[MIX] 20 zadań

[ares41]

1. Znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ n\in \mathbb{N}}\) takie, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{ n} k!}\) jest kwadratem pewnej liczby naturalnej.
2. Wyznaczyć zbiór tych wartości \(\displaystyle{ \beta \in \mathbb{R}}\), dla których \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n^2-\beta}{n^2-\beta n} \right) ^{ \left( 1-n \right) \ln \left( -\beta \right) }<4}\).
3. \(\displaystyle{ a_1,a_2,\ldots,a_{mn+1}\in\mathbb{Z}}\). Udowodnić, że istnieje \(\displaystyle{ n+1}\) wyrazów, z których żaden nie dzieli żadnego następnego lub \(\displaystyle{ m+1}\) wyrazów, z których każdy dzieli następny.
4. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{\varphi \left( n \right) }{n}= \prod_{p|n} \left( 1- \frac{1}{p} \right)}\) interpretując lewą stronę jako prawdopodobieństwo, że losowo wybrana liczba ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1,\ldots,n \right\}}\) jest względnie pierwsza z \(\displaystyle{ n}\).
5. Udowodnić, że każda liczba względnie pierwsza z \(\displaystyle{ 10}\) ma swoją wielokrotność postaci \(\displaystyle{ 111...111}\).
6. Udowodnić, że jeżeli wielomian \(\displaystyle{ n}\) zmiennych \(\displaystyle{ f= \sum_{i=0}^{n} f_i \left( X_1,\ldots,X_{n-1} \right) X_n^i\in A \left[ X_1,\ldots,X_n \right]}\) jest wielomianem symetrycznym, to każdy z wielomianów \(\displaystyle{ f_i(X_1,\ldots,X_{n-1}), \ \ i\in \{0,1,\ldots,k\}}\) jest wielomianem symetrycznym \(\displaystyle{ n-1}\) zmiennych.
7. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left( a^m-1,a^n-1 \right) =a^{ \left( m,n \right) }-1}\) dla \(\displaystyle{ a>1, \ m,n \in \mathbb{Z}}\).
8. Dowieść, że dla każdego \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\) wielomian \(\displaystyle{ 1+ \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} +\ldots +\frac{x^n}{n!}}\) nie ma pierwiastków wielokrotnych.
9. Udowodnić, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=a_0+a_1x^3+a_2x^6+\ldots+a_kx^{3k}+\ldots+a_nx^{3n}}\) jest podzielny przez trójmian \(\displaystyle{ T(x)=x^2+x+1}\) wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego współczynników wynosi zero.
10. Obliczyć
\(\displaystyle{ \lim_{ n \to \infty } \left[ \lim_{x \to 0 } \left( 1+ \sum_{k=1}^{ \infty }\sin^2{ \left( kx \right) } \right) ^{ \frac{1}{n^3x^2} } \right].}\)
11. Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\ldots}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ 1=a_0 \le a_1\le a_2 \le \ldots \le a_n \le \ldots}\) Liczby \(\displaystyle{ b_1,b_2,\ldots}\) określamy wzorem \(\displaystyle{ b_n= \sum_{k=1}^{n} \left( 1- \frac{a_{k-1}}{a_k} \right) \frac{1}{ \sqrt{a_k} }}\)
a) pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ 0 \le b_n \le 2}\)
b) udowodnić, że dla każdej liczby \(\displaystyle{ c}\) spełniającej warunek \(\displaystyle{ 0 \le c \le 2}\) istnieją liczby \(\displaystyle{ a_0,a_1,a_2,\ldots}\) mające własność \(\displaystyle{ 1=a_0 \le a_1\le a_2 \le \ldots \le a_n \le \ldots}\), dla których nierówność \(\displaystyle{ b_n>c}\) zachodzi dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n}\).
12. Udowodnić, że jeżeli w czworościanie \(\displaystyle{ ABCD}\) krawędzie przeciwległe są równe, tj. \(\displaystyle{ AB=CD,\ AC=BD,\ AD=BC}\) to proste przechodzące przez środki krawędzi przeciwległych są wzajemnie prostopadłe i są osiami symetrii czworościanu.
13. Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej \(\displaystyle{ x}\) zachodzi \(\displaystyle{ 2^{\sin x}+2^{\cos x} \ge 2^{1- \frac{1}{ \sqrt{2} } }}\).
14. Dany jest zbiór liczb \(\displaystyle{ \left\{ 1,2,3,\ldots,100 \right\}}\). Ze zbioru tego utworzyć \(\displaystyle{ 10}\) parami rozłącznych podzbiorów\(\displaystyle{ N_i= \left\{ a_{i1,}a_{i2,},\ldots,a_{i10,} \right\} \ \left( i=1,2,\ldots,10 \right)}\) tak, aby wyrażenie \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{10} \prod_{j=1}^{10} a_{ij}}\) było największe.
15. Niech \(\displaystyle{ \alpha,\beta,\gamma}\) będą miarami kątów dowolnego trójkąta. Pokazać, że \(\displaystyle{ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma \le \frac{3}{2}}\).
16. Która z funkcji przyjmuje wartości większe: \(\displaystyle{ \sin{(\cos{x})}}\) czy \(\displaystyle{ \cos{(\sin{x})}}\) ? Uzasadnić.
17. Ile jest liczb naturalnych, nieposiadających zera w zapisie dziesiętnym, dla których suma cyfr równa się \(\displaystyle{ 11}\) ?
18. Trapez \(\displaystyle{ ABCD}\) o podstawach \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) jest wpisany w okrąg \(\displaystyle{ O_1}\). Okrąg \(\displaystyle{ O_2}\) jest styczny do odcinków \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ CA}\) oraz jest styczny wewnętrznie do okręgu \(\displaystyle{ O_1}\) w punkcie \(\displaystyle{ F}\). Okrąg wpisany w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) jest styczny do odcinka \(\displaystyle{ AB}\) w punkcie \(\displaystyle{ E}\). Dowieść, że punkty \(\displaystyle{ D,E,F}\) leżą na jednej prostej.
19. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}\) monotoniczne takie, że dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \in \mathbb{Z}}\) zachodzi \(\displaystyle{ f \left( x^{2009}+y^{2009} \right) = \left[ f \left( x \right) \right] ^{2009}+ \left[ f \left( x \right) \right] ^{2009}}\).
20. Wyznaczyć granice:
a) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{ \sqrt{{n+k \choose 2}} }{n^2}}\)

