[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy II

[mol_ksiazkowy]

1. Ankieter przeprowadził badanie na grupie \(\displaystyle{ N}\) osób, w celu wysondowania których w trzech źródeł oni używają (być może kilku) w celu pozyskiwania informacji: TV, radio i gazety; Wyniki były następujące:
1) 50 ludzi ogląda TV (i być może niektórzy z nich korzystają też i z pozostałych dwóch źródeł);
2) 61 ludzi nie słucha radia;
3) 13 ludzi nie czyta gazet;
4) 74 ludzi korzysta z co najmniej dwóch źródeł.
Znajdź maksimum i minimum \(\displaystyle{ N}\), dla której te warunki mogą być spełnione. Dla każdej z tych skrajnych wartości opisz sytuację, w której są one realizowane.

2. - zrobione przez KameleonaFCB
Temat: liczby trójkątne; \(\displaystyle{ 15}\) i \(\displaystyle{ 21}\) są parą liczb trójkątnych, o tej własności, że ich suma i różnica też jest liczbą trójkątną. Czy istnieją inne takie pary ?

3. - zrobione częściowo przez adamm
Liczba trójdoskonała to taka, że \(\displaystyle{ \delta(n)=3n}\), gdzie \(\displaystyle{ \delta(n)}\) jest sumą wszystkich dzielników dodatnich liczby \(\displaystyle{ n}\) a) Wykażać, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzystą liczbą trójdoskonała , to musi być kwadratem pewnej liczby całkowitej, tj. \(\displaystyle{ n=m^2}\) dla \(\displaystyle{ \ m \in \{0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 ,.... \}}\) b) \(\displaystyle{ n=120}\) jest -co łatwo sprawdzić- przykładem liczby trójdoskonałej ; dać przykład innej liczby trójdoskonałej parzystej.

4. - rozwiązanie podlinkowane przez Qnia
Niech \(\displaystyle{ P(x)}\) będzie wielomianem stopnia \(\displaystyle{ n}\) i dla \(\displaystyle{ w \in \{2^0,2^1,...,2^n \}}\) zachodzi \(\displaystyle{ P(w)=\frac{1}{w}}\). Obliczyć \(\displaystyle{ P(0)}\).

5. Na polach szachownicy wypisano losowo liczby od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ 32}\), przy czym każda z tych liczb, występuje na dwóch polach. Udowodnij że można wybrać \(\displaystyle{ 32}\) pola ponumerowane kolejnymi liczbami naturalnymi w taki sposób by w każdej kolumnie znalazło się przynajmniej jedno z wybranych pól.

6. Dla funkcji \(\displaystyle{ f: \RR \to \RR}\) ciągłej rozważa się trzy warunki:
(1) istnieją liczby (parami różne) \(\displaystyle{ a, b \in \RR}\) : \(\displaystyle{ f(a)=b , \ f(b)=a}\);
(2) istnieją liczby (parami różne) \(\displaystyle{ a, b, c \in \RR}\): \(\displaystyle{ f(a)=b , \ f(b)=c \ , f(c)=a}\);
(3) istnieją liczby (parami różne) \(\displaystyle{ a, b, c, d \in \RR}\): \(\displaystyle{ f(a)=b , \ f(b)=c , \ f(c)=d \ f(d)=a}\).
Jakie zależności zachodzą między tymi warunkami. Które z nich pociągają inne? (np. wykazać, że z (3) nie wynika (2) itd)

7. Niech \(\displaystyle{ n= \prod p_i^{\alpha_i}}\) będzie rozkładem liczby n na czynniki pierwsze. I niech \(\displaystyle{ f(n)= 1+ \sum \alpha_i p_i}\). Udowodnić, ze dla każdego \(\displaystyle{ n >6}\) istnieje \(\displaystyle{ k>0}\) takie, że \(\displaystyle{ \underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f }_k)(n)=8}\).

