Matematyka.pl

Lemat 1. Dla danej liczby wymiernej \(\displaystyle{ q}\) i liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) niech \(\displaystyle{ v_p(q)}\) oznacza najwyższą potęgę liczby \(\displaystyle{ p}\) dzielącą \(\displaystyle{ q}\) (czyli najwyższa potęga dzieląca licznik minus najwyższa potęgą dzieląca mianownik). Znany jest następujący wzór: \(\displaystyle{ v_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \left [ \frac{n}{p^i} \right ]}\) (oczywiście ta suma w rzeczywistości jest skończona).

Lemat 2. Dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a \geq b}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ \left [ a+b \right ] + \left [ 2a-b \right ] \geq 3(\left [ b \right ] + \left [ a-b \right ])}\).
Wynika to z prostej i znanej nierówności \(\displaystyle{ \left [ x+y \right ] \geq \left [ x \right ] + \left [ y \right ]}\), bowiem:
\(\displaystyle{ \left [ a+b \right ] + \left [ 2a-b \right ] \geq \left [ a \right ] + \left [ b \right ] + \left [ a \right ] + \left [ a-b \right ] = 2 \left [ a \right ] + \left [ b \right ] + \left [ a-b \right ] = 2 \left [ b + a - b \right ] + \left [ b \right ] + \left [ a-b \right ] \geq 3(\left [ b \right ] + \left [ a-b \right ])}\).

Przechodzimy do rozwiązania. Wystarczy wykazać, że dla dowolnej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) zachodzi \(\displaystyle{ v_p \left ( \frac{P_{2n}}{P^4_n} \right ) \geq 0}\). No to liczymy:
\(\displaystyle{ v_p \left ( \frac{P_{2n}}{P^4_n} \right ) = v_p(P_{2n}) - v_p(P^4_n) = \sum_{k=1}^{2n} \sum_{i=1}^{\infty} \left [ \frac{k}{p^i} \right ] -4 \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{\infty} \left [ \frac{k}{p^i} \right ] = \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{\infty} \left [ \frac{n+k}{p^i} \right ] -3 \sum_{k=1}^{n} \sum_{i=1}^{\infty} \left [ \frac{k}{p^i} \right ]}\).
Z lematu jednak mamy \(\displaystyle{ \left [ \frac{n+k}{p^i} \right ] + \left [ \frac{n + (n-k)}{p^i} \right ] \geq 3\left ( \left [ \frac{k}{p^i} \right ] + \left [ \frac{n-k}{p^i} \right ] \right )}\) dla \(\displaystyle{ a = \frac{n}{p^i}}\) oraz \(\displaystyle{ b = \frac{n-k}{p^i}}\). Pozostaje zauważyć, że sumując te nierówności po wszystkich \(\displaystyle{ k}\) dostajemy tezę.