[Równania] Suma z cosinusami
: 27 lip 2011, o 17:00
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \sum_{i=0}^{180} \frac{1}{| \prod_{j=0 \ j \neq i}^{180} (cos \ i^{o}-cos\ j^{o})|}=2^{179}}\)
Ukryta treść:
Niech \(\displaystyle{ W(x)}\) będzie 180-tym wielomianem Czebyszewa. Wtedy \(\displaystyle{ W(\cos \alpha)=\cos (180 \alpha)}\). Zatem jeśli \(\displaystyle{ \alpha=2k^\circ}\), to \(\displaystyle{ W(\cos \alpha)=W(360 k^\circ)=1}\), a jeśli \(\displaystyle{ \alpha=2k+1^\circ}\), to \(\displaystyle{ W(\cos \alpha)=W(360 k^\circ+180^\circ)=-1}\). Napiszmy wzór interpolacyjny Lagrange'a dla tego wielomianiu (interpolujemy w \(\displaystyle{ \cos k^\circ}\) dla \(\displaystyle{ 0\leq k\leq 180}\)). Otrzymujemy
\(\displaystyle{ W(x)=\sum\limits_{i=0}^{180} (-1)^i \frac{\prod_{j=1 j \neq i}^{180}(x-\cos j^\circ)}{\prod_{j=1 j \neq i}^{180}(\cos i^\circ)-\cos j^\circ}}\)
Jak nietrudno zauważyć, mianownik jest dodatni dla \(\displaystyle{ i}\) parzystego, zatem
\(\displaystyle{ W(x)=\sum\limits_{i=0}^{180} \frac{\prod_{j=1 j \neq i}^{180}(x-\cos j^\circ)}{|\prod_{j=1 j \neq i}^{180}(\cos i^\circ-\cos j^\circ)| }}\)
Współczynnik w W(x) przy \(\displaystyle{ x^{180}}\) jest sumą z zadania, ale wiemy, że w n-tym wielomianie Czebyszewa współczynnik ten jest równy \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\), c.k.d.
\(\displaystyle{ W(x)=\sum\limits_{i=0}^{180} (-1)^i \frac{\prod_{j=1 j \neq i}^{180}(x-\cos j^\circ)}{\prod_{j=1 j \neq i}^{180}(\cos i^\circ)-\cos j^\circ}}\)
Jak nietrudno zauważyć, mianownik jest dodatni dla \(\displaystyle{ i}\) parzystego, zatem
\(\displaystyle{ W(x)=\sum\limits_{i=0}^{180} \frac{\prod_{j=1 j \neq i}^{180}(x-\cos j^\circ)}{|\prod_{j=1 j \neq i}^{180}(\cos i^\circ-\cos j^\circ)| }}\)
Współczynnik w W(x) przy \(\displaystyle{ x^{180}}\) jest sumą z zadania, ale wiemy, że w n-tym wielomianie Czebyszewa współczynnik ten jest równy \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\), c.k.d.