[Nierówności] Nierówność z silnią

[Paulpentax]

Czy to prawda, że \(\displaystyle{ 2 ^{2 ^{2011} }> { 2 ^{2011} \choose 2^{2010} }}\)

[marcin_smu]

Tak to prawda.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ 2^n= \sum_{i=0}^{n}{n \choose i }}\)

[Paulpentax]

Jak dowieść w/w wzór?

[Adam656]

\(\displaystyle{ 2^n= \sum_{i=0}^{n}{n \choose i }}\)
Wystarczy rozpisać \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{n}{n \choose i } = {n \choose 0} + {n \choose 1} + ... + {n \choose n}}\) a Prawa (i lewa również) strona to nic innego jak wzór dwumianowy Newtona dla\(\displaystyle{ (1+1) ^{n} = 2 ^{n}}\)

[K-mil]

Lub indukcyjnie. Z tym że najpierw najlepiej dowieść, że \(\displaystyle{ {n \choose k} + {n \choose k+1} = {n+1 \choose k+1}}\)

[marcin_smu]

Można też kombinatorycznie, korzystając z następujących fatów:
-\(\displaystyle{ 2^n}\) to liczba podzbiorów zbioru o n elementach.
-\(\displaystyle{ n \choose i}\) to liczba i-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego
W świetle tych faktów teza jest oczywista.

[Swistak]

Trochę ciekawszym, aczkolwiek nadal dość prostym ćwiczeniem jest dowód, że \(\displaystyle{ {2^{2011} \choose 2^{2010}} > 2^{2^{2011}-2011}}\)

[Paulpentax]

Z dwumianu Newtona też?

[Zordon]

Trochę ciekawszym, aczkolwiek nadal dość prostym ćwiczeniem jest dowód, że \(\displaystyle{ {2^{2011} \choose 2^{2010}} > 2^{2^{2011}-2011}}\)

Można pójść nawet nieco dalej i udowodnić \(\displaystyle{ {2^{2011} \choose 2^{2010}} > 2^{2^{2011}-1006}}\). To już nie jest takie proste.-- 28 stycznia 2012, 23:23 --

Z dwumianu Newtona też?

Tak, zauważ że ciąg \(\displaystyle{ {n \choose 0} ,{n \choose 1},{n \choose 2},...,{n \choose n-1},{n \choose n}}\) najpierw rośnie, potem osiąga maximum (na środku) po czym zaczyna maleć. Więc w szczególności środkowy element jest większy niż ich średnia.

[timon92]

Można pójść nawet nieco dalej i udowodnić \(\displaystyle{ {2^{2011} \choose 2^{2010}} > 2^{2^{2011}-1006}}\)

Ukryta treść:    

przez indukcję można pokazać \(\displaystyle{ {2n \choose n} > \frac{2^{2n-1}}{\sqrt n}}\)