[Planimetria] okręgi

[brzoskwinka1]

Punkt \(\displaystyle{ C}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Niech okręgi \(\displaystyle{ o_1}\), \(\displaystyle{ o_2}\) i \(\displaystyle{ o}\) będą okręgami o średnicach odpowiednio \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ AB}\). Prosta \(\displaystyle{ k}\) przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ C}\) i przecina okręgi w pięciu punktach \(\displaystyle{ D, E, C, F , G,}\) położonych na tej prostej w wymienionej kolejności. Wykaż, że odcinki \(\displaystyle{ DE}\) i \(\displaystyle{ F G}\) są równej długości.

Bardzo proszę o pomoc!

[marcin_smu]

Szkic dowodu:

Ukryta treść:    

Przez O oznaczmy środek okręgu o, a przez X oznaczmy rzut prostokątny punktu O na prostą k. Dzięki podobieństwu trójkątów \(\displaystyle{ AEC, OXC, BFC}\) łatwo wykazać \(\displaystyle{ XE=XF}\). Co wraz z prostą do udowodnienia równością \(\displaystyle{ XD=XG}\) daje nam tezę zadania.

[brzoskwinka1]

Dzięki!