[Nierówności] wykazanie nierówności II

[darek20]

Dla \(\displaystyle{ x,y,z\in (0,1]}\) pokaż ze
\(\displaystyle{ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1}\leq\frac{5}{x+y+z}}\)

[kp1311]

Po wymnożeniu przez \(\displaystyle{ (x+y+z)}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{1+xy}+\frac{y+z}{1+yz}+\frac{z+x}{1+zx}+\frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} \le 5}\).

\(\displaystyle{ (1-x)(1-y) \ge 0}\) zatem: \(\displaystyle{ \frac{x+y}{1+xy} \le 1}\).

Wykażemy teraz że: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} \le 2}\) (dowód pochodzi z ,,Wędrówek po krainie nierówności")
Możemy bez straty ogólności przyjąc że największą spośród liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest \(\displaystyle{ x}\) Wówczas: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} - 2 \le \frac{x}{yz+1} + \frac{y}{yz+1} + \frac{z}{yz+1} -2 = \frac{(y-1)(1-z)+(x-1)-yz}{yz+1} \le 0}\)

[timon92]

lub inaczej:

Ukryta treść:    

łatwo sprawdzić, że przy oddalaniu którychś dwóch liczb z zachowaniem ich sumy prawa strona zostaje stała, a lewa rośnie

oddalajmy więc x,y z zachowaniem sumy aż jedna z nich osiągnie kraniec przedziału [0,1] i potem pozostałe dwie też oddalajmy aż któraś zmienna osiągnie kraniec

dostaniemy układ trzech liczb, przy czym dwie z nich są zerem lub jedynką

wystarczy więc sprawdzić 3 przypadki: x=y=0; x=0, y=1; x=y=1, a to jest proste do sprawdzenia

[kp1311]

,,łatwo sprawdzić, że przy oddalaniu którychś dwóch liczb z zachowaniem ich sumy prawa strona zostaje stała, a lewa rośnie"

Dowód by się przydał

[timon92]

to serio jest łatwe do sprawdzenia ;d

wiadomo, że przy oddalaniu dwóch liczb z zachowaniem sumy iloczyn maleje; wiedząc to widać, że poniższe wyrażenie wzrośnie (oddalamy x i z):

\(\displaystyle{ \frac{1}{xy+1}+\frac{1}{yz+1}+\frac{1}{zx+1} = \frac{y(x+z)+2}{y^2xz + y(x+z)+1} + \frac{1}{zx+1}}\)

[pawelsuz]

Możemy bez straty ogólności przyjąc że największą spośród liczb \(\displaystyle{ x,y,z}\) jest \(\displaystyle{ x}\) Wówczas: \(\displaystyle{ \frac{z}{1+xy}+ \frac{x}{1+yz}+ \frac{y}{1+xz} - 2 \le \frac{x}{xy+1} + \frac{y}{xy+1} + \frac{z}{xy+1} -2 = \frac{(y-1)(1-z)+(x-1)-yz}{xy+1} \le 0}\)

Po oszacowaniu mianownik powinien być \(\displaystyle{ 1+yz}\), a nie \(\displaystyle{ 1+xy}\). Chyba pomyłka przy przepisywaniu z wędrówek:)

[kp1311]

Dokładnie tak, już poprawiłem