b) \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{ \prod_{k=1}^{n} \left( 1+ \frac{k}{n} \right) }.}\)

[timon92]

12.

Ukryta treść:    

pozaznaczać środki krawędzi i poszukać rombów

18.

Ukryta treść:    

jedno z zadań z obozu w Mszanie Dolnej 2011

można tu ładnie zaaplikować twierdzenie Caseya albo np. złożyć inwersję z dwusieczną

czemu tak mało geometrii?

[Qń]

Zadanie 8:    

Jeśli \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem co najmniej dwukrotnym, to \(\displaystyle{ W(a)=W'(a)=0}\). Ale \(\displaystyle{ 0=W(a)-W'(a) = \frac{a^n}{n!}}\), skąd wynika, że musiałoby być \(\displaystyle{ a=0}\). A zero jak widać pierwiastkiem nie jest.

Q.

[ElEski]

5:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ m}\) to ta nasza liczba
Niech \(\displaystyle{ a_{1} , a_{2} ,..., a_{n}}\) będzie cyklem przystawania kolejnych potęg dziesiątki \(\displaystyle{ (mod m)}\)
Teraz bierzemy sumę \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}}\) i patrzymy, do ilu \(\displaystyle{ (mod m)}\) ona przystaje. Niech \(\displaystyle{ a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{n}=k (mod m)}\). \(\displaystyle{ k}\) zatem jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ n}\)-cyfrowej liczby \(\displaystyle{ 1111...111}\) przez \(\displaystyle{ m}\), ale również resztą z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 1111...100..000}\), która ma \(\displaystyle{ n}\) jedynek i \(\displaystyle{ n}\) zer, ale również resztą z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 1111...10000000...0}\), która ma \(\displaystyle{ n}\) jedynek i \(\displaystyle{ 2n}\) zer itp.
Zatem liczba składająca się z \(\displaystyle{ mn}\) jedynek (\(\displaystyle{ 1111111111....1111}\)) przystaje do \(\displaystyle{ mn}\) \(\displaystyle{ (mod m)}\) czyli jest podzielna przez \(\displaystyle{ m}\)

1:

Ukryta treść:    