8. Niech \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \ZZ}\) będzie taka, że \(\displaystyle{ f(m+n)+ f(mn-1)=f(m)f(n)+2}\) dla \(\displaystyle{ m,n \in \ZZ}\) Czy istnieją funkcje \(\displaystyle{ f}\) (różne od \(\displaystyle{ f(m)=m^2+1}\)) o takiej własności ?
Uwaga: \(\displaystyle{ \ZZ = \{0, \pm 1, \pm 2, ... \}}\).

9. Wykaż lub obal: Jeśli \(\displaystyle{ x, y}\) są liczbami naturalnymi takimi, że \(\displaystyle{ xy+ x}\) oraz \(\displaystyle{ xy+y}\) są kwadratami pewnych liczb całkowitych, to dokładnie jedna z liczb \(\displaystyle{ x,y}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
Uwaga: Takimi są np. \(\displaystyle{ x=4, \ y=80}\).

10. - zrobione przez adamm
Wybrano ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1,2, ..., 2n-2, 2n-1 \}}\) \(\displaystyle{ n}\) parami różnych liczb: \(\displaystyle{ a_1,...,a_n}\) (\(\displaystyle{ a_i \neq a_j}\) dla \(\displaystyle{ i \neq j}\)). Wykazać, że istnieją indeksy \(\displaystyle{ i, j}\) (niekoniecznie różne), i takie, że : \(\displaystyle{ a_i +a_j=2n}\).

11. Liczby \(\displaystyle{ a, b, c}\) są powiązane ze sobą układem: \(\displaystyle{ \begin{cases}a^3=3(b^2+c^2)-25\\ b^3=3(a^2+c^2)-25\\ c^3=3(a^2+b^2)-25. \end{cases}}\)
Obliczyć \(\displaystyle{ abc}\).

12. - zrobione przez Inkwizytora
Kwadrat wymiarów \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) został podzielony na \(\displaystyle{ 16}\) małych kwadracików \(\displaystyle{ 1 \times 1}\). Ich obwody utworzyły siatkę. Czy można siatkę tę przedstawić jako sumę pięciu łamanych długości \(\displaystyle{ 8}\) ?

13. - zrobione przez Qnia
Połączono strzałkami \(\displaystyle{ n}\) wierzchołków (każda para ma połączenie). Wykazać, że można obejść je wszystkie poruszając się zgodnie z kierunkiem strzałek i przez każdy wierzchołek przechodząc tylko raz.

14. - zrobione przez Inkwizytora
Wykazać, że kwadrat o boku \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{2}}\) (tj. o średnicy \(\displaystyle{ 1}\)) można podzielić na trzy zbiory o średnicy \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{130}}{16}}\), a nie można podzielić na trzy zbiory o średnicach mniejszych.
Uwaga: średnicą zbioru \(\displaystyle{ A}\) nazywa się taką najmniejszą liczbę \(\displaystyle{ d}\), że odległość dowolnych punktów z \(\displaystyle{ A}\) nie jest większa niż \(\displaystyle{ d}\).

15. - zrobione przez Qnia
Dowieść, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ n}\) takich, że najmniejsza liczba naturalna mająca \(\displaystyle{ n}\) podzielników naturalnych jest większa od najmniejszej liczby naturalnej mającej \(\displaystyle{ n+1}\) podzielników naturalnych.
Uwaga: Taką jest np. \(\displaystyle{ n=5}\).

16. - zrobione przez Marcinka665
Wykazać, że spośród dowolnych siedmiu liczb rzeczywistych można wybrać dwie: \(\displaystyle{ a,b}\) takie, iż \(\displaystyle{ \sqrt{3}|a-b| < |1+ab|}\).
Dać przykład sześciu liczb, z których taki wybór będzie niemożliwym.

17. - zrobione przez BSP
Na jednym z nienarożnych pól brzegowych szachownicy \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) zapisano znak "-" wypełniając pozostałe pola znakami "+". Jeden ruch polega na zamianie na przeciwne wszystkich znaków w rzędzie poziomym, pionowym lub ukośnym (równoległym do którejś przekątnej). Wykazać, że po dowolnej liczbie ruchów na szachownicy znajdzie się co najmniej jeden znak "-".

