[MIX] Kolejny mix zadań olimpijskich.

[MrG]

Jestem w trakcie przygotowań do OM. Oto kilka zadań które są dla mnie trudne (nie potrafię ich zrobić):


1. Liczby dodatnie \(\displaystyle{ \ x,y,z}\) spełniaja warunek \(\displaystyle{ \ x+y=z=1}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \ (1+ \frac{1}{x} )(1+ \frac{1}{y} )(1+ \frac{1}{z}) \ge 64}\). ( W tym zadaniu po topornych mnożeniach i kilku podstawieniach uzyskałem tezę na mocy nierówości między średnią arytmetyczną , a
geometryczną. Liczę na jakieś bardziej błyskotliwe i sprytniejsze rozwiązanie.

2.Liczby dodatnie \(\displaystyle{ \ x,y,z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \ xyz=1}\). Udowodnij,że
\(\displaystyle{ \ (x+2y)(y+2z)(z+2x) \ge 27}\). (Tutaj jestem zupełnie w kropce. Starałem się wykorzystać
założenie korzystając na mocy nierówności pomiedzy średnimi, ale nic to nie dało.)

3. Udowodnij,że dla dowolnych \(\displaystyle{ \ a,b,c}\) należących do zbioru liczb rzeczywistych dodatnich
zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \ 3 + (a+b+c) + ( \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) +( \frac{a}{b}+ \frac{b}{c}+ \frac{c}{a}) \ge \frac{3(a+1)(b+1)(c+1)}{abc+1}}\). (tutaj mój pomysł na nierówność polegał na tym ,że zauważyłem , że lewa strona nierówności jest większa równa 12(na mocy między średnimi) , stąd wywnioskowałem ,że 12 jest większe równe prawej stronie potem dokonałem prostych przekształceń i otrzymałem nierówność \(\displaystyle{ \ 3 \ge \frac{abc+ab+bc+ac+a+b+c}{abc+1}}\) i dalej nie potrafiłem tego pociągnąc).

4.Niech \(\displaystyle{ \ a,b,c}\) będą długościami boków trójkąta . Boki te spełniają równość \(\displaystyle{ \ ab+bc+ac=27}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \ 9 \le a+b+c<11}\). ( Tutaj nawet nie miałem pomysłu na zrobienie tego).

5. W liczbach rzeczywistych rozwiąż równanie \(\displaystyle{ \ \sqrt{x} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-2} = \frac{1}{2}(x+y+z)}\). ( Zupełnie nie wiem co zrobić. Czy skorzystać z jakiejś nierówności (Schwarz nie działa) i zbadać kiedy jest równością i tak otrzymać rozwiązanie).

6. W liczbach naturalnych rozwiąż równania
a) \(\displaystyle{ \ (y+1) ^{x}=y!}\).
b) \(\displaystyle{ \ 1! + 2! + 3! + ..... + (x+1)! =y ^{z+1}}\) . (Na forum spotkałem się z tym równaniem ale za bardzo
nie zrozumiałem. Proszę o dokładne wyjaśnienia równań z zadania 6.)

7. Dany jest trójkat ostrokątny \(\displaystyle{ \ ABC}\) , przy czym \(\displaystyle{ \ \sphericalangle ACB =60}\).
Punkty \(\displaystyle{ \ D \ i \ E}\) sa rzutami prostokatnymi odpowiednio
punktów\(\displaystyle{ \ A \ i \ B}\)na proste \(\displaystyle{ \ BC \ i \ AC}\) . Punkt \(\displaystyle{ \ M}\) jest
srodkiem boku \(\displaystyle{ \ AB}\) . Wykazac, ze trójkat \(\displaystyle{ DEM}\) jest równoboczny.

8. Punkt \(\displaystyle{ \ O}\) jest srodkiem okregu opisanego na trójkącie
\(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ \ D}\) jest rzutem prostokatnym punktu
\(\displaystyle{ \ C}\) na prosta \(\displaystyle{ \ AB}\) . Wykazac, ze
\(\displaystyle{ \sphericalangle ACD= \sphericalangle BCO}\).
(W zadaniach 7,8 liczę na jakieś wskazówki.)

Narazie to tyle. Z góry dziękuje. Wiem ,że zadania te wydają się proste dla ludzi , którzy znają się na
matmie olimpijskiej. Ja dopiero co zaczęłem poruszać się w tym rodzaju zadań.
Pozdrawiam MrG.

[Vax]

1:    

\(\displaystyle{ (1+\frac{1}{x})(1+\frac{1}{y})(1+\frac{1}{z}) \ge 64 \Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1) \ge 64xyz \Leftrightarrow \\ \\ (2x+y+z)(x+2y+z)(x+y+2z) \ge 64xyz}\)
ale z am-gm wynika \(\displaystyle{ 2x+y+z \ge 4\sqrt[4]{x^2yz}}\) analogicznie dla 2 pozostałych, mnożąc dostajemy tezę.

2:    

Z am-gm \(\displaystyle{ x+2y \ge 3\sqrt[3]{xy^2}}\) mnożąc tą i 2 podobne nierówności dostajemy tezę.