Ta liczba dla jakichś \(\displaystyle{ n>4}\) daje resztę \(\displaystyle{ 3}\) z dzielenia przez \(\displaystyle{ 5}\)

3:

Ukryta treść:    

Dowodzi się identycznie, co twierdzenie Erdosa-Szekeresa. ... unkcje.pdf

14:

Ukryta treść:    

Mamy sumę 10 iloczynów 10 liczb i ona ma być jak największa. No to wkładamy dowolnie te 100 liczb i teraz bierzemy zbiór w którym iloczyn jest największy (nie ma większego iloczynu). I teraz patrzymy, czy jest jakiś element tego zbioru, który jest mniejszy, niż element innego zbioru. Jeśli tak, to zamieniamy je miejscami i jest fajnie, jak nie to na razie stop. I tak postępujemy dalej, aż ten zbiór, który miał na początku największy iloczyn, będzie się składał z 91,92,...,100. I robimy tak dalej z pozostałymi 9 zbiorami blabla

17:

Ukryta treść:    

sporo

[Qń]

Zadanie 9:    

Każdy pierwiastek równania \(\displaystyle{ x^2+x+1=0}\) jest też pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ x^3=1}\) (różnym od jedynki), a zatem pierwiastkami tego trójmianu kwadratowego są dwa różne od jedynki pierwiastki trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ 1}\). Oczywiście dla każdego takiego pierwiastka jest \(\displaystyle{ W(\varepsilon ) =\sum_{i=0}^{n}a_i}\). Jeśli więc rzeczony wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\), to z twierdzenia Bezout pierwiastki trzeciego stopnia z jedynki (różne od jedynki) są jego pierwiastkami, więc istotnie suma współczynników jest zerowa. Odwrotnie: jeśli suma współczynników jest zerowa, to każdy pierwiastek trzeciego stopnia z jedynki jest pierwiastkiem wielomianu, więc wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ x^3-1}\), zatem tym bardziej przez \(\displaystyle{ x^2+x+1}\)

Q.

[tatteredspire]

13.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2^{\sin x}+2^{\cos x} \ge 2^{1- \frac{1}{ \sqrt{2} } } \Leftrightarrow \frac{2^{\sin x}+2^{\cos x}}{2} \ge 2^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{2^{\sin x}+2^{\cos x}}{2} \ge \sqrt{2^{\sin x} \cdot 2^{\cos x}}=\sqrt{2^{\sin x +\cos x}}=\sqrt{2^{\sqrt{2}\cos (x-\frac{\pi}{4})}}=2^{\frac{\cos (x-\frac{ \pi }{4})}{\sqrt{2}}}}\)

Ponadto \(\displaystyle{ 2^{\frac{\cos (x-\frac{ \pi }{4})}{\sqrt{2}}} \ge 2^{-\frac{1}{\sqrt{2}}}}\) jako że podstawa większa od jeden no i zważywszy na zbiór wartości cosinusa

[Qń]

Zadanie 7:    

Mamy dla \(\displaystyle{ m>n}\):
\(\displaystyle{ (a^m-1, a^n-1) = (a^m-a^n, a^n-1)=(a^n(a^{m-n}-1), a^n-1)= (a^{m-n}-1,a^n-1)}\)
Widać więc, że można zastąpić większy wykładnik przez różnicę wykładników. Jak wiadomo z algorytmu Euklidesa, po skończonej ilości kroków da nam to efekt, że w obu wykładnikach będzie \(\displaystyle{ (n,m)}\), więc istotnie szukane NWD to \(\displaystyle{ a^{(n,m)}-1}\)

Q.

[luka52]

20.

a:    

Niech dana suma, której granicę liczymy to \(\displaystyle{ S_n}\), wtedy:

\(\displaystyle{ \sum_k \frac{ \sqrt{ \frac{1}{2} (n+k-1)^2 } }{n^2} \le S_n \le \sum_k \frac{ \sqrt{ \frac{1}{2} (n+k)^2 } }{n^2}}\)

Zatem w granicy \(\displaystyle{ n \to +\infty}\) jest: \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{1}{2}} \int_0^1 (1+x) \; \mbox d x = \frac{3}{2\sqrt{2}}}\)

b:    

Logarytmujemy i dopatrujemy się sumy całkowej. Stąd:

\(\displaystyle{ = \exp\left\{ \int_0^1 \ln (1+x) \;\mbox d x\right\} = \frac{4}{e}}\)

