[MIX] UW kontratakuje (Mix zadań)

[Piotr Rutkowski]

Witam,

Po długiej przerwie postanowiłem wrócić na forum. Będąc już na 3 roku matematyki przewinęła mi się niezliczona ilość ciekawych zadań. Będę regularnie wrzucał co ciekawsze zadania z różnych działów (choć lojalnie uprzedzam, że geometrii tu raczej nie uświadczymy). Niektóre będą pochodziły bezpośrednio z moich przedmiotów, a niektóre dostałem tzw. pocztą pantoflową. Jako że dział Kółko matematyczne hest dedykowany przede wszystkim dla uczestników OM będę starał się wrzucać zadania z elementarnymi rozwiązaniami, choć część z nich będzie jednak wymagała akademickiego aparatu pojęciowego.

Pozdrawiam

Teoria liczb
Niech \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\) będą takie, że \(\displaystyle{ \forall_{p\in \mathbb{P}} \ a\leq b (mod \ p)}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{P}}\) to oczywiście zbiór liczb pierwszych.

Pokazać, że \(\displaystyle{ a=b}\)

Topologia
Drogą na płaszczyźnie nazwiemy wykres różnowartościowego przekształcenia ciągłego \(\displaystyle{ f:<0,1> \rightarrow \mathbb{R}^{2}}\). Triadą nazwiemy zbiór trzech dróg o wspólnym początku, których wykresy nie przecinają się wzajemnie.

Rozstrzygnij, czy istnieje nieprzeliczalna rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{T}}\) rozłącznych triad taka, że \(\displaystyle{ \bigcup_{t\in \mathbb{T}} \ t=\mathbb{R}^{2}}\)

Powodzenia!

[Gierol]

haha kto Ci dal te zadania?
mamy na chacie rozwiazania obu, ale nie chce nam sie tego klepac. za stowe ewentualnie przemyslimy

jak ktos pocisnie triady to zapraszamy z Xmasem11 do nastepujacego uogolnienia:

3.Ultratriadą nazwiemy podzbiór \(\displaystyle{ \RR ^{3}}\) homeomorficzny z ,,parasolka' (półkula + odcinek wystający z wnętrza tej półkuli. Rozstrzygnąć czy da się pokryć przestrzeń nieprzeliczalną ilością ultratriad (ofc rozłącznych)

[Leszczu21]

Co znaczy, że \(\displaystyle{ a \le b \ (mod \ p)}\)?

[Swistak]

To, że reszta z dzielenia \(\displaystyle{ a}\) jest mniejsza od reszty z dzielenia liczby \(\displaystyle{ b}\), jeżeli dzielimy przez \(\displaystyle{ p}\).

[Piotr Rutkowski]

Kombinatoryka Texas Hold'em

Gracze A i B grają w pokera Texas Hold'em (rozdaje się na zmianę po dwie karty na początek, jedna karta z góry idzie w odstawkę, 3-kartowy flop, kolejna karta w odstawkę, 1-kartowy turn, jeszcze jedna karta do spalenia, 1-kartowy river, wygrywa najlepsza kombinacja 5-kartowa spośród 7 dostępnych).

Gracz A rozdaje karty (zaczyna rozdawać os przeciwnika). Bracz B przekłada talię przed rozpoczęciem rozdawania (brak przełożenia również jest przełożeniem). Czy gracz B z tą wiedzą może zawczasu ułożyć karty tak, aby wygrać niezależnie od przełożenia?

-- 7 listopada 2011, 22:52 --

Będę podbijał temat kolejnymi zadaniami dopóki któreś kogoś nie zainteresuje

Suma szeregu

Niech \(\displaystyle{ \mathbb{X}:=\{x>0 : x=tgx\}}\)
Pokazać, że \(\displaystyle{ \sum_{x\in \mathbb{X}}\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{10}}\)

Kombinujcie skąd wychodzi 10