Witam. Oto zadanie.Wyznacz wszystkie funkcje spełniające warunki:
(a)\(\displaystyle{ f(1)= \frac{1}{2}}\)
(b)\(\displaystyle{ f(xy)=f(x)*f( \frac{3}{y} )+f(y)*f( \frac{3}{x} )}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y}\) należących do\(\displaystyle{ R}\)
Ok. Wstawiając x=y=1, dostajemy \(\displaystyle{ f(3)= \frac{1}{2}}\)
Dalej wstawiając x=y=3, x=y=9 i kolejne potęgi 3, dostajemy, że \(\displaystyle{ f(3)=f(9)...=f(3 ^{n}),}\)
Wydaje mi się, że to będzie funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{2}}\), ale jakoś nie mogę tego udowodnić ( w ogóle to przypuszczenie... ).
[Równania funkcyjne] Równanie funkcyjne
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 13:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piotrków Tryb
- Pomógł: 6 razy
[Równania funkcyjne] Równanie funkcyjne
\(\displaystyle{ y:=1 \Rightarrow f(x) = f(x)f(3) + f(1)f(\frac{3}{x}) \Rightarrow f(x)=f(\frac{3}{x})}\)
\(\displaystyle{ y:=\frac{3}{x} \Rightarrow f(3) = f(x)^{2} + f(\frac{3}{x})^{2} = 2f(x)^{2} \Rightarrow f(x)^{2} = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ y:=x \Rightarrow f(x^{2})=2f(x)^{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ f(xy)=2f(x)f(y)}\) Wynika stąd, że możemy przyjąć dowolnie dla \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2} \vee f(x)=-\frac{1}{2}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x<0}\).
\(\displaystyle{ y:=\frac{3}{x} \Rightarrow f(3) = f(x)^{2} + f(\frac{3}{x})^{2} = 2f(x)^{2} \Rightarrow f(x)^{2} = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ y:=x \Rightarrow f(x^{2})=2f(x)^{2}=\frac{1}{2} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{2}}\) dla \(\displaystyle{ x>0}\)
\(\displaystyle{ f(xy)=2f(x)f(y)}\) Wynika stąd, że możemy przyjąć dowolnie dla \(\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2} \vee f(x)=-\frac{1}{2}}\) dla wszystkich \(\displaystyle{ x<0}\).