[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
abc666

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: abc666 »

Coś nie tak z tym zadaniem jest
Ukryta treść:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: »

abc666 pisze:że wszystkie wsp. są podzielne przez \(\displaystyle{ m}\)
Niekoniecznie, weź chociażby \(\displaystyle{ m=2}\) i wielomian \(\displaystyle{ x^2+x+2}\). Wtedy dostaniemy podzielność przez \(\displaystyle{ m}\) jedynie \(\displaystyle{ a_0}\). Ale to oczywiście wystarcza, także w wersji z wymiernymi współczynnikami (a nie całkowitymi).

W takim razie jednak powinno zostać \(\displaystyle{ a_n\cdot n!}\) (czyli inaczej niż mam na kartce, ale tak jak napisałem początkowo). I na oko wygląda na to, że współczynniki mogą być też wymierne, na przykład wielomian \(\displaystyle{ \frac{x^3-x}{2}}\) jest podzielny przez trzy i \(\displaystyle{ \frac 12 \cdot 3!}\) też jest podzielne przez trzy.

Q.
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Inkwizytor »

16.
Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 17 lip 2011, o 17:58 przez Inkwizytor, łącznie zmieniany 1 raz.
Django
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 200
Rejestracja: 25 sty 2009, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Częstochowa/Kraków
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 12 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Django »

5.
Ukryta treść:    
Na marginesie - zastanawiam się nad zad. 22 - posiedziałem sobie już trochę nad nim i wydaje mi się, że bez ostrej sieczki - rozwiązanie przedstawione przez kolegę ordyh - nie ma ładnej, eleganckiej wzorcówki.
Choć bardzo chętnie bym ją ujrzał
Pzdr
ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh »

zad. 9.:    
Ostatnio zmieniony 17 lip 2011, o 18:57 przez ordyh, łącznie zmieniany 3 razy.
Awatar użytkownika
limes123
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 666
Rejestracja: 21 sty 2008, o 22:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ustroń
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 93 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: limes123 »

W 22 nie ma informacji, ze x jest rzeczywiste. Domyslnie jest? Pytam, bo jesli nie to rozwiazanie ordyha nie dziala.
ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh »

Hmm, no rzeczywiście, wtedy ta nierówność nie działa, założyłem, że jest rzeczywiste z tego względu, że teraz na omie nie ma liczb zespolonych.
zad. 12.:    
Dodane później, żeby nie dublować:
zad. 3.:    
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Lorek »

zad. 22. trochę inaczej:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: »

Zdecydowanie ładniej ;).

Zadanie w \(\displaystyle{ \mathbb{C}}\) wyglądałoby tak samo, ale teza byłaby nieprawdziwa. Na przykład jeśli \(\displaystyle{ x}\) jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z \(\displaystyle{ -1}\) (różnym od \(\displaystyle{ -1}\)), to:
\(\displaystyle{ x^2-x=x^8-x=-1\in\mathbb{Z}}\)
a \(\displaystyle{ x}\) ewidentnie nie jest całkowity.
Stąd należy domniemywać, że jest milczące założenie o rozpatrywaniu sytuacji w zbiorze liczb rzeczywistych.

Q.
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7150
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1322 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Lorek »

Hm myślałem raczej czy może za "całkowite" uznajemy wtedy liczby Gaussa, ale widzę, że i to by nie przeszło.
ordyh
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 255
Rejestracja: 6 paź 2009, o 18:04
Płeć: Mężczyzna
Pomógł: 66 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: ordyh »

zad. 18.:    
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: timon92 »

no to może 17:
Ukryta treść:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: »

Przedostatnie niegeometryczne:
Zadanie 14:    
Q.
KPR
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 254
Rejestracja: 11 lip 2009, o 20:00
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 31 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: KPR »

8:    
Marcinek665
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1824
Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 228 razy

[MIX] Zadania treningowe przed finałem OM.

Post autor: Marcinek665 »

2:    
Prosiłbym, żeby ktoś kompetentny wrzucił rozwiązanie syntetyczne, bo siedziałem pół nocy nad nim, ale się nie udało. A jako że uparłem się, że to zrobię, to zrobiłem właśnie tak
ODPOWIEDZ