[Qń]

Zadanie 2:    

Oznaczmy \(\displaystyle{ -\beta = b}\). Oczywiście musi być \(\displaystyle{ b>0}\). Mamy:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left( \frac{n^2-\beta}{n^2-\beta n} \right) ^{ \left( 1-n \right) \ln \left( -\beta \right) }= \\ =\left[
\lim_{n \to \infty } \left( 1+\frac{b(1-n)}{n^2+b n} \right) ^{ \frac{n^2+b n}{b(1-n)}}\right]^ {\frac{b(1-n)^2}{n^2+bn} \ln \left( b \right) } = \\ =
e^{b\ln b} = b^b}\)
Oczywiście \(\displaystyle{ b^b<4 \Leftrightarrow b<2}\) więc ostatecznie \(\displaystyle{ \beta \in (-2,0)}\)

Q.

[ares41]

20. można też ładnie pokazać wykorzystując twierdzenie Stolza-Cesàro Może ktoś się skusi na ten dowód ?

[Qń]

Zadanie 4:    

Niech liczbami pierwszymi występującymi w rozkładzie \(\displaystyle{ n}\) na czynniki pierwsze będą: \(\displaystyle{ p_1,p_2,\ldots , p_k}\) oraz niech \(\displaystyle{ A_i}\) oznacza zdarzenie, że losowo wybrana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ p_i}\).
Oczywiście \(\displaystyle{ P(A_{i_1} \cap \ldots \cap A_{i_l}) = \frac{1}{p_{i_1}\cdot \ldots \cdot p_{i_l}}}\) (wystarczy użyć klasycznej definicji prawdopodobieństwa).
W takim razie zasada włączeń i wyłączeń załatwia sprawę:
\(\displaystyle{ P(A_1'\cap \ldots \cap A_k') = 1 - \sum_{i}P(A_i)+\sum_{i,j}P(A_i \cap A_j) - \ldots = \\ =
1 - \sum_{i}\frac{1}{p_i} +\sum_{i,j}\frac{1}{p_ip_j} + \ldots = \prod_{i=1}^{k}\left( 1-\frac{1}{p_k}\right)}\)

Q.

[Inkwizytor]

Zadanie 16.:    

Analiza wykresów funkcji
a) \(\displaystyle{ y= \cos{\sin{x}}}\)
Dla dowolnego x zbiorem wartości funkcji \(\displaystyle{ t=\sin{x}}\) jest \(\displaystyle{ <-1,1>}\)
Z analizy wykresu funkcji \(\displaystyle{ y=\cos{t}}\) dla \(\displaystyle{ t \in <-1,1>}\) wynika że maksymalną wartość jaką funkcja osiąga jest \(\displaystyle{ y_{max}=1}\)

b) \(\displaystyle{ y= \sin{\cos{x}}}\)
Z analogicznej analizy wynika że \(\displaystyle{ y_{max}<1}\) bo \(\displaystyle{ 1 < \frac{\pi}{2}}\)

A zatem funkcja \(\displaystyle{ y= \cos{\sin{x}}}\) przyjmuje większe wartości

[ares41]

Inkwizytor, można pokazać, że zawsze \(\displaystyle{ \sin{(\cos{x})}<\cos{(\sin{x})}}\)
Zadanie to należy rozumieć jako :

Która z funkcji przyjmuje wartości większe, dla każdego \(\displaystyle{ x}\)

Przepraszam za nieścisłość.

[Inkwizytor]

Zadanie 15:    

15.
\(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = 180^o}\)

1. Przypadek szczególny \(\displaystyle{ \alpha = \beta =0^o \wedge \gamma = 180^o}\)
\(\displaystyle{ \cos0^o + \cos0^o + \cos180^o = 1 +1 -1 = 1 < \frac{3}{2}}\)

2. Przypadek \(\displaystyle{ \alpha , \beta , \gamma \in (0^o,180^o)}\)
(Łatwo zauważyć że również dowolna suma pary tych kątów będzie również mniejsza od \(\displaystyle{ 180^o}\))

\(\displaystyle{ \cos{\alpha} + \cos{\beta} + \cos{\gamma} = 2 \cdot \cos{ \frac{\alpha + \beta}{2} } \cos{ \frac{\alpha - \beta}{2} } + \cos{\gamma}}\)

