[Równania funkcyjne] Równanie funkcyjne

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Lolek271
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 122
Rejestracja: 2 lis 2008, o 16:11
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Znikąd
Podziękował: 35 razy
Pomógł: 6 razy

[Równania funkcyjne] Równanie funkcyjne

Post autor: Lolek271 »

Witam. Oto zadanie.Wyznacz wszystkie funkcje spełniające warunki:

(a)\(\displaystyle{ f(1)= \frac{1}{2}}\)
(b)\(\displaystyle{ f(xy)=f(x)*f( \frac{3}{y} )+f(y)*f( \frac{3}{x} )}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y}\) należących do\(\displaystyle{ R}\)

Ok. Wstawiając x=y=1, dostajemy \(\displaystyle{ f(3)= \frac{1}{2}}\)
Dalej wstawiając x=y=3, x=y=9 i kolejne potęgi 3, dostajemy, że \(\displaystyle{ f(3)=f(9)...=f(3 ^{n}),}\)
Wydaje mi się, że to będzie funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2}}\), ale jakoś nie mogę tego udowodnić ( w ogóle to przypuszczenie... ).
wally
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 75
Rejestracja: 3 paź 2007, o 13:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Piotrków Tryb
Pomógł: 6 razy

[Równania funkcyjne] Równanie funkcyjne

Post autor: wally »

\(\displaystyle{ y:=1 \Rightarrow f(x) = f(x)f(3) + f(1)f(\frac{3}{x}) \Rightarrow f(x)=f(\frac{3}{x})}\)
\(\displaystyle{ y:=\frac{3}{x} \Rightarrow f(3) = f(x)^{2} + f(\frac{3}{x})^{2} = 2f(x)^{2} \Rightarrow f(x)^{2} = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ y:=x \Rightarrow f(x^{2})=2f(x)^{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ f(xy)=2f(x)f(y)}\) Wynika stąd, że możemy przyjąć dowolnie dla \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2} \vee f(x)=-\frac{1}{2}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x<0}\).
ODPOWIEDZ