Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ x, y ,z >0}\) oraz \(\displaystyle{ x+y+z=1}\). Pokaż że
\(\displaystyle{ \left(2+\frac{x}{y^{2}+yz+z^{2}}\right)\left(2+\frac{y}{z^{2}+zx+x^{2}}\right)\left(2+\frac{z}{x^{2}+xy+y^{2}}\right)\ge27}\)

Żeby nierówność była prawdziwa wystarczy, aby zachodziło:
\(\displaystyle{ \begin{cases} \frac{x}{y^{2}+yz+z^{2}} \ge 1\\ \frac{y}{z^{2}+zx+x^{2}} \ge 1\\ \frac{z}{x^{2}+xy+y^{2}} \ge 1\end{cases}}\),
co ze względu na to, że \(\displaystyle{ x,y,z>0}\) można zapisać:
\(\displaystyle{ \begin{cases}x \ge y^{2}+yz+z^{2}\\y\ge z^{2}+zx+x^{2}\\ z\ge x^{2}+xy+y^{2}\end{cases}}\).
Po dodaniu stronami i skorzystaniu, z założenia \(\displaystyle{ x+y+z=1}\) mamy
\(\displaystyle{ xy+xz+yz \ge 1}\),
co można zapisać jako:
\(\displaystyle{ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \ge \frac{1}{xyz}}\)

poprzedni post w żaden sposób nie prowadzi do rozwiązania

moje podejście:
ujednoradniamy i korzystamy z nierówności Holdera

\(\displaystyle{ \prod \left(2+\frac{x}{y^{2}+yz+z^{2}}\right) = \prod \left(2+\frac{x(x+y+z)}{y^{2}+yz+z^{2}}\right) = \prod \left(1+\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}{y^{2}+yz+z^{2}}\right) \ge \left(1+\frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}{\sqrt[3]{\prod(y^{2}+yz+z^{2})}}\right)^3}\)

wystarczy więc wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx}{\sqrt[3]{\prod(y^{2}+yz+z^{2})}} \ge 2}\)

tu niestety nie mam mądrzejszego pomysłu niż podniesienie stronami do potęgi trzeciej i wymnożenie na pałę; dostaje się wtedy równoważną postać (znaczek sumy oznacza sumę symetryczną)

\(\displaystyle{ \sum x^6 + 6 \sum x^5y + \sum x^4yz \ge 4 \sum x^4y^2 + \sum x^3y^3 + 2 \sum x^3y^2z + \sum x^2y^2z^2}\)

no i to jest prawdziwe na mocy nierówności Muirheada

Wycofuję się z poprzedniego postu. Na kartce za dużo mi się poskracało i wyszło ładnie i bezboleśnie .