3:    

Z tego co wiem o ładne rozwiązanie tutaj ciężko:
220891.htm

4:    

\(\displaystyle{ (a+b+c)^2 \ge 3(ab+ac+bc) = 81 \Leftrightarrow a+b+c \ge 9}\)

\(\displaystyle{ 2ab+2ac+2bc = 54 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 < a(b+c)+b(a+c)+c(a+b) = 54 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)^2 < 108 \Leftrightarrow a+b+c < \sqrt{108} < 11}\)

6a:    

Zauważmy, że z twierdzenia Czebyszewa (Postulatu Bertranda) wynika, że dla \(\displaystyle{ y\ge 2}\) w przedziale \(\displaystyle{ (\frac{y}{2} ; y]}\) znajduje się co najmniej jedna liczba pierwsza, stąd dla \(\displaystyle{ x,y \ge 2}\) dane równanie nie ma rozwiązań, pozostaje sprawdzić pozostałe przypadki. Dla \(\displaystyle{ y=1}\) dostajemy \(\displaystyle{ 2^x = 1 \Rightarrow x=0}\) czyli mamy parę \(\displaystyle{ (x,y) = (0;1)}\) dla \(\displaystyle{ y=0}\) mamy \(\displaystyle{ 1^x=1}\) czyli mamy kolejne pary \(\displaystyle{ (x,y) = (t,0)}\) gdzie t jest dowolną liczbą naturalną. Dla \(\displaystyle{ x=0}\) dostajemy \(\displaystyle{ 1=y!}\) skąd dostajemy rozwiązania które już wcześniej wyznaczyliśmy, zostaje ostatni przypadek \(\displaystyle{ x=1}\) co daje nam \(\displaystyle{ y!-y=1}\) ale dla \(\displaystyle{ y\ge 3}\) zachodzi \(\displaystyle{ y! - y > 1}\) więc pozostaje sprawdzić przypadki \(\displaystyle{ y<3}\) co żadnych nowych rozwiązań nam nie daje, więc ostatecznie rozwiązaniem danego równania są pary: \(\displaystyle{ (x,y) = (0;1) \vee (t;0)}\) gdzie t jest dowolną liczbą naturalną.

7 hint:    

Zauważ, że na czworokącie ABDE da się opisać okrąg

8 hint:    

Zauważ, że \(\displaystyle{ \sphericalangle BOC = 2\cdot \sphericalangle BAC}\) oraz \(\displaystyle{ |OB|=|OC|}\)

[Marcinek665]

5:    

\(\displaystyle{ \sqrt{x} + \sqrt{y-1} + \sqrt{z-2} = \frac{1}{2}(x+y+z) \Leftrightarrow (\sqrt{x}-1)^2 + (\sqrt{y-1} - 1)^2 + (\sqrt{z-2}-1)^2
= 0}\)

Vax, ja se na luzie przepisuję jedno rozwiązanie, a ty oczywiście połowę musiałeś już zaspamić. Masz parcie na szkło xD

[Funktor]

Rozwiązanie 3 Binaja można uznać za ładne, wzorcowe rozwiązanie ( z wędrówek po krainie) jest takie że wymnażamy 2 razy na pałę potem grupujemy i jakoś wychodzi.

[Marcinek665]

Vax, naucz mnie robić tak fajnie zadania jak 6a.

[Django]

A jeszcze szybciej i prościej 6a:

Ukryta treść:    

rozważymy \(\displaystyle{ y>2}\). Dla parzystych y lewa strona nie zawiera żadnego parzystego dzielnika, prawa zaś zawiera. Sprzeczność. A dla nieparzystych y lewa strona nie zawiera żadnego nieparzystego dzielnika, prawa zaś zawiera. Dla y=0,1,2 przypadki sprawdzamy ręcznie.

Pzdr

[adamm]

nie, nie podoba mi się
pozdrawiam

[Marcinek665]

Rozwiązanie Vaxa jest zdecydowanie bardziej elementarne.

Nie pozdrawiam.

[MrG]

Rozwiązania Vax'a jest bardziej elementarne i eleganckie . Ja chciałbym wiedzieć na jakiej zasadzie i dlaczego skorzystałeś z tego postulatu. I wyjaśnić krok po kroku jego wykorzystanie w tym równaniu.

[Django]

Dowód tw. Czebyszewa jest równie elementarny. Kilka ostrych lematów...

[MrG]

Nie chodzi mi o dowód tw. Czybyszewa ale o to jak Vax skorzystał z niego w tym równaniu. Mógłby
ktoś mi to wyjaśnić.

[Funktor]

Django, Matematyka.pl powinna wziąć przykład z facebooka, powinno być " lubię to "

[Django]

Jeśli dobrze rozumiem to zastosowanie to chodzi o to, że prawa strona będzie podzielna przez jakąś liczbę pierwszą - która istnieje w tej silni (wykazane Bertrandem), a lewa strona też musi być przez nią podzielna. Ale wtedy lewa strona będzie potęgą tej liczby pierwszej. Co prowadzi do wniosku, że lewa strona jest x razy podzielna przez liczbę pierwszą i tylko przez nią, zaś prawa strona to iloczyn liczby pierwszej i jeszcze jakichś tam liczb. I tu dochodzimy do sprzeczności.
Funktor, co chcesz polubić?

[Funktor]

Twój post ;]

[limes123]

Zle rozumiesz. A w swoim rozwiazaniu korzystasz chyba z tego, ze dla jesli y jest nieparzyste to y+1 jest potega 2, wygodne.