[Nierówności] Suma modułów

[skazy]

udowodnić w rzeczywistych, że

\(\displaystyle{ \left| a\right| + \left| b\right| + \left| c\right| - \left| a+b \right| - \left| b+c \right| - \left| c+a \right| + \left| a+b+c \right| \ge 0}\)

[Tmkk]

Nie wystarczy skorzystać z tego, że \(\displaystyle{ \left| a+b\right| \ge \left| a\right| -\left| b\right|}\) ?

Racja, nvm.

[skazy]

nie wydaje mi się, ale jeśli twoim zdaniem jest to oczywiste to zapraszam cię do przedstawienia swojego rozwiązania

[timon92]

popoviciu

[porfirion]

A ja mam taki prościutki pomysł (bez żadnych popopopoviciu )
Zapisujemy równoważnie:
\(\displaystyle{ \left| a\right| + \left| b\right| + \left| c\right| + \left| a+b+c \right| \ge \left| a+b \right| + \left| b+c \right| + \left| c+a \right|}\)
Na potrzeby zadania zero zaliczajmy do liczb dodatnich.
Gdy \(\displaystyle{ a, b, c}\) są tego samego znaku, zachodzi równość.
Bez straty ogólności załóżmy więc, że \(\displaystyle{ a,b}\) są innego znaku niż \(\displaystyle{ c}\).
Nierówność upraszcza się do postaci:
\(\displaystyle{ \left| c\right| + \left| a+b+c \right| \ge \left| b+c \right| + \left| c+a \right|}\)
A tu wystarczy kilka przypadków rozpatrzeć i tyle.

[Ponewor]

Nierówność trafiła do 101 nierozwiązanych, kiedy timon92 w zasadzie ją rozwiązał

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \left| a\right| + \left| b\right| + \left| c\right| - \left| a+b \right| - \left| b+c \right| - \left| c+a \right| + \left| a+b+c \right| = \\ = \left| a\right| + \left| b\right| + \left| c\right| - \left|2 \cdot \frac{ a+b}{2} \right| - \left|2 \cdot \frac{ b+c}{2} \right| - \left|2 \cdot \frac{ c+a}{2} \right| + \left|3\cdot \frac{ a+b+c}{3} \right| = \\ = \left| a\right| + \left| b\right| + \left| c\right| - 2\left| \cdot \frac{ a+b}{2} \right| - 2\left| \cdot \frac{ b+c}{2} \right| - 2\left| \cdot \frac{ c+a}{2} \right| + 3\left|\cdot \frac{ a+b+c}{3} \right| \ge 0}\)
Oznaczmy \(\displaystyle{ |x|=f\left( x\right)}\) i zauważmy, że \(\displaystyle{ f\left( x\right)}\) jest funkcją wypukłą.
\(\displaystyle{ \Leftrightarrow f\left( a\right) +f\left( b\right) +f\left(c \right) +3f\left( \frac{a+b+c}{3}\right) \ge 2f\left( \frac{a+b}{2}\right)+2f\left( \frac{b+c}{2}\right)+2f\left( \frac{c+a}{2}\right)}\)
a to właśnie Popoviciu.

[mol_ksiazkowy]

A czy można uogólnić tę nierówność dla liczb zespolonych…?

A to jest nierówność Hlawka.
Czy istnieją inne uogólnienia...?

Ukryta treść:    

https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=133803

[Marcinek665]

Skoro już odkopano ten temat, to ja dodam, że nie należy tej nierówności dowodzić za pomocą Popoviciu, bo dowód Popoviciu korzysta z niej właśnie.

Mniej więcej to wygląda tak jak dowodzenie, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1}\) za pomocą reguły delopitala. Niby wolno, ale nie wypada.