[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: ares41 » 24 lut 2012, o 13:14

Jako, że granice ciągów i funkcji względnie rzadko można spotkać w Kółku postanowiłem umieścić kilka zadań z nimi związanych.

1. Wyznaczyć podane granice.

a) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1^p+2^p+3^p+\ldots+n^p}{n^{p+1}}}\)
dla \(\displaystyle{ p\in\mathbb{N}_+}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} {n \choose k}}}\)

c) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a+ \sqrt{a} + \sqrt[3]{a} +\ldots+ \sqrt[n]{a} -n}{\ln n}}\)

d) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=0}^{n} \frac{(k+1)(k+2) \cdot \ldots \cdot (k+p)}{n^{p+1}}}\)
dla \(\displaystyle{ p\in\mathbb{N}_+}\)

e) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1+ \sqrt[2^2]{2!}+ \sqrt[3^2]{3!} +\ldots+ \sqrt[n^2]{n!} }{n}}\)

2. Rozważmy ciąg dodatnich liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ (a_n)_{n \ge 1}}\) takich że \(\displaystyle{ a_{n+1}- \frac{1}{a_{n+1}}=a_{n}+ \frac{1}{a_{n}}}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\).
Wyznaczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1}{ \sqrt{n} } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_{k}}}\)

3. Rozważmy ciąg \(\displaystyle{ (a_n)_{n \ge 1}}\) spełniający warunki \(\displaystyle{ a_0=2}\) i \(\displaystyle{ a_{n-1}-a_{n}= \frac{n}{(n+1)!}}\) Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \left( n+1 \right) !\ln a_n \right)}\)

4. Niech \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \ f(x)= \begin{cases} \left\lfloor x\right\rfloor , \;\; \mbox{ dla } x \in \mathbb{Q} \\ x , \;\; \mbox{ dla } x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} \end{cases}}\) Znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ a\in\mathbb{R}}\) dla których istnieje \(\displaystyle{ \lim_{x \to a } f(x)}\)

5. Niech \(\displaystyle{ a>b>0}\) i \(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}}\)
a) Udowodnić, że istnieją \(\displaystyle{ \left( x_n \right) _{n \ge 1}, \left( y_n \right) _{n \ge 1}\in \mathbb{R}}\) takie, że \(\displaystyle{ \begin{bmatrix} a&b\\b&a\end{bmatrix}^n=x_nA+y_nB}\) dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 1}\)
b) Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{x_n}{y_n}}\)

6. Rozważmy ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \left( x_n \right) _{n \ge 1}}\) taki, że \(\displaystyle{ x_n}\) jest rzeczywistym rozwiązaniem równania \(\displaystyle{ x^3+nx-n=0,\ n\in\mathbb{N}_+}\). Udowodnić, że dany ciąg jest zbieżny i policzyć jego granicę.

7. Zbadać zbieżność ciągu spełniającego warunek \(\displaystyle{ x_{n+1}= \frac{x_n+a}{x_n+1} , \ n \ge 1, \ x_1 \ge 0,\ a>0}\)

8. Weźmy ciąg liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ \left( x_n \right) _{n \ge 1}}\) taki, że \(\displaystyle{ x_1\in (0,1)}\) i dla każdego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego zachodzi \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n}^{2}-x_n+1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( x_1x_2 \cdot \ldots \cdot x_n \right)}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: » 24 lut 2012, o 13:33

Zadanie 8:    
Q.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: Sylwek » 24 lut 2012, o 15:01

1a):    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: » 24 lut 2012, o 15:15

Zadanie 7:    
Q.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: Sylwek » 24 lut 2012, o 15:31

4:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: » 24 lut 2012, o 16:04

Zadanie 6:    
Q.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: Sylwek » 20 maja 2012, o 16:41

1c:    

Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 9834
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2629 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: » 20 maja 2012, o 18:50

Zadanie 5:    
Q.

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: Sylwek » 20 maja 2012, o 20:49

3:    

Awatar użytkownika
JakimPL
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2401
Rejestracja: 25 mar 2010, o 12:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 459 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: JakimPL » 21 maja 2012, o 05:48

1b:    

Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: klaustrofob » 21 maja 2012, o 06:54

Ponownie 1a:    
1d:    
1e:    
-- 21 maja 2012, 08:37 --
2:    

Awatar użytkownika
ares41
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6499
Rejestracja: 19 sie 2010, o 08:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 142 razy
Pomógł: 922 razy

[Analiza] Kilka zadań dot. granic

Post autor: ares41 » 21 maja 2012, o 16:48

do JakimPL:    

ODPOWIEDZ