[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.
: 28 gru 2011, o 16:27
autor: patry93
Do końca syntetycznie mi nie wyszło, ale może coś bardziej znośnego jednak ; P
2-inaczej:
Widzimy, że \(\displaystyle{ A, B, P, C, Q, D}\) leżą na okręgu o średnicy \(\displaystyle{ AC}\).
Niech \(\displaystyle{ F'}\) będzie dowolnym punktem na boku \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ Q'}\) to przecięcie \(\displaystyle{ AF'}\) ze wspomnianym okręgiem. \(\displaystyle{ \Delta DF'A \sim \Delta Q'F'C}\) skąd \(\displaystyle{ \frac{CQ'}{AF'} = CD \cdot \frac{CF'}{AF' ^2}}\) i widzimy, że przesuwając punkt \(\displaystyle{ F'}\) zmienia się też \(\displaystyle{ \frac{CQ'}{AF'}}\), więc wystarczy pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \angle EAF = 45^{ \circ}}\) to wyjdzie nam z tego założenie
Niech \(\displaystyle{ \angle FAC = \alpha , \ \angle AEB = \beta}\). Z \(\displaystyle{ \Delta AEC \ \alpha + \beta = 90}\).
Z tw. sinusów \(\displaystyle{ \frac{CE}{AE} = \frac{ \sin (45 - \alpha ) }{\sin 45} \ i \ \frac{AB}{\sin \beta } = AE}\). Podobnie z \(\displaystyle{ CF, AF}\).
Korzystając z drugiej postaci stosunku (wyprowadzonej przy \(\displaystyle{ F'}\) ) i sinusów powyżej mamy:
\(\displaystyle{ \frac{CP}{AE} + \frac{CQ}{AF} = \frac{\sin (45 - \alpha) \sin \beta + \sin \alpha \sin (135 - \beta)}{\sin 45} = ( \beta = 90 - \alpha ) = \ldots = \frac{\sin (\alpha + 45 - \alpha}{\sin 45} = 1}\)
Niech \(\displaystyle{ F'}\) będzie dowolnym punktem na boku \(\displaystyle{ CD}\) i \(\displaystyle{ Q'}\) to przecięcie \(\displaystyle{ AF'}\) ze wspomnianym okręgiem. \(\displaystyle{ \Delta DF'A \sim \Delta Q'F'C}\) skąd \(\displaystyle{ \frac{CQ'}{AF'} = CD \cdot \frac{CF'}{AF' ^2}}\) i widzimy, że przesuwając punkt \(\displaystyle{ F'}\) zmienia się też \(\displaystyle{ \frac{CQ'}{AF'}}\), więc wystarczy pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ \angle EAF = 45^{ \circ}}\) to wyjdzie nam z tego założenie
Niech \(\displaystyle{ \angle FAC = \alpha , \ \angle AEB = \beta}\). Z \(\displaystyle{ \Delta AEC \ \alpha + \beta = 90}\).
Z tw. sinusów \(\displaystyle{ \frac{CE}{AE} = \frac{ \sin (45 - \alpha ) }{\sin 45} \ i \ \frac{AB}{\sin \beta } = AE}\). Podobnie z \(\displaystyle{ CF, AF}\).
Korzystając z drugiej postaci stosunku (wyprowadzonej przy \(\displaystyle{ F'}\) ) i sinusów powyżej mamy:
\(\displaystyle{ \frac{CP}{AE} + \frac{CQ}{AF} = \frac{\sin (45 - \alpha) \sin \beta + \sin \alpha \sin (135 - \beta)}{\sin 45} = ( \beta = 90 - \alpha ) = \ldots = \frac{\sin (\alpha + 45 - \alpha}{\sin 45} = 1}\)