[Nierówności][Trygonometria] Nierówność trygonometryczna.

[laurelandilas]

Udowodnij, że dla każdego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) spełniona jest nierówność:
(\(\displaystyle{ sin ^{3} \alpha + cos^{3} \alpha) ^{4} \le sin ^{6} \alpha + cos ^{6} \alpha}\)

[JakimPL]

Bardzo lubię tego typu zadania . Żeby nie pisać zbyt wiele:

\(\displaystyle{ s^n = \sin^n \alpha \\ c^n = \cos^n \alpha \\ t^n = \left(\sin \alpha \cos\alpha\right)^n \\ s^2 + c^2 = 1 \\ s^6 + c^6 = (s^2+c^2)^3 - 3 s^4 c^2 - 3 s^2 c^4 = 1 - 3 t^2 (s^2+c^2)= 1 - 3 t^2}\)

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ (s^3 + c^3)^4 \le s^6 + c^6 \\
c^{12}+4 c^9 s^3+6 c^6 s^6+4 c^3 s^9+s^{12} \le 1 - 3 t^2 \\ c^{12}+4 c^3 s^3(s^6+c^6)+6 t^6+s^{12} \le 1 - 3 t^2 \\ c^{12}+s^{12}+4 t^3(s^6+c^6)+6 t^6 - 1 + 3t^2 \le 0 \\ (c^6+s^6)^2 -2s^6 c^6+4 t^3(1 - 3 t^2)+6 t^6 - 1 + 3t^2 \le 0 \\ (1 - 3 t^2)^2 -2t^6+4 t^3(1 - 3 t^2)+6 t^6 - 1 + 3t^2 \le 0 \\ 1-6t^2+9t^4 -2t^6 + 4t^3 - 12t^5 +6t^6 - 1 +3t^2 \le 0 \\ 4 t^6-12 t^5+9 t^4+4 t^3-3 t^2 \le 0 \\ t^2 (2 t-1) (3 + 2 t - 5 t^2 + 2 t^3)\le 0}\)

Wielomian trzeciego stopnia jest dodatni. Stąd:

\(\displaystyle{ \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha (2\sin \alpha\cos \alpha - 1) \le 0 \\}\)

Co jest już proste .

[laurelandilas]

Jesteś pewny dwóch ostatnich linijek ?

[JakimPL]

Sprawdzałem kilka razy. Błędu nie widzę, chociaż ciężko się nie pogubić przy tylu wyrażeniach.

[binaj]

niech \(\displaystyle{ x=sin\alpha, y=cos\alpha}\)

mamy, że \(\displaystyle{ x^2+y^2=1}\), chcemy pokazać, że:
\(\displaystyle{ (x^3+y^3)^4 \le (x^6+y^6)}\), ale:
\(\displaystyle{ (x^6+y^6)=(x^6+y^6)(x^2+y^2)(x^2+y^2)^2 \ge (x^4+y^4)^2(x^2+y^2)^2 \ge(x^3+y^3)^4}\)

po drodze korzystamy z CSa