le 45^{\circ}}\).

2. Wyznacz wszystkie liczby \(\displaystyle{ n \in \mathbb{Z}_{+}}\) takie, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{R}_{+}}\) spełniających \(\displaystyle{ x^3 + y^3 \le 2xy}\), zachodzi \(\displaystyle{ x^n + y^n \le 2}\).

3. Liczby \(\displaystyle{ p, q}\) są całkowite dodatnie i względnie pierwsze. Podzbiór \(\displaystyle{ S}\) zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_{+} \cup {0}}\) nazwiemy "dzikim", jeżeli \(\displaystyle{ 0 \in S}\) oraz \(\displaystyle{ \forall n \in S \ n + p \in S \ \wedge \ n + q \in S}\). Znajdź liczbę "dzikich" podzbiorów.

Mam nadzieję, że nie bardzo suche ;P

[kaszubki]

trzecie:    

Rumuńskie TST 2001 i Zwardoń 2001 drużynowe zadanie 8. Odpowiedź to \(\displaystyle{ \frac{\binom{p+q}{p}}{p+q}}\)

[Ponewor]

odświeżam temat

[patry93]

Nie widzę przycisku "w górę", więc podnoszę standardowo.

To są fajne zadanka - co z Wami?
Róbcie, bo jak wrócę do domu za jakiś miesiąc, to zerknę do notatek i rzucę hintami, które popsują zabawę (tak, przyznaję, że nie pamiętam dokładnie jak się je robiło, ale pamiętam, że triki były zacne).

[arek1357]

ad.2

Ukryta treść:    

Według mnie n jest dowolne większe od jeden

Bo pierwszy wykres zawiera się w kwadracie:

jednostkowym w I ćwiartce czyli:

\(\displaystyle{ (0,0)(1,0)(0,1)(1,1)}\)

a wykresy:

\(\displaystyle{ x^n+y^n \le 2}\)
zawierają ten kwadrat

[Vax]

ad.2

Ukryta treść:    

Według mnie n jest dowolne większe od jeden

Bo pierwszy wykres zawiera się w kwadracie:

jednostkowym w I ćwiartce czyli:

\(\displaystyle{ (0,0)(1,0)(0,1)(1,1)}\)

a wykresy:

\(\displaystyle{ x^n+y^n \le 2}\)
zawierają ten kwadrat

Kontrprzykład:    

\(\displaystyle{ (x,y,n) = (1.045,0.925,10)}\)

2:    

Zauważmy, że dla \(\displaystyle{ n=9}\) teza działa:

\(\displaystyle{ x^9+y^9 = (x^3+y^3)((x^3+y^3)^2-3x^3y^3) \le 2xy(4x^2y^2-3x^3y^3) = 8t^3-6t^4}\) gdzie \(\displaystyle{ t=xy}\), mamy pokazać \(\displaystyle{ 8t^3-6t^4 \le 2 \iff (t-1)^2(3t^2+2t+1) \ge 0}\) co jest prawdą. Stąd ze średnich potęgowych wynika, że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \le 9}\) teza działa. A dla \(\displaystyle{ n=10}\) nie działa \(\displaystyle{ (x,y) = (1.045 , 0.925)}\) i ze średnich potęgowych dostajemy, że jest to też kontrprzykład dla każdego \(\displaystyle{ n>10}\), skąd odpowiedzią jest \(\displaystyle{ n \le 9}\)

1:    

Niech dwusieczna kąta \(\displaystyle{ \angle CBA}\) tnie \(\displaystyle{ |AC|}\) w punkcie \(\displaystyle{ X}\), oraz niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie rzutem \(\displaystyle{ X}\) na \(\displaystyle{ AB}\), wówczas \(\displaystyle{ |XB| = |XC|}\) skąd \(\displaystyle{ \angle CMX = \frac{\pi}{2}}\), oraz \(\displaystyle{ |XM| = |XY| \le |XA|}\), czyli \(\displaystyle{ \angle MAX \le \angle XMA}\), czyli:

\(\displaystyle{ 2\angle MDC = 2\angle MAX + 2\angle ACD \le \angle MAX + \angle XMA + \angle ACM = \angle MXC + \angle ACM = \frac{\pi}{2} \iff \angle MDC \le \frac{\pi}{4}}\)

[arek1357]

NNo dokładnie jednak intuicja bywa zawodna


Ciekawe do jakiej granicy zmierza :

\(\displaystyle{ x^n+y^n=2}\)

Bo w takim układzie chyba nie do kwadratu jednostkowego.

Ciekawe wydają się te owale(ćwiartki pseudookręgów w pierwszej ćwiartce) i badanie ich własności dla różnych \(\displaystyle{ n}\)