[Nierówności] Chyba trudniejsza nierówność.

[Marcinek665]

Ostatnio sobie pomyślałem, żeby sobie trochę poprzypominać nierówności i trafiłem na coś cięższego. Dla dodatnich:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{1}{b^2 + c^2 + d^2} + \frac{1}{c^2 + d^2 + a^2} + \frac{1}{d^2 + a^2 + b^2} \ge \frac{12}{(a+b+c+d)^2}}\)

Od razu powiem, że CS w formie Engela nie działa ;p

[Burii]

Niech \(\displaystyle{ c=min\left\{a, b, c \right\}}\) wówczas:

\(\displaystyle{ a^2 + c^2 \le (a+ \frac{c}{2})^2=x^2}\)

\(\displaystyle{ b^2 + c^2 \le (b+ \frac{c}{2})^2=y^2}\)

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 \le (a+ \frac{c}{2})^2 + (b+ \frac{c}{2})^2= x^2 + y^2}\)

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 \le x^2 + y^2}\)
zatem należy pokazać iż: \(\displaystyle{ \frac{1}{x^2 + y^2} + \frac{1}{y^2 + d^2} + \frac{1}{x^2 + d^2} + \frac{1}{x^2 + y^2 + d^2} \ge \frac{12}{(x + y + d)^2}}\)

Niech teraz \(\displaystyle{ x=min\left\{ x,y,d\right\}}\) wówczas:

\(\displaystyle{ y^2 + x^2 \le (y + \frac{x}{2})^2 = A^2}\)

\(\displaystyle{ d^2 + x^2 \le (d + \frac{x}{2})^2 = B^2}\)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 \le (y + \frac{x}{2})^2 + (d + \frac{x}{2})^2 = A^2 + B^2}\)

\(\displaystyle{ x^2 + y^2 + d^2 \le A^2 + B^2}\)
Zatem należy pokazać iż: \(\displaystyle{ \frac{1}{A^2 + B^2} + \frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{A^2 + B^2} \le \frac{12}{(A + B)^2}}\) co po redukcji daje:
\(\displaystyle{ \frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{2}{A^2 + B^2} - \frac{12}{(A + B)^2} \ge 0}\)

Lecz ostatnie wyrażenie jest równe : \(\displaystyle{ \frac{(A-B)^2(A^4 + B^4 + 4A^3B + 4AB^3)}{A^2B^2(A+B)^2(A^2+B^2)} \ge 0}\) co kończy dowód.