[Teoria liczb] Równanie z piętnastą potęgą

[niepokonanytornister]

cześć
otóż mam zadanie mówiące iż
\(\displaystyle{ x^{15}_{0}=x^{15}_{1}+...+x^{15}_{28}}\)
dowieść, że co najmniej jedna z liczb jest podzielna przez 31
i w rozwiązaniu posiadam takie coś ,,załóżmy, że każda z liczb nie dzieli się przez 31 więc z mtf mamy że
\(\displaystyle{ a^{30}\equiv1 (mod 31)}\)
a po spierwiastkowaniu mamy
\(\displaystyle{ a^{15}\equiv \pm 1 (mod 31)}\)
Dlaczego tak, kiedy możemy pierwiastkować kongruencje?

[marcin_smu]

Tu był blef.

[niepokonanytornister]

np jak mam a^2przystaje b^2 to b nie koniecznie przystaje a modulo coś

[marcin_smu]

No tak, jeszcze jest przypadek kiedy przystaje do -a.

[TomciO]

Wątpliwości są jak najbardziej uzasadnione. Np. z tego, że \(\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \pmod{8}}\) wcale nie wynika, że \(\displaystyle{ x \equiv \pm 1 \pmod{8}}\), bo może być równie dobrze \(\displaystyle{ x \equiv \pm 3 \pmod{8}}\). Ale jeśli \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą to akurat jest prawdą, że kongruencja \(\displaystyle{ x^2 \equiv 1 \pmod{p}}\) pociąga to, że \(\displaystyle{ x}\) daje resztę \(\displaystyle{ \pm 1}\). Wystarczy zauważyć, że \(\displaystyle{ x^2 - 1 = (x-1)(x+1)}\) i któryś z tych czynników musi się dzielić przez \(\displaystyle{ p}\).

[Swistak]

Pfff... Co za herezje Marcinie ...
Bardzo istotne tu jest, że 31 jest liczbą pierwszą.
Ważne jest, że jak mamy daną liczbę pierwszą p, to mod p wszystkie z liczb \(\displaystyle{ 1^2, 2^2, ..., (\frac{p-1}{2})^2}\) są różne

[marcin_smu]

No dobra sorry. Macie racje, nie zastanowiłem się za bardzo nad tym co pisałem. Już chyba zbyt późna godzina.