Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Zabrałem się dzisiaj trochę za geometrię, a mianowicie następujące zadanie:
Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem boku \(\displaystyle{ AB}\) trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\). Punkt \(\displaystyle{ D}\) leży wewnątrz trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) i spełnia warunki \(\displaystyle{ \angle DAC = \angle ABC, \ \angle DCA = \angle BCM}\). Udowodnić, że prosta \(\displaystyle{ DM}\) jest równoległa do prostej \(\displaystyle{ BC}\).
Wzorcówka jest następująca:
rozwiązanie:
Rozpatrzmy przekształcenie p będące złożeniem obrotu wokół punktu \(\displaystyle{ C}\) o kąt \(\displaystyle{ \angle ACD}\) z jednokładnością o środku \(\displaystyle{ C}\) i skali \(\displaystyle{ \frac{CD}{AC}}\). Wówczas \(\displaystyle{ p(A)=D}\) oraz niech \(\displaystyle{ p(B)=E}\). Ponadto punkt \(\displaystyle{ N=p(M)}\) należy do boku \(\displaystyle{ BC}\). Z podobieństwa trójkątów \(\displaystyle{ ACD}\) i \(\displaystyle{ BCE}\) wynika, że \(\displaystyle{ \angleBCM = \angle BCE \ oraz \ \angle CBM = \angle CBE}\). A zatem punkt \(\displaystyle{ E}\) jest obrazem symetrycznym punktu \(\displaystyle{ M}\) względem prostej \(\displaystyle{ BC}\). Stąd oraz z równości \(\displaystyle{ DN=NE}\) otrzymujemy tezę.
I to właśnie rozwiązanie jest pobudką, przez którą założyłem ten temat. Czy zaprezentowana powyżej metoda, z użyciem takiego zdefiniowanego i złożonego (z kilku elementów) przekształcenia ma jakąś własną nazwę, czy jest to tylko użyte w celu ułatwienia zapisu? Bez dissów w stylu "tak, nazywa się to jednokładność i obrót wokół punktu" proszę ;p, na dobrą sprawę to są moje początki z prawdziwą geometrią.
Tak, to jest właśnie to. dzięki-- 17 kwi 2011, o 19:27 --Aha,
Może ma ktoś jakieś materiały pod olimpiady z ww. podobieństwem (chociażby fundamentalne własności)?