Pomocnicze podstawienie (dla zwiększenia czytelności) \(\displaystyle{ \omega = \frac{\alpha - \beta}{2}}\)
oraz \(\displaystyle{ \alpha + \beta = 180^o - \gamma}\)

\(\displaystyle{ = 2 \cdot \cos\frac{180^o -\gamma}{2} \cos \omega + \cos\gamma = 2 \cdot \cos (90^o - \frac{\gamma}{2} ) \cos{ \omega} + \cos{\gamma} = \\
= 2 \cdot \left( \cos90^o \cdot \cos \frac{\gamma}{2} - \sin90^o \cdot \sin \frac{\gamma}{2}\right) \cos\omega + \cos\gamma = 2 \cdot \left( 0 - \sin \frac{\gamma}{2} \right) \cos\omega + \cos\gamma = -2 \cos\omega \sin \frac{\gamma}{2} + \cos (2 \cdot \frac{\gamma}{2}) \\
= -2 \cos\omega \sin \frac{\gamma}{2} + 1 - 2 \sin^2 ( \frac{\gamma}{2}) = - 2 \sin^2 ( \frac{\gamma}{2}) -2 \cos\omega \sin \frac{\gamma}{2} + 1}\)

Pomocnicze podstawienie: \(\displaystyle{ t = \sin \frac{\gamma}{2}}\) ponieważ \(\displaystyle{ \frac{\gamma}{2} \in (0^o , 90^o)}\) wówczas \(\displaystyle{ t \in (0,1)}\)

\(\displaystyle{ = - 2t^2 -2t \cos{\omega} + 1}\)

Wykresem \(\displaystyle{ f(t)}\) będzie parabola skierowana ramionami w dół, zatem wierzchołek paraboli będzie maksimum funkcji. Czyli
\(\displaystyle{ \cos{\alpha} + \cos{\beta} + \cos{\gamma} = - 2t^2 -2t \cos{\omega} + 1 \le W_y}\)
\(\displaystyle{ W_y = - \frac{\Delta}{4a} \\
\Delta = 4 \cos^2{\omega} +8 \\
W_y = - \frac{4 \cos^2{\omega} +8}{-8} = 1 + \frac{\cos^2{\omega}}{2} \le 1+ \frac{1}{2} = \frac{3}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ \cos{\alpha} + \cos{\beta} + \cos{\gamma} \le \frac{3}{2}}\)

[tatteredspire]

16. Dowodzone dla dowolnego x (Nie wiem czy nadal aktualne)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sin(\cos x) - \cos(\sin x)<0 \Leftrightarrow \cos(\sin x)-\sin(\cos x)>0}\)

\(\displaystyle{ \cos(\sin x)-\sin(\cos x)=\sin(\frac{\pi}{2}-\sin x)-\sin(\cos x))= \\ 2 \cdot \sin(\frac{\pi}{4}-\frac{\sin x +\cos x}{2}) \cdot \cos (\frac{\pi}{4}+\frac{\cos x - \sin x}{2})= \\ 2 \cdot \sin (\frac{\pi}{4}-\frac{\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})}{2}) \cdot \cos (\frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt{2} \cdot \cos(x+\frac{\pi}{4})}{2})= \\ 2 \cdot \sin\frac{\pi-2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}{4} \cdot \cos \frac{\pi +2\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})}{4}}\)

Tak więc:

\(\displaystyle{ \cos(\sin x)-\sin(\cos x)>0 \Leftrightarrow \\ 2 \cdot \sin\frac{\pi-2\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})}{4} \cdot \cos \frac{\pi +2\sqrt{2}\cos(x+\frac{\pi}{4})}{4}>0}\)

Można szacować następująco:

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}>\frac{\pi+2\sqrt{2}}{4} \ge \frac{\pi -2\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})}{4} \ge \frac{\pi-2\sqrt{2}}{4}>0}\)

\(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}>\frac{\pi+2\sqrt{2}}{4} \ge \frac{\pi +2\sqrt{2}\cos (x+\frac{\pi}{4})}{4} \ge \frac{\pi-2\sqrt{2}}{4}>0}\)

Ponieważ nierówność równoważna nierówności "wyjściowej" jest zawsze spełniona (w I ćwiartce sinus i cosinus są dodatnie) więc i nierówność "wyjściowa" jest zawsze spełniona, co kończy dowód.