18. - zrobione przez tometomka91
Temat: prosta granica; oblicz \(\displaystyle{ \lim \sqrt{\underbrace{11\ldots1}_{2n}} - \underbrace{33\ldots3}_{n}}\).

19. Podać elementarny dowód, że:
\(\displaystyle{ \sqrt{n}^{\sqrt{n+1}} >\sqrt{n+1}^\sqrt{n}}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 7}\).

20. - zrobione przez Qnia
Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie dowolną liczbą niewymierną. Wykazać, że istnieje \(\displaystyle{ n<1000}\) takie, że wśród ułamków o mianowniku \(\displaystyle{ n}\) znajduje się taki, który przybliża \(\displaystyle{ x}\) z dokładnością \(\displaystyle{ \frac{1}{1000n}}\).

21. - zrobione przez azonips
Dla danej liczby trzycyfrowej \(\displaystyle{ n=100a+10b+c}\), gdzie \(\displaystyle{ 0 < a \ 0 \leq b,c \leq 9}\), tworzy się średnią arytmetyczną \(\displaystyle{ p}\) sześciu liczb otrzymanych przez wszystkie permutacje cyfr \(\displaystyle{ a, b, c}\). Znaleźć te liczby \(\displaystyle{ n \geq 100}\) dla których \(\displaystyle{ p=n}\).

22. - zrobione przez azonips i Marcinka665
Temat: trójkąt Eulera, w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\) długość środkowej \(\displaystyle{ s_a}\) określa wzór: \(\displaystyle{ (2s_a)^2= 2(b^2+c^2)- a^2}\). Znaleźć boki \(\displaystyle{ a, b, c}\) trójkąta w którym \(\displaystyle{ s_a, s_b, s_c}\) są równe \(\displaystyle{ 79 ,\frac{131}{2}, \frac{127}{2}}\).

23. - zrobione częściowo przez BSP
Na szachownicy \(\displaystyle{ 8 \times 8}\) stoją dwa hetmany. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie atakują się nawzajem? Rozwiązać ten sam problem dla wież na planszy \(\displaystyle{ n \times n}\).

24. - zrobione częściowo przez Marcinka665 i uzupełnione przez mola książkowego
Wyznaczyć zbiór wartości wyrażenia
\(\displaystyle{ W=\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2},}\)
gdzie \(\displaystyle{ a, b, c}\) są długościami boków trójkąta.

25. - zrobione przez azonips
Liczbę pierwsza \(\displaystyle{ p}\) nazywa się liczbą Wilsona, gdy \(\displaystyle{ (p-1)! \equiv -1 (\bmod{p^2})}\). Używając komputera (Mathematica, Maple, etc) wyznacz trzy najmniejsze takie liczby (są one \(\displaystyle{ <1000}\))[/b].

[Marcinek665]

24.

Ukryta treść:    

Lemma: dla boków trójkąta długości a,b,c zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ 2(ab+bc+ca) > a^2 + b^2 + c^2}\).

Wystarczy zauważyć, że z nierówności trójkąta mamy:
\(\displaystyle{ a + b > c}\)

\(\displaystyle{ ac + bc > c^2}\)

Sumując 3 takie nierówności dostajemy nasz lemat.

To do rzeczy:

\(\displaystyle{ W = \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} = \frac{a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab+bc+ca)}{a^2 + b^2 + c^2} = 1 + \frac{2(ab+bc+ca)}{a^2+b^2+c^2} > 2}\)

Z drugiej strony podstawiając \(\displaystyle{ a=x+y}\), \(\displaystyle{ b=y+z}\), \(\displaystyle{ c=z+x}\) mamy:

\(\displaystyle{ W= \frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2} = \frac{4(x^2 + y^2 + z^2) + 8(xy+yz+zx)}{2(x^2 + y^2 + z^2) + 2(xy+yz+zx)} = 2 + \frac{2(xy+yz+zx)}{x^2 + y^2 + z^2 + xy+yz+zx}}\).

Jednak wiemy, że zachodzi \(\displaystyle{ x^2 + y^2 + z^2 \ge xy+yz+zx}\), więc:

\(\displaystyle{ 2 + \frac{2(xy+yz+zx)}{x^2 + y^2 + z^2 + xy+yz+zx} \le 3}\).

Czyli wiadomo teraz, że \(\displaystyle{ 2 < W \le 3}\) należy do tego przedziału. Nie wiem tylko, czy oznacza to, że jest to jego zbiór wartości. Najwyżej ktoś uzupełni.

[adamm]

10:    

Podzielmy nasz zbiór na \(\displaystyle{ n}\) zbiorów takich, że \(\displaystyle{ \alpha_i=\{i,2n-i\}}\) (\(\displaystyle{ i\in\{1,2,\ldots,n\}}\)). Zauważmy, że jeżeli zostaną wybrane liczby z któregoś ze zbiorów \(\displaystyle{ \alpha_i}\) to teza jest spełniona gdyż elementy te sumują się do \(\displaystyle{ 2n}\). Łatwo zauważyć, że z zasady szufladkowej Dirichleta wynika, że podzbiór taki istnieje niezależnie od wybranych liczb (gdyż musimy wybrać \(\displaystyle{ n}\) spośród \(\displaystyle{ 2n-1}\) liczb, a więc albo wśród wybranych liczb znajdują się elementy podzbioru \(\displaystyle{ \alpha_i}\) gdzie \(\displaystyle{ i\neq n}\) albo wśród wybranych liczb znajduje się \(\displaystyle{ n}\) i wtedy możemy skonstruować podzbiór \(\displaystyle{ \alpha_n}\)).

[BSP]

Zad. 23

Ukryta treść:    

Pzypadek I - wieże są rozróżnialne

Na szachownicy \(\displaystyle{ ~n \times n~}\) dwie rozróżnialne wieże możemy ustawić na

\(\displaystyle{ ~2{n^2\choose 2} = n^2(n^2-1) = n^2(n-1)(n+1)~}\)
sposobów.

Aby nie atakowały się nawzajem, nie możemy ich umieścić w tym samym wierszu i kolumnie szachownicy, a takich ustawień mamy

\(\displaystyle{ ~ n^2(n-1)^2~}\)

Stąd prawdopodobieństwo wynosi

\(\displaystyle{ ~ \frac{n^2(n-1)^2}{n^2(n-1)(n+1)}= \frac{n-1}{n+1}~}\)

Dla n=8 otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{7}{9}}\)


Pzypadek II - wieże są nierozróżnialne

Ustawienie dwóch nierozróżnialnych wież na szachownicy \(\displaystyle{ ~n \times n~}\) to wybór dwóch pól spośród \(\displaystyle{ n^2}\), czyli ilość takich przypadków to

\(\displaystyle{ ~{n^2\choose 2}= \frac{n^2(n-1)(n+1)}{2}~}\)

Jeżeli ustawimy jedną z wież na szachownicy, co czynimy na \(\displaystyle{ n^2}\) sposobów, to drugą możemy ustawić tylko na \(\displaystyle{ (n-1)^2}\) sposobów, ponieważ nie możemy jej umieścić w tej samej kolumnie i tym samym wierszu co poprzednią, Ponieważ są one nierozróżnialne, to dzielimy otrzymany wynik przez \(\displaystyle{ 2!}\), stąd mamy

\(\displaystyle{ \frac{n^2(n-1)^2}{2}}\)

takich przypadków. Prawdopodobieństwo wynosi więc

\(\displaystyle{ \frac{\frac{n^2(n-1)^2}{2}}{\frac{n^2(n-1)(n+1)}{2}}=\frac{n-1}{n+1}}\)

czyli tyle samo, co dla poprzedniego przypadku

[tometomek91]

Zad. 18

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sqrt{\underbrace{11\ldots1}_{2n}} - \underbrace{33\ldots3}_{n}=\sqrt{\frac{1}{9}(10^{2n}-1)} - \sqrt{\frac{1}{9}(10^n-1)^2}=\sqrt{\frac{1}{9}(10^n-1)} \left( \sqrt{10^n+1} - \sqrt{10^n-1} \right) = \frac{2\sqrt{\frac{1}{9}(10^n-1)}}{\sqrt{10^n+1} + \sqrt{10^n-1}}=\frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{10^n+1}{10^n-1}}+1}=\frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{\sqrt{\frac{1+\frac{1}{10^n}}{1-\frac{1}{10^n}}}+1} \rightarrow \frac{1}{3}}\) przy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\)

@Marcinek665 chyba masz błąd po tym podstawieniu.

[Marcinek665]

"Cyfrówka" mi się przydarzyła. Już poprawiłem, dzięki

[adamm]

3a:    

Skorzystam z tego, że jeżeli \(\displaystyle{ n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\ldots\cdot p_{k}^{\alpha_k}}\) (gdzie \(\displaystyle{ p_i}\) są kolejnymi liczbami pierwszymi i \(\displaystyle{ \alpha_i\in\mathbb{N}}\)) to \(\displaystyle{ \delta(n)=(p_1^{\alpha_1}+p_1^{\alpha_1-1}+\ldots+p_1+1)(p_2^{\alpha_2}+p_2^{\alpha_2-1}+\ldots+p_2+1)\ldots(p_k^{\alpha_k}+p_k^{\alpha_k-1}+\ldots+p_k+1)}\).
Zauważmy teraz, że jeżeli \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste to także
\(\displaystyle{ \delta(n)=3n=(p_1^{\alpha_1}+p_1^{\alpha_1-1}+\ldots+p_1+1)(p_2^{\alpha_2}+p_2^{\alpha_2-1}+\ldots+p_2+1)\ldots(p_k^{\alpha_k}+p_k^{\alpha_k-1}+\ldots+p_k+1)}\)
jest nieparzyste, a więc każdy z czynników w nawiasach także jest nieparzysty, a to z kolei zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy \(\displaystyle{ 2|\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_k}\), a więc istotnie gdy \(\displaystyle{ n}\) jest kwadratem.

edit: robiłem na początku dla ilości dzielników, dopiero później się zorientowałem, że chodzi o sumę

[Qń]

Zadanie 4:    

W czerwcu robiłem to na korepetycjach przygotowujących do Olimpiady, podobne zadanie jest Kółku matematycznym dla olimpijczyków Pawłowskiego.

Q.

[Marcinek665]

16.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sqrt{3}|a-b| < |1+ab|}\)

\(\displaystyle{ |\frac{a-b}{1+ab}| < \frac{\sqrt{3}}{3}}\)

Funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \tg x}\) jest różnowartościowa na przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)}\) i przyjmuje na nim wszystkie wartości rzeczywiste. Połóżmy więc \(\displaystyle{ a= \tg x}\) oraz \(\displaystyle{ b= \tg y}\).

Stosując wzór na tangens różnicy dostajemy:

\(\displaystyle{ | \tg(x-y) | < \frac{\sqrt{3}}{3} = \tg \frac{\pi}{6}}\).

Udowodnimy teraz, że biorąc dowolne \(\displaystyle{ 7}\) liczb rzeczywistych, znajdzie się co najmniej jedna taka para, że jej różnica będzie się zawierała w przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{6}\right)}\), czyli innymi słowy będzie robiła tezie dobrze.

Weźmy więc \(\displaystyle{ 7}\) dowolnych liczb rzeczywistych i niech będą one relacji \(\displaystyle{ x_{1} \ge x_{2} \ge x_{3} \ge x_{4} \ge x_{5} \ge x_{6} \ge x_{7}}\), bez straty ogólności niech będą z przedziału \(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)}\) (bo jeśli nie będą, to odejmiemy wielokrotność okresu zasadniczego tak, by się w tym przedziale znalazły). Załóżmy, że żadna z różnic \(\displaystyle{ x_{i} - x_{i+1}}\) nie zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{6}\right)}\).

Wtedy mamy:

\(\displaystyle{ x_{1} - x_{2} \ge \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ x_{2} - x_{3} \ge \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ x_{3} - x_{4} \ge \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ x_{4} - x_{5} \ge \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ x_{5} - x_{6} \ge \frac{\pi}{6}}\)

\(\displaystyle{ x_{6} - x_{7} \ge \frac{\pi}{6}}\)

Sumując stronami dostajemy \(\displaystyle{ x_{1} - x_{7} \ge \pi}\). Ale jest to sprzeczność, gdyż każda z liczb \(\displaystyle{ x_{i}}\) zawiera się w przedziale \(\displaystyle{ \left( -\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right)}\), czyli jest to sprzeczność.

Analogicznie dowodzimy sprzeczności z 'drugiej' strony.

Przykład sześciu liczb, z których żadne dwie nie spełniają tej zależności można łatwo znaleźć na palcach, ale teraz mi się nie chce.

[azonips]

25.

Ukryta treść:    

to liczby \(\displaystyle{ 5, 13, 563}\)

21.

Ukryta treść:    

oczywiście będą to liczby złożone z tych samych cyfr, a więc \(\displaystyle{ 111,222,333,444,555,666,777,888,999}\), ale nie tylko. Warunki zadania również spełniają: \(\displaystyle{ 370=1/6(370+307+73+730+703+37)}\), \(\displaystyle{ 407=1/6(407+470+704+47+74+740)}\),
\(\displaystyle{ 481=1/6(481+418+184+841+814+148 )}\), \(\displaystyle{ 518=1/6(518+581+815+158+185+851)}\), \(\displaystyle{ 592=1/6(592+529+295+952+925+259)}\) oraz \(\displaystyle{ 629=1/6(629+692+926+269+296+962)}\)

[BSP]

17.

Ukryta treść:    

Niech S oznacza ilość nienarożnych pól brzegowych ze znakiem "-". Dowolny rząd poziomy, pionowy lub ukośny (poza przekątnymi) przechodzi zawsze przez dwa nienarożne pola brzegowe.

Jeżeli oba pola sa znaku "+", to na ich miejsce otrzymujemy dwa znaki "-" i parzystość S się nie zmienia.
Jeśli zaś na jednym z tych pól jest znak "+", a na drugim "-", to S pozostaje takie same.

Wynika stąd, że parzystość S nigdy się nie zmienia, a ponieważ na początku S jest liczbą nieparzystą, to pozostanie taką bez względu na to jak przekształcać będziemy pola na szachownicy, nigdy więc nie może się równać 0.

Przypadek można uogólnić do dowolnej szachownicy wymiaru \(\displaystyle{ 2n \times 2n}\)

[Marcinek665]

11. (wersja M665 - źle przepisałem układ)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a^3=3(b^2+c^2)-25\\b^3=3(a^2+c^2)-25\\c^3=3(a^2+b^2)-25 \end{array}\right.}\)

Bez straty ogólności (symetria), możemy napisać, że \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\).

Wobec tego mamy:

\(\displaystyle{ 3(b^3 + c^3) - 25 = a^3 \ge b^3 = 3(c^3 + a^3) - 25}\)

\(\displaystyle{ 3(b^3 + c^3) - 25 \ge 3(c^3 + a^3) - 25}\)

\(\displaystyle{ b^3 \ge a^3}\)

\(\displaystyle{ b \ge a}\).

Ale skoro zachodzi także \(\displaystyle{ a \ge b}\), to w istocie prowadzi to do \(\displaystyle{ a=b}\).


Analogicznie napiszemy se:

\(\displaystyle{ 3(c^3 + a^3) - 25 = b^3 \ge c^3 = 3(a^3 + b^3) - 25}\)

\(\displaystyle{ 3(c^3 + a^3) \ge 3(a^3 + b^3)}\)

\(\displaystyle{ c^3 \ge b^3}\)

\(\displaystyle{ c \ge b}\)

Czyli \(\displaystyle{ b=c}\).

Łącząc to wszystko w kupę mamy \(\displaystyle{ a=b=c}\).

\(\displaystyle{ a^3 = 6a^3 - 25}\)

\(\displaystyle{ a^3=5}\)

Czyli \(\displaystyle{ abc=5}\).

[Qń]

Zadanie 13:    

Indukcja względem \(\displaystyle{ n}\). Dla \(\displaystyle{ n=1,2}\) twierdzenie jest oczywiste.
Załóżmy zatem, że dla pewnego zbioru \(\displaystyle{ n\ge 2}\) wierzchołków twierdzenie jest prawdziwe i wykażmy jego prawdziwość dla \(\displaystyle{ n+1}\). W tym celu rozważmy \(\displaystyle{ n+1}\) wierzchołków połączonych strzałkami jak w treści zadania i usuńmy jeden z nich (wraz ze strzałkami), nazwijmy go \(\displaystyle{ b}\). W tym co zostanie z założenia indukcyjnego można wybrać drogę \(\displaystyle{ a_1 \rightarrow a_2 \rightarrow \ldots \rightarrow a_n}\) w której będziemy iść zgodnie ze strzałkami i obejdziemy wszystkie wierzchołki. Dorzućmy z powrotem wierzchołek \(\displaystyle{ b}\). Jeśli strzałka jest z \(\displaystyle{ b}\) do \(\displaystyle{ a_1}\) lub z \(\displaystyle{ a_n}\) do \(\displaystyle{ b}\), to koniec. Załóżmy więc, że strzałki są z \(\displaystyle{ a_1}\) do \(\displaystyle{ b}\) oraz z \(\displaystyle{ b}\) do \(\displaystyle{ a_n}\). Rozważmy teraz zbiór wierzchołków \(\displaystyle{ a_i}\) do których idzie strzałka z \(\displaystyle{ b}\). Ten zbiór jest niepusty (należy do niego \(\displaystyle{ a_n}\)), w szczególności więc zawiera wierzchołek o najmniejszym indeksie, nazwijmy go \(\displaystyle{ k}\). Oczywiście z \(\displaystyle{ a_{k-1}}\) idzie strzałka do \(\displaystyle{ b}\) (wszak indeks \(\displaystyle{ k}\) jest najmniejszy), a zatem szukaną drogą jest:
\(\displaystyle{ a_1 \rightarrow a_2 \rightarrow \ldots a_{k-1} \rightarrow b \rightarrow a_k \rightarrow \ldots \rightarrow a_n}\)
co kończy dowód.

Nawiasem mówiąc teza tego zadania w teorii grafów nosi nazwę twierdzenia Rédei.

Q.

[pyzol]

BSP, w zad.23. pytają się o Hetmany, a nie wieże...

[mol_ksiazkowy]

24 komentarz

Ukryta treść:    

Czyli wiadomo teraz, że należy do tego przedziału. Nie wiem tylko, czy oznacza to, że jest to jego zbiór wartości. Najwyżej ktoś uzupełni.

szkic wziasc trojkat rownoramienny dla \(\displaystyle{ a=b=1}\) i kącie miedzy tymi ramionami \(\displaystyle{ 0<\alpha \leq \frac{\pi}{3}}\), wtedy \(\displaystyle{ c=2sin(\frac{\alpha}{2})}\) oraz \(\displaystyle{ W= f(\alpha) =\frac{2(1+t)^2}{1+2t^2}}\) gdzie \(\displaystyle{ t=sin(\frac{\alpha}{2})}\)
zbior wartosci funkcji f to (2, 3>

21 komentarz

Ukryta treść:    

wynik jest poprawny, ale przydalaby sie jakas metoda....