[Stereometria] Prawdopodobnie harda stereo

[Marcinek665]

Rozstrzygnąć, czy istnieje podzbiór przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) mający dokładnie \(\displaystyle{ 6}\) osi symetrii.

BTW. Wróciłem :*

[marcin_smu]

Po pierwsze witam wszystkich, bo to mój pierwszy post na forum.
Co do zadanka to może udowodnię trochę ogólniejszą tezę. Okazuję się bowiem, że nie istnieje podzbiór przestrzeni \(\displaystyle{ R ^ 3}\), który ma parzystą liczbę osi symetrii różną od 0.

Ukryta treść:    

Po pierwsze łatwo zauważyć, że proste będące odbiciem jednej z osi symetrii względem innej również są osiami symetrii. Łącząc ten fakt z tym, że nasz podzbiór powinien mieć skończenie wiele osi symetrii dochodzimy do wniosku, że wszystkie osie przecinają się w jednym punkcie nazwijmy go O. Jedną z osi symetrii oznaczmy x. Wszystkie proste przechodzące przez O i nie należące do płaszczyzny prostopadłej do x, może połączyć w pary ze względu na ich wzajemną symetrię względem x. Stąd wniosek, że takich prostych będących osiami symetrii jest parzyście wiele. Proste leżące na płaszczyźnie prostopadłej do x możemy połączyć w analogiczne pary tym razem ze względu na wzajemną prostopadłość. Ponieważ złożenie symetrii względem x z symetrią względem jednej z tych prostych jest symetrią względem drugiej z tych prostych. Tutaj również otrzymujemy parzyście wiele osi symetrii. c.n.d.

[Swistak]

Po pierwsze łatwo zauważyć, że proste będące odbiciem jednej z osi symetrii względem innej również są osiami symetrii. Łącząc ten fakt z tym, że nasz podzbiór powinien mieć skończenie wiele osi symetrii dochodzimy do wniosku, że wszystkie osie przecinają się w jednym punkcie.

Na płaszczyźnie chyba jest ok, ale taki dowód raczej nie przechodzi w przestrzeni, bo co w przypadku, gdyby istniały 2 osie symetrii nie mające żadnych punktów wspólnych? Choć może da się to łatwo naprawić, ale wg mnie to wymaga jakiegoś doprecyzowania.
Można to za to wykazać w inny sposób. Przez S oznaczmy środek ciężkości naszego podzbioru. "Nietrudno zauważyć, że każda oś symetrii musi przechodzić przez S" .
Trochę się skonfudowałem w trakcie pisania, bo nie wiem, co się dokładnie dzieje, jak zbiór punktów składający się nasz podzbiór nie jest skończony, czyli jest to np. odcinek, figura albo bryła z wnętrzem . Jednak dla skończonego zbioru punktów za pomocą prostego rachunku na wektorach, można zauważyć, że jak weźmiemy sobie dowolną prostą przechodząca przez S, to wektory łączące te punkty z ich rzutami na tę prostą, muszą się wysumować do 0, z czego wynika, że dla żadnej prostej nieprzechodzącej przez S takie coś się nie wysumuje do 0, więc to nie może być os symetrii.

Nie wiem, co trzeba formalnie zrobić, aby to naprawić, ale z drugiej strony, chyba dowód, że jeżeli istnieje taki jakikolwiek zbiór symetrii, mający 6 osi symetrii, to istnieje skończony zbiór punktów mający 6 osi symetrii, chyba nie jest trudny, a w tym temacie, to nas satysfakcjonuje .

No i oczywiście witamy Marcina na forum .

[marcin_smu]

Dobra może, rzeczywiście zastosowałem zbyt duży skrót myślowy. Moje rozwiązanie można uzupełnić na jeden z następujących sposobów:
1. Fakt, iż wszystkie osie przecinają się w jednym punkcie w ogóle nie jest konieczny.
2. A jak już chcemy go udowodnić można to zrobić korzystając z tego, że dla 2 nieprzecinających się osi istnieją rozłączne równoległe płaszczyzny, do których one odpowiednio należą. Odległość między owymi płaszczyznami oznaczmy A. Następnie z pierwszej obserwacji wynika, że również na każdej płaszczyźnie równoległej do tamtych odległej od jednej z nich o wielokrotność A istnieje oś symetrii. Osi jest więc nieskończenie wiele.