[Teoria liczb] Teoria liczb dla koksów

[KPR]

Czy istnieje taki trójkąt o bokach całkowitej długości, że jedna z wysokości ma długość równą długości boku, na który została opuszczona?

[sigmaIpi]

Rozważ trójkąty prostokątne, o całkowitych długościach boków

[KPR]

Nie rozumiem.

[Panda]

Wysokość wyznacza dwa trójkąty prostokątne.

Ukryta treść:    

Oba o całkowitych długościach boków postaci \(\displaystyle{ (a,a+b,c)}\) i \(\displaystyle{ (b,a+b,d)}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są naturalne. Naturalności \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) trzeba dodatkowo dowieść, ale dowód jest dość prosty.

No a jakiej postaci są trójki pitagorejskie wiadomo już.

[sigmaIpi]

trójkąt prostokątny o bokach dlugości np. 3,4,5

[KPR]

SigmaIpi, ten trójkąt nie spełnia warunków. Panda, jakoś nie widzę w tym rozwiązania

[Panda]

@KPR:
Po prostu pokazałem, że problem jest równoważny istnieniu trójek pitagorejskich danej postaci. Mnie to się wydaje praktyczniejsze, bo sprowadza do problemu teorioliczbowego przy okazji korzystając z założeń (mamy dość eleganckie wzory na elementy trójek), choć nie mam pojęcia czy pójdzie akurat tędy. To dość oczywiste sprowadzenie, ale myślałem, że będę kontynuować myśl @sigmaIpi po prostu

[SaxoN]

Tu była nieprawda, już jej nie ma. Już wierzę, że \(\displaystyle{ a,b\in\mathbb{Z}}\)

[mcbob]

...

[kp1311]

mcbob nieprawda.
Po odjęciu stronami otrzymujemy:
\(\displaystyle{ a^2-b^2=c^2-d^2}\) stąd wcale nie wynika że \(\displaystyle{ a=c}\) i \(\displaystyle{ b=d}\).
Kontrprzykład: \(\displaystyle{ 7^2-5^2= 5^2-1^2}\).