[Planimetria] pokrywanie sie środków okręgów

[binaj]

Na bokach \(\displaystyle{ AB, BC, CA}\) trójkątach równobocznego \(\displaystyle{ ABC}\) obrano takie punkty \(\displaystyle{ C_1, A_1, B_1}\), że: \(\displaystyle{ AC_1=BA_1=CB_1}\). Proste \(\displaystyle{ AA_1, BB_1, CC_1}\) wyznaczają trójkąt. Wykazać, że środek okręgu opisanego na tym trójkącie, jest środkiem okręgu opisanego na \(\displaystyle{ ABC}\)

jestem ciekaw Waszych rozwiązań

[timon92]

Ukryta treść:    

rozważmy obrót o kąt \(\displaystyle{ \frac 23 \pi}\) wokół środka okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\)

przy obrocie tym \(\displaystyle{ AA_1}\) przechodzi na \(\displaystyle{ BB_1}\), \(\displaystyle{ BB_1}\) na \(\displaystyle{ CC_1}\), \(\displaystyle{ CC_1}\) na \(\displaystyle{ AA_1}\), więc ten trójkąt z zadania przechodzi na siebie - musi więc to być trójkąt równoboczny, a środek obrotu jest środkiem tego trójkąta, stąd teza

[Swistak]

Wszystko jest symetryczne do wszystkiego względem wszystkiego - koniec .
No w zasadzie jakbym próbował to dowodzić formalnie, to zrobiłbym to dokładnie tak samo, jak to zrobił timon92, ale przecież teza jest nieskończenie oczywista na pierwszy rzut oka .

[Burii]

Niech \(\displaystyle{ O}\) będzie środkiem okręgu opisanego na\(\displaystyle{ A _{1}B _{1}C _{1}}\). Łatwo zauważyć, że czworokąty \(\displaystyle{ OAC _{1}B _{1} ,OBC _{1}A _{1}}\), i \(\displaystyle{ OCA _{1}B _{1}}\)są przystające stąd \(\displaystyle{ OA=OB=OC}\).

[timon92]

no fajne, tylko trójkątem wyznaczonym przez proste \(\displaystyle{ AA_1, BB_1, CC_1}\) nie jest \(\displaystyle{ A_1B_1C_1}\)

[Burii]

Spoko żle przeczytałem:D-- 10 maja 2011, o 23:24 --A wiec niech AA1 i CC1 przecinają się w A2, BB1 i AA1 w B2, CC1 i BB1 w C2, wówczas trójkąty AC1A2
BB2A1, CB1C2 są przystające i A2B2C2 jest równoboczny. Niech O to środek okręgu opisanego na A2B2C2 wówczas trójkąty AOA2,BOB2,COC2 są przystające stąd OA=OB